ТЕОРИЯ К ЭКЗАМЕНУ-2 (Полная теория для подготовки к экзамену по ТОЭ), страница 2

При построении топографической диаграммы обход контуров можно производить по направлению тока или против. Чаще используют второй вариант.

В этом случае с учетом того, что в электротехнике принято, что ток течет от большего потенциала к меньшему, потенциал искомой точки равен потенциалу предыдущей плюс падение напряжения на элементе между этими точками. Если на пути обхода встречается источник ЭДС, то потенциал искомой точки будет равен потенциалу предыдущей плюс величина этой ЭДС, если направление обхода совпадает с направлением ЭДС, и минус величина ЭДС, если не совпадает. Это вытекает из того, что напряжение на источнике ЭДС имеет направление, противоположное ЭДС.

Обозначив на схеме по рис. 1 точки между элементами цепи e и a и приняв потенциал точки а за нуль( ), определим потенциалы этих точек:

или

Таким образом, в результате проведенных вычислений получено, что . Но разность потенциалов точек е и а равно напряжению U, приложенному к цепи, а оно равно 120 В. Таким образом, второй закон Кирхгофа выполняется, а следовательно, вычисления выполнены верно. В соответствии с полученными результатами строится топографическая диаграмма на рис. 2. Следует обратить внимание на ориентацию векторов, составляющих топографическую диаграмму, относительно векторов тока: для резистивных элементов соответствующие векторы параллельны, для индуктивного и емкостных – ортогональны.

В заключение заметим, что векторы напряжений ориентированы относительно точек топографической диаграммы противоположно положительным направлениям напряжений относительно соответствующих точек электрической цепи. В этой связи допускается не указывать на топографической диаграмме направления векторов напряжений.

Потенциальная диаграмма

П отенциальная диаграмма применяется при анализе цепей постоянного тока. Она представляет собой график распределения потенциала вдоль участка цепи или контура, при этом по оси абсцисс откладываются сопротивления резистивных элементов, встречающихся на пути обхода ветви или контура, а по оси ординат – потенциалы соответствующих точек. Таким образом, каждой точке рассматриваемого участка или контура соответствует точка на потенциальной диаграмме.

Рассмотрим построение потенциальной диаграммы на примере схемы на рис. 3.

П ри параметрах схемы ; ; ; ;  и  токи в ветвях схемы равны: ; ; .

Построим потенциальную диаграмму для контура abcda.

Для выбора масштаба по оси абсцисс просуммируем сопротивления резисторов вдоль рассматриваемого контура:  после чего определим потенциалы точек контура относительно потенциала произвольно выбранной точки a,  потенциал которой принят за нуль:

Таким образом, координаты точек потенциальной диаграммы: а(0;0);b(4;-20); c(4;17); d(7;2). С учетом выбранных масштабов на рис. 4 построена потенциальная диаграмма для выбранного контура.

16. Мощность в цепи синусоидального тока. Активная, реактивная, полная, комплексная мощности.

Мгновенная мощность:

P(t)=U(t)*i(t)

U(t)=U_max*sin(ωt+ψ_u)

i(t)=I_max*sin(ωt+ψ_i)

P(t)=U_max*I_max*sin(ωt+ψ_u)*sin(ωt+ψ_i)= *[cos(ψ_u- ψ_i)-cos(2ωt+ ψ_u+ ψ_i)]

ψ_u - ψ_i=φ

А ктивная мощность - средняя за период. 0

P=

=

P=U*I*cos(φ) [Вт]

Реактивная мощность:

Q=U*I*sin(φ) [ВАР] – вольт-ампер реактивная

Комплексная мощность:

S̃= * =U*e^jψu * I * e^-jψI=U*I*e^{j(ψu - ψI)}=U*I*e^jφ=

=U*I*cos(φ)+j*U*I*sin(φ)=P+jQ

S̃=[Вольт Амперы]

S – полная мощность

S= =UI

Рассмотрим z=r±jx

Если z=r, тогда P=

Если z=jx, тогда P=0; S̃=P+jQ=jωL

 Z_L → Q>0

Если z=-jx, тогда P=0; S̃=-j*

Z_C → Q<0

17. Баланс мощностей в цепи синусоидального тока.

A =0; A =0

=A^т*φ; * ^B =φ^т*A* ^B =0

^в

S ̃= * _k S̃_k=0 Сумма комплексных мощностей всех ветвей схемы равна нулю

* =0 - теорема Теллегена

Докажем что сумма мощностей отдаваемая источниками равна сумме мощностей потребляемых цепью.

_k= _zk-

= _zk*z_k-

U_k* _k=U_k*(

S̃_потр. S̃_ист.

S̃_E = S̃_J=

S̃_потр=(r+jx)* =r* +jx* =P_потр+jQ_потр

S̃_ист=P_ист+jQ_ист

S̃_ист= S̃_потр Баланс мощности

18. Коэффициент мощности.

