ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ (Идеальная шпаргалка для печати по ТОЭ)

R₁=30 Ом

R₂=50 Ом

R₃=80 Ом

R₄=30 Ом

R₅=90 Ом

R₆=70 Ом

E₅=250 В, E₆=-50 В, I_k3= - 6 A

1) Определить все токи методом контурных токов:

R₁₁ I₁₁ + R₁₂ I₂₂ + R₁₃ I₃₃ = E₁₁

R₂₁ I₁₁ + R₂₂ I₂₂ + R₂₃ I₃₃ = E₂₂

R₃₁ I₁₁ + R₃₂ I₂₂ + R₃₃ I₃₃ = E₃₃

E_k3 = J_k3 R₂ = - 300 B

(R₄ + R₃ + R₅) I₁₁ - R₃ I₂₂ – R₅ I₃₃ = – E₅

- R₃ I₁₁ + (R₁ + R₃ + R₂) I₂₂ - R₂ I₃₃ = - E_k3

- R₅ I₁₁ - R₂ I₂₂ + (R₆ + R₅ +R₂) I₃₃ = E₆ + E₅ + E_k3

200 I₁₁ – 80 I₂₂ - 90 I₃₃ = - 250

- 80 I₁₁ + 160 I₂₂ - 50 I₃₃ = 300

- 90 I₁₁ – 50 I₂₂ + 210 I₃₃ = - 100

Решая это уравнение методом Гаусса получаем значения контурных токов:

I₁₁ = - 1,13А I₂₂ = 1,09А I₃₃ = - 0,7А

I₁ = I₂₂ = 1,09A

I₂ = I₃₃ – I₂₂ – J_k3 = 4,21A

I₃ = I₁₁ – I₂₂ = - 2,22A

I₄ = I₁₁ = - 1,13A

I₅ = I₃₃ – I₁₁ = 0,42A

I₆ = I₃₃ = - 0,7A

2) Определить все токи методом узлового напряжения, приняв потенциал 4-го узла равным нулю:

φ₁ G₁₁ + φ₂ G₁₂ + φ₃ G₁₃ = I₁₁

φ₁ G₂₁ + φ₂ G₂₂ + φ₃ G₂₃ = I₂₂

φ₁ G₃₁ + φ₂ G₃₂ + φ₃ G₃₃ = I₃₃

G₁₁ = 1/R₄ + 1/R₃ + 1/R₁ = 0,0791 См

G₂₂ = 1/R₄ + 1/R₅ + 1/R₆ = 0,0587 См

G₃₃ = 1/R₅ + 1/R₃ + 1/R₂ = 0,0436 См

G₁₂ = G₂₁ = - 1/R₄ = - 0,0333 См

G₁₃ = G₃₁ = - 1/R₃ = - 0,0125 См

G₂₃ = G₃₂ = - 1/R₅ = - 0,0111 См

I₁₁ = 0A

I₂₂ = E₅/R₅ - E₆/R₆ = 2,78 + 0,71 = 3,49A

I₃₃ = - E₅/R₅ + J_k3 = - 2,78 - 6 = - 8,78A

0,0569 φ₁ – 0,0125 φ₂ – 0,0111 φ₃ = 0

- 0,0125 φ₁ + 0,0658 φ₂ – 0,02 φ₃ = 3,48

- 0,0111 φ₁ – 0,02 φ₂ + 0,0453 φ₃ = - 8,78

Методом Гауса решаем данную матрицу и получаем потенциалы узлов:

φ₁ = - 32,78 В φ₂ = 1,05 В φ₃ = -210,4В φ₄=0 В

I₁ = I₄₁ = - φ₁/R₁ = 1,09A

I₂ = I₄₃ = (E₂ – φ₃)/R₂ - J_k3 = 4,21A

I₃ = I₃₁ = (-φ₁+φ₃)/R₃ = - 2,22A

I₄ = I₁₂ = (-φ₂ + φ₁)/R₄ = - 1,13A

I₅ = I₃₂ = (E₅ - (φ₂ – φ₃))/R₅ = 0,42A

I₆ = I₂₄ = (E₆ + φ₂)/R₆ = -0,7A

3) Произвести проверку по законам Кирхгофа:

В схеме 4 узла, проверим первый закон Кирхгофа:

1: I₄ – I₃ – I₁ = -1,13 + 2,22 – 1,09 = 0

2: - I₄ – I₅ + I₆ = 1,13 – 0,43 – 0,7 ≈ 0

3: I₅ + I₃ – I₂ – I_k3 = 0,43 – 2,22 – 4,21 + 6 ≈ 0

4: I₁ + I₂ – I₆ + I_k3 = 1,09 + 4,21 + 0,7 – 6 ≈ 0

Проверим второй закон Кирхгофа, в схеме 3 независимых контура:

1: I₃ R₃ + I₄ R₄ – I₅ R₅ = – E₅

- 177,6 – 33,9 – 37,8 ≈ - 250 (выполняется)

2: I₁ R₁ – I₃ R₃ – I₂ R₂ = 0

32,7 + 177,6 – 210,5 ≈ 0 (выполняется)

3: I₅ R₅ + I₆ R₆ + I₂ R₂ = E₅ + E₆

37,8 – 49 + 210,6 ≈ 200 (выполняется)

Законы Кирхгофа выполняются, значит токи найдены правильно.

