ТЕОРИЯ К ЭКЗАМЕНУ-2 (Полная теория для подготовки к экзамену по ТОЭ)

1. Законы Кирхгофа. Запись законов Кирхгофа в матричной форме.

1-ый закон Кирхгофа:

Алгебраическая сумма токов в узле электрической цепи равна 0 в любой момент времени. Сумма токов, втекающих в узел, равна сумме токов, вытекающих из этого узла.

Узловая матрица A_н =a[i,j], определяется следующим образом: строчками являются узлы схемы, а столбцами соответствующие ветви.

a_i,j=0, если j-ая ветвь не подсоединена к i-ому узлу.

a_i,j= +(-) 1, если j-ая ветвь подсоединена к узлу и направлена от узла (к узлу).

Запишем 1-ый з-н Кирхгофа с помощью матрицы:

А_н*i^в =0 i^в= - матрица столбец тока ветвей.

Система алгебраических ур-ний, соответствующая матричному, является системой зависимых ур-ний, т.к. любые ур-ния являются комбинацией других. Для получения линейно независимых ур-ний, один из узлов принимается за базовый, т.е. его потенциал равен нулю, тогда узловая матрица составляется для всех узлов кроме базового

А= => 1-ый закон Кирхгофа : A_н*i^в =0

2-ой закон Кирхгофа:

Алгебраическая сумма напряжений в замкнутом контуре электрической цепи равна 0 в любой момент времени. Сумма падений напряжений в контуре равна сумме ЭДС в этом контуре.

Контурная матрица В =b_i,j определяется следующим образом: строчками являются главные контура, а столбцами ветви.

b_i,j = 0, если j-ветвь не входит в i-й контур.

b_i,j= +(-), если j-ветвь входит в i-й контур и направление ветви совпадает с направлением контура. Направление контура выбираем по направлению ветви связи (если направлено противоположно)

Запишем с помощью матрицы В 2-ой закон Кирхгофа: В* U ^в=0 (система линейно независимых уравнений)

2. Закон Ома для обобщенной ветви.

U _rk=i*_rk*r_k U_e=e_k

Найдем зависимость напряжения и тока

1-й закон Кирхгофа: I_k=I_{r k} - J_k

I_{r k}=(U_k-E_k)*g_k, g_k=1/(r_k)

I_k=(U_k+E_k)*g_k-J_k - закон Ома для обобщенной ветви

Напишем то же для напряжения:

U_k=(I_k+J_k)*R_k-E_k – обобщенный закон Ома для напряжения обобщенной ветви.

4. Метод узловых потенциалов. Запись узловых уравнении в матричной форме.

Д анный метод вытекает из первого закона Кирхгофа. В качестве неизвестных принимаются потенциалы узлов, по найденным значениям которых с помощью закона Ома для участка цепи с источником ЭДС затем находят токи в ветвях. Поскольку потенциал – величина относительная, потенциал одного из узлов (любого) принимается равным нулю. Таким образом, число неизвестных потенциалов, а следовательно, и число уравнений равно , т.е. числу ветвей дерева .

Пусть имеем схему по рис. 4, в которой примем .

Д опустим, что  и  известны. Тогда значения токов на основании закона Ома для участка цепи с источником ЭДС

Запишем уравнение по первому закону Кирхгофа для узла а:

и подставим значения входящих в него токов, определенных выше:

.

Сгруппировав соответствующие члены, получим:

.

Аналогично можно записать для узла b:

.

Как и по методу контурных токов, система уравнений по методу узловых потенциалов может быть составлена формальным путем. При этом необходимо руководствоваться следующими правилами:

1.      В левой части i-го уравнения записывается со знаком “+”потенциал  i-го узла, для которого составляется данное i-е уравнение, умноженный на сумму проводимостей  ветвей, присоединенных к данному i-му узлу, и со знаком “-”потенциал  соседних узлов, каждый из которых умножен на сумму проводимостей  ветвей, присоединенных к i-му и k-му узлам.

Из сказанного следует, что все члены , стоящие на главной диагонали в левой части системы уравнений, записываются со знаком “+”, а все остальные – со знаком “-”, причем . Последнее равенство по аналогии с методом контурных токов обеспечивает симметрию коэффициентов уравнений относительно главной диагонали.

2.      В правой части i-го уравнения записывается так называемый узловой ток , равный сумме произведений ЭДС ветвей, подходящих к  i-му узлу, и проводимостей этих ветвей. При этом член суммы записывается со знаком “+”, если соответствующая ЭДС направлена к i-му узлу, в противном случае ставится знак “-”. Если в подходящих к i-му узлу ветвях содержатся источники тока, то знаки токов источников токов, входящих в узловой ток простыми слагаемыми, определяются аналогично.