Отношение активной мощности к полной называют коэффициентом мощности. Из приведенных выше соотношений видно, что коэффициент мощности  равен косинусу угла сдвига между током и напряжением. Итак,

21. Трансформатор с линейной характеристикой. Входное сопротивление. Векторная диаграмма.

Схема линейного трансформатора состоит из двух магнитносвязанных катушек, к од­ной из которых (первичной) подключается источник ЭДС Е, а ко второй (вторичной)  на­грузка Z_Н (рис. 77).

Уравнения Кирхгофа для схемы трансформатора в комплексной форме имеют вид:

(1)

(2)

С целью магнитной развязки схемы добавим в уравнение (1) слагаемые (I₁jX_М  I₁jX_М), а в уравнении (2)  слагаемые (I₂jX_М – I₂jX_М), в результате по­лучим:

Новые уравнения являются контурными для некоторой новой эквива­лентной схемы без магнитных связей (рис. 78):

Т аким образом, магнитная развязка трансформатора имеет вид:

Следует иметь в виду, что магнитная развязка является математическим приемом, на­правленным на упрощение расчета схемы цепи, и физически не всегда может быть заменена электрической цепью. Например, схема рис. 79 может быть реализована цепью только при условии X₁Х_М >0 и X₂ Х_М >0.

3. Метод контурных токов. Запись контурных уравнении в матричной форме.

И дея метода контурных токов: уравнения составляются только по второму закону Кирхгофа, но не для действительных, а для воображаемых токов, циркулирующих по замкнутым контурам, т.е. в случае выбора главных контуров равных токам ветвей связи. Число уравнений равно числу независимых контуров, т.е. числу ветвей связи графа . Первый закон Кирхгофа выполняется автоматически. Контуры можно выбирать произвольно, лишь бы их число было равно  и чтобы каждый новый контур содержал хотя бы одну ветвь, не входящую в предыдущие. Такие контуры называются независимыми. Их выбор облегчает использование топологических понятий дерева и ветвей связи.

Направления истинных и контурных токов выбираются произвольно. Выбор положительных направлений перед началом расчета может не определять действительные направления токов в цепи. Если в результате расчета какой-либо из токов, как и при использовании уравнений по законам Кирхгофа, получится со знаком “-”, это означает, что его истинное направление противоположно.

Пусть имеем схему по рис. 3.

Выразим  токи ветвей через контурные токи:

           ;

           ; ;

           ; .

Обойдя контур aeda, по второму закону Кирхгофа имеем

.

Поскольку ,

то

.

Таким образом, получили уравнение для первого контура относительно контурных токов. Аналогично можно составить уравнения для второго, третьего и четвертого контуров:

совместно с первым решить их относительно контурных токов и затем по уравнениям, связывающим контурные токи и токи ветвей, найти последние.

Однако данная система уравнений может быть составлена формальным путем:

При составлении уравнений необходимо помнить следующее:

 - сумма сопротивлений, входящих в i-й контур;

 - сумма сопротивлений, общих для i-го и k-го контуров, причем    ;

члены на главной диагонали всегда пишутся со знаком “+”;

знак “+” перед остальными членами ставится в случае, если через общее сопротивление  i-й и k- й контурные токи проходят в одном направлении, в противном случае ставится знак “-”;

если i-й и k- й контуры не имеют общих сопротивлений, то ;

в правой части уравнений записывается алгебраическая сумма ЭДС, входящих в контур: со знаком “+”, если направление ЭДС совпадает с выбранным направлением контурного тока, и “-”, если не совпадает. 

В нашем случае, для первого уравнения системы, имеем:

Следует обратить внимание на то, что, поскольку , коэффициенты контурных уравнений всегда симметричны относительно главной диагонали.

Если в цепи содержатся помимо источников ЭДС источники тока, то они учитываются в левых частях уравнений как известные контурные токи: k- й контурный ток, проходящий через ветвь с k- м источником тока равен этому току .

Метод контурных токов в матричной форме

В соответствии с введенным ранее понятием матрицы главных контуров В, записываемой для главных контуров, в качестве независимых переменных примем токи ветвей связи, которые и будут равны искомым контурным токам.

Уравнения с контурными токами получаются на основании второго закона Кирхгофа; их число равно числу независимых уравнений, составляемых для контуров, т.е. числу ветвей связи c=n-m+1. Выражение (6) запишем следующим образом:

. 

В соответствии с методов контурных токов токи всех ветвей могут быть выражены как линейные комбинации контурных токов или в рассматриваемом случае токов ветвей связи. Если элементы j–го столбца матрицы В умножить соответствующим образом на контурные токи, то сумма таких произведений и будет выражением тока j–й ветви через контурные токи (через токи ветвей связи). Сказанное может быть записано в виде матричного соотношения ,  

где  - столбцовая матрица контурных токов;   - транспонированная контурная матрица.

С учетом (8) соотношение (7) можно записать, как:

Полученное уравнение представляет собой контурные уравнения в матричной форме. Если обозначить , .   то получим матричную форму записи уравнений, составленных по методу контурных токов: , где  - матрица контурных сопротивлений;  - матрица контурных ЭДС.