4) Составить баланс мощностей:

ΣP_ист = E₅ I₅ + E₆ I₆ + E_k3 I₂ = 105 + 35 + 1263 = 1403 Вт

ΣP_пр = R₁ I₁² + R₂ I₂² + R₃ I₃² + R₄ I₄² + R₅ I₅² + R₆ I₆² = 35,643 + 886,205 + 394,272 + 38,307 +

+ 15,876 + 34,3 = 1403 Вт

ΣPист = ΣPпр = 1403 Вт

5) Определить ток I₄ методом эквивалентного генератора:

Сначало определим потенциалы 1-го и 2-го узлов в отсутствии ветви с сопротивлением R₄

φ₁ G₁₁ + φ₂ G₁₂ + φ₃ G₁₃ = I₁₁

φ₁ G₂₁ + φ₂ G₂₂ + φ₃ G₂₃ = I₂₂

φ₁ G₃₁ + φ₂ G₃₂ + φ₃ G₃₃ = I₃₃

G₁₁ = 1/R₃ + 1/R₁ = 0,0458 См; G₂₂ = 1/R₅ + 1/R₆ = 0,0253 См; G₃₃ = 1/R₅ + 1/R₃ + 1/R₂ = 0,0436 См

G₁₂ = G₂₁ = 0 См; G₁₃ = G₃₁ = - 1/R₃ = - 0,0125 См; G₂₃ = G₃₂ = - 1/R₅ = - 0,0111 См

I₁₁ = 0A; I₂₂ = E₅/R₅ - E₆/R₆ = 2,78 + 0,71 = 3,49A; I₃₃ = - E₅/R₅ + J_k3 = - 2,78 - 6 = - 8,78A

0,0569 φ₁ – 0,0125 φ₂ – 0,0111 φ₃ = 0

- 0,0125 φ₁ + 0,0658 φ₂ – 0,02 φ₃ = 3,48

- 0,0111 φ₁ – 0,02 φ₂ + 0,0453 φ₃ = - 8,78

Методом Гауса решаем и получаем потенциалы узлов: φ₁ = - 55,9485 В; φ₂ = 47,7491 В

U_xx = φ1 – φ2 = - 103,6976 В

R₁₂₃ = 30 + 50 + 80 = 160 Ом

R₁₂ = R₁ R₂ / R₁₂₃ = 30 50 / 160 = 9,375 Ом

R₁₃ = R₁ R₃ / R₁₂₃ = 30 80 / 160 = 15 Ом

R₂₃ = R₂ R₃ / R₁₂₃ = 80 50 / 160 = 25 Ом

R_вх = R₁₃ + [ (R₂₃ + R₅) (R₁₂ + R₆) / (R₂₃ + R₅ + R₁₂ + R₆) ] = 15 + [ 95 * 79,375 / 194,375 ] = 54,79 Ом

I₄ = U_xx / (R_вн + R₄) = - 103,6976 / 84,79 = - 1,22А

6) Начертить в масштабе потенциальную диаграмму для любого контура, включающего в себя 2 ЭДС:

E’₂ = I₂ R₂ = 210

E’₅ = I₅ R₅ =37,8

E’₆= I₆ R₆= -49 В

E_k3 = - 300 В

E₅ = 250 В

E₆ = - 50 В

R₂ = 20 Ом

L₂ = 20*10 ^-3 Гц

C₂ = 20 мкФ

U_m = 160 В

ψ_u = 80^o

f = 500 Гц

Найти мгновенное значение входного тока и показание прибора V₂:

U_m = Z I_m

______

Z = √R₂² + X² = (400 + 99,9998)^1/2 = 22,36 Ом

X = ωL₂ – 1/ωC₂ = 10000*10 ^-3 – 1/10000 = 9,9999

ω = 2πf = 2π*500 = 3142 c ^-1

I_m = U_m / Z = 7,16A

Показание вольметра:

V₂ = Re(U(t)) – i (1/ωC) = 160 cos80^o – i(15,91*10^-7) = 27,19В

U(t) = U_m sin(ωt + ψ_u) = 160 sin(ωt + 80) = 160 sin(3142t + 80) = U_m e^jψu =

= 160 e^j80 = 160 (cos80^o + i sin80^o) = 160 cos80^o + 160 i sin80^o

Теперь найдем мгновенное значение тока:

i = I_m sin(ωt + ψ_i) = 7,16 sin(3142t + 8^o)

tgφ = ωL₂/R₂

φ = arctg(ωL₂/R₂) = arctg3,142 = 72^o

φ = ψ_u – ψ_i

ψ_i = 80^o – 72^o = 8^o

ЗАДАЧА 1:

A e^jφ = a + jb

По формуле Эйлера: e^jφ = cosφ + jsinφ

70 e^-j120 = 70 (cos(-120^o) + jsin(-120^o)) = - 35 – j61

53 e^j308 = 53 (cos(308^o) + jsin(308^o)) = 32 – j42

57 e^-j40 = 57 (cos(-40^o) + jsin(-40^o)) = 44 – j37

28 e^j304 = 28 (cos(304^o) + jsin(304^o)) = 16 – j23

ЗАДАЧА 2:

a + jb = A e^jφ

См. графики – измеряем длину вектора (масштаб – 1 см =20 единицам)

и получаем A, измеряем отмеченный угол и получаем φ (в градусах).

81 + j86 = 118 e^j47

- 70 – j79 = 106 e^-j131

10 + j37 = 38 e^j15

- 41 – j96 = 106 e^-j113

ЗАДАЧА 3:

U = U e^jψu, I = I e^jψi

Найти: S, P, Q - ?

U = 87В, ψ_u = - 40^o

I = 9,4А, ψ_i = 144^o

φ = ψ_u - ψ_i = - 184^o

Q = UI sinφ = 87 * 9,4 * 0,068 = 55,6ВАр – реактивная мощность

P = UI cosφ = 87 * 9,4 * (-0,998) = 816Вт – активная мощность

S = UI = 817,8ВА – полная мощность

Проверим выполняется ли соотношение P² + Q² = S²:

_______________

S = √665856 + 3091,36 = 817,8ВА

Соотношение выполняется, значит искомые значения найдены правильно.

ЗАДАЧА 4:

R = 50 Ом, X_L = 70 Ом, X_C = 10 Ом, U = 360В

Найти показания ваттметра.

_____________

z = √R² + (X_L – X_C)² = 78 Ом

I = U cosφ / R

(W): P = UI cosφ = 360² * cos²50^o / 50 = 1072Вт

ЗАДАЧА 5:

U = 50В, I = 4,6А, P = 148Вт,

цепь имеет индуктивный характер. Z_вх - ?

Если цепь имеет индуктивный характер, то

Z_вх > 0.

Z_вх = R_вх + jX_вх

z = U/I = 10,87 Ом

cosφ = P/UI = 0,643

________

sinφ = √1 – cosφ² = 0,766

R_вх = zcosφ = 7 Ом

X_вх = zsinφ = 8,3 Ом

Z_вх = (7 + j8,3)Ом

R₁ = 30 Ом

R₂ = 51 Ом

R₃ = 86 Ом

R₄ = 35 Ом

L = 97 мГн

C = 73 мкФ

E = 252 В

I₁ - ?

1) Определить ток классическим методом (задача 1):

Послекоммутационная цепь:

i₁ = i_1уст + i_1св

По 1-му закону Кирхгофа:

i₁ + i₂ – i₃ = 0

По 2-му закону Кирхгофа:

u_c + i₂R₂ = i₁R₁ + L(di₁/dt); E = R₂i₂ + u_c + R₃i₃

Найдем установившийся ток через бесконечно большой промежуток времени (конденсатор не пропускает постоянный ток, а индуктивность проводит его как простой проводник):

i_1уст = E / (R₁ + R₃)

i_1уст = 252 / 116 = 2,17А

Найдем свободный ток:

Z(p) – характеристическое сопротивление цепи.

Z(p) = (R₂ + 1/cp) + R₃(R₁ + pL) / (R₁ + R₃ + pL)

Приравняем Z(p) к нулю.

(R₂ + 1/cp)(R₁ + R₃ + pL) + R₃R₁ + R₃pL = 0

5916 + 4,95p + 1,61*10⁶/p + 1328,77 + 2580 + 8,34p = 0

13,29p² + 9824,77p +1,61*10⁶ = 0

p₁ = - 43312,24

p₂ = - 87255,96

Т.к. корни уравнения вещественные, то:

i_1св = A₁e ^{– 43312,24* t} + A₂e ^{– 87255,96* t}

Найдем коэффициенты A₁ и А₂:

По 1-му закону коммутации ток в цепи, содержащей индуктивность, не может изменяться скачком.