I_{r k}=(U_Rk)/R_k=U_Rk*g_k; где g_k=1/R_k- проводимость

I_Rk=(U_k+E_k)/R_k=(_i-_j-E_k)/R_k ;

A * I =0 (1 закон Кирхгофа);

I^B=G^B*U_R^B-J^B=G^B*(U^B + E^B)-J^B ; U_R= U^B + E^B

A *G^B*U^B+ A *G^B*E^B- A *J^B=0 ;

U^B=A^T*=G^B*(A^T*+ E^B)- J^B домножим на A

A * I^B = A *G^B* A ^T*+ A *G^B*E^B- A *J^B

В-ветви; У-узлы; G *=J узловое уравнение в матричном виде.

Замечание: Метод узловых потенциалов справедлив для схем в которых отсутствуют схемы с проводимостью равной нулю, т.е. нет короткозамкнутых цепей (g_i=, т.е. r_i=0)

Число ур-ний n_y-1<n_B

5. Баланс мощностей в цепи постоянного тока.

Б аланс мощностей - ∑ мощностей, отдаваемых источниками равна ∑ мощностей, потребляемых резисторами.

(одна клема-i, другая-j)

I_k=I_Rk-J_k; U_k=R_k*I_Rk -E_k;

U_k*I_k=U_k*(I_Rk -J_k)=R_k*(I_Rk)²-E_k*I_Rk-U_k*J_k;

6. Метод эквивалентного генератора.

М етод эквивалентного генератора или активного двухполюсника:

Z_вх=r_вх±jx_вх

Z_н=r_н±jx_н

У_вх=1/z_вх

8. Взаимное преобразование реальных источников ЭДС и тока.

 U_{r внутр}+U-U_E=0  I_J-I_{g внутр}-I=0

 U_{r внутр}=I*r_внутр  I_J=J

 U_E=E  I_{g внутр}=U*g_внутр

U=E-I*r_внутр

Условия эквивалентности: источник ЭДС является эквивалентным источнику тока, если их внешние хар-ки одинаковы R_вн=1/g_вн, E=J*r_вн

9. Преобразование звезды сопротивлений в треугольник и обратно.

В ряде случаев могут встретиться схемы, соединения в которых нельзя отнести ни к последовательному, ни к параллельному типу (см. рис. 7). В таких случаях преобразования носят более сложный характер: преобразование треугольника в звезду и наоборот.

Преобразовать треугольник в звезду – значит заменить три сопротивления, соединенных в треугольник между какими-то тремя узлами, другими тремя сопротивлениями, соединенными в звезду между теми же точками. При этом на участках схемы, не затронутых этими преобразованиями, токи должны остаться неизменными.

Без вывода запишем формулы эквивалентных преобразований

15. Векторные и топографические диаграммы.

Совокупность радиус-векторов, изображающих синусоидально изменяющиеся ЭДС, напряжения, токи и т. д., называется векторной диаграммой. Векторные диаграммы наглядно иллюстрируют ход решения задачи. При точном построении векторов можно непосредственно из диаграммы определить амплитуды и фазы искомых величин. Приближенное (качественное) построение диаграмм при аналитическом решении служит надежным контролем корректности хода решения и позволяет легко определить квадрант, в котором находятся определяемые векторы.

При построении векторных диаграмм для цепей с последовательным соединением элементов за базовый (отправной) вектор следует принимать вектор тока (см. лекцию № 8), а к нему под соответствующими углами подстраивать векторы н апряжений на отдельных элементах. Для цепей с параллельным соединением элементов за базовый (отправной) вектор следует принять вектор напряжения (см. лекцию № 8), ориентируя относительно него векторы токов в параллельных ветвях.

Для наглядного определения величины и фазы напряжения между различными точками электрической цепи удобно использовать топографические диаграммы. Они представляют собой соединенные соответственно схеме электрической цепи точки на комплексной плоскости, отображающие их потенциалы. На топографической диаграмме, представляющей собой в принципе векторную диаграмму, порядок расположения векторов напряжений строго соответствует порядку расположения элементов в схеме, а вектор падения напряжения на каждом последующем элементе примыкает к концу вектора напряжения на каждом предыдущем элементе.

В качестве примера построим векторную диаграмму токов, а также топографическую диаграмму потенциалов для схемы, расчет которой был приведен в лекции № 5 (см. рис. 1).

Параметры схемы:      

При данных параметрах и заданном напряжении на входе схемы  найденные значения токов (см. лекцию № 5) равны: ; ; .

П ри построении векторной диаграммы зададимся масштабами токов и напряжений (см. рис. 2). Векторную диаграмму можно строить, имея запись комплекса в показательной форме, т.е. по значениям модуля и фазы . Однако на практике удобнее проводить построения, используя алгебраическую форму записи, поскольку при этом вещественная и мнимая составляющие комплексной величины непосредственно откладываются на соответствующих осях комплексной плоскости, определяя положение точки на ней.

Построение векторной диаграммы токов осуществляется непосредственно на основании известных значений их комплексов. Для построения топографической диаграммы предварительно осуществим расчет комплексных потенциалов (другой вариант построения топографической диаграммы предполагает расчет комплексов напряжений на элементах цепи с последующим суммированием векторов напряжений вдоль контура непосредственно на комплексной плоскости).