t=0-

i_L(0-) = i_L(0+) = i_L(0) = i₁(0) = E / (R₁ + R₃ + R₄) = 252/151 = 1,67A

u_c(0-) = u_c(0+) = U_c(0) = i₁(0)R₁ = 50,1В

t=0+

i₂(0) = i₃(0) – i₁(0)

i₃(0) = [E – u_c(0) – R₂i₂(0)]/R₃

i₂(0) – (R₂i₂(0) / R₃) = (E – u_c(0) – i₁R₃)/R₃

i₂(0)(R₂ + R₃) = E – u_c(0) – i₁R₃

i₂(0) = [E – u_c(0) – i₁R₃] / (R₂ + R₃) = 58,28 / 137 = 0,43A

При t=0: di₁/dt = [i₂R₂ – i₁R₁ + u_c]/L = 21,93/0,097 = 226,08

i₁(0) = A₁ + A₂ = 1,67A

di₁/dt = p₁A₁ + p₂A₂ = 226,08

- 43312,24 A₁ - 87255,96 A₂ = 0

A₁ = 1,67 – A₂

- 72331,44 = 43943,72 A₂

A₂ = - 0,6 A₁ = 1,07

i_1св = 1,07e ^{– 87255,96* t} - 0,6e ^{– 43312,24* t} A

i₁(t) = 2,17 + 1,07e ^{– 87255,96* t} - 0,6e ^{– 43312,24* t} A

2) Определить ток операторным методом (задача 1):

Составим схему замещения для послекоммутационной цепи:

E(p) .=` E/p

J₁(p) = J₃(p) - J₂(p)

Li₁(0) + u_c(0)/p= J₁(p)(R₁ + pL) - J₂(p)(R₂ + 1/cp)

E/p - u_c(0)/p = J₃(p)R₃ + J₂(R₂ + 1/cp)

Решая систему уравнений, получим:

J₃(p) = [E/p – u_c(0)/p – J₂(R₂ + 1/cp)] / R₃

J₂(p) = [J₁(R₁ + pL) – Li₁(0) – u_c(0)/p] / (R₂ + 1/cp)

u_c(0) = 50,1В

i₁(0) = 1,67A

Решая систему уравнений, получаем

J₁(p) = 1,07/(p + 87255,96) - 0,6/(p+43312,24 ) + 2,17/p

1/(p + α) = e^-αt => i₁(t) = (2,17 + 1,07e ^{– 87255,96* t} - 0,6e ^{– 43312,24* t})A

4) Рассчитать ток i₄ с помощью интеграла Дюамеля (задача 2):

Разность потенциалов u₁ между зажимами заменяем веткой с противоположно-направленной ЭДС.

i_4уст = 0, т.к. конденсатор не пропускает постоянный ток

i₄(t) = Ae^pt

Комплексное сопротивление цепи

Z(p) = 1/cp + 2*[R*2R/(R + 2R)] = 1/cp + 4R/3 = 0

p = - 3/4RC

Через ветку с конденсатором проложена разность потенциалов:

u_c = E[R/(R+2R) - 2R/(2R+R)] = - E/3

По закону коммутации u_c скачком не меняется: u_c(0-) = u_c(0+) = u_c = - E/3

i₄(0) = - u_c(0)/(R + 2R) = E/4R = Ae⁰ = A

При E=1, i₄(t) = g₄(t) = (e^(-3/4RC)*t)/4R

g₄(t - τ) = (e^{(-3/4RC)*(t - τ)})/4R

Рассмотрим момент времени 0 ≤ t ≤ t₁

u₁ = A – kt

u₁' = - k

i₄(t) = u₁(0) g₄(t) + ∫u₁'(τ) g(t – τ)dτ = [2A(e^(-3/4RC)*t )/4R] + ∫-k*(e^{(-3/4RC)*(t - τ)})/4Rdτ =

= [A(e^{(-3/4RC)* t} )/2R] – (ke^-3t/4RC/4R)*∫e^3τ/4RCdτ =

= [A(e^{(-3/4RC)* t} )/2R] – (ke^-3t/4RC/4R)*[4RCe^3t/4RC/3 – 4RC/3] =

= [A(e^{(-3/4RC)* t} )/2R] – [kC + ke^-3t/4RCC]/3

Рассмотрим момент времени t ≥ t1

u₂ = 0; u₂' = 0

i₄(t) = u₁(0) g₄(t) + ∫u₁'(τ) g(t – τ)dτ + (u(t₁) - 0) g₄(t – t₁) + ∫u₂'(τ) g₄(t – τ)dτ =

= [A(e^{(-3/4RC)* t} )/2R] – [Cke^-3t/4RC(e^{3 t1/4RC} – 1)/3] + (A/2)*(e^{(-3/4RC)*(t – t1)})/4R + 0 =

= [A(e^{(-3/4RC)* t} )/2R] – [Cke^-3t/4RC(e^{3 t1/4RC} – 1)/3] + A e^{(-3/4RC)*(t – t1)} / 8R