Shpori (Долгожданная шпаргалка для экзамена по матанализу факультета ВМС), страница 2

Если ряд сходится условно, то каким бы ни было число A, можно так переставить члены ряда, что сумма полученного ряда будет равна A

Замечание: Можно сделать ряд расходящимся

Функциональные ряды.

1) Основные определения.

Рассмотрим последовательность функций . с общей областью определения Е.

Определение 1. (1) называется функциональным рядом.

Пример 1. Здесь .

Пусть точка . Тогда ряд (1) в точке обращается в числовой ряд (2):

, который может сходиться или расходиться.

Определение 2. Совокупность всех значений переменной х, для которых

функциональный ряд (1) обращается в сходящийся числовой ряд, называется

областью сходимости функционального ряда.

Или: . Если , то - сумма ряда в

точке .

) Равномерная сходимость функционального ряда.

Определение 1. Последовательность функций с общей областью

определения называется равномерно сходящейся к функции не множестве

, если .

Обозначение: ; - предельная функция последовательности.

Определение 2. Функциональный ряд сходится к сумме равномерно

на множестве Х, если последовательность его частичных сумм сходится

равномерно к на Х. Записывают так:

последовательность частичных сумм сходится к S равномерно на Х.

функциональный ряд сходится к сумме S в области D.

функциональный ряд сходится равномерно к S на множестве .

Признак равномерной сходимости.

Определение 1. Числовой знакоположительный сходящийся ряд

называется мажорантой на множестве Х для функционального ряда , если

.

Теорема (признак Вейерштрасса): Если функциональный ряд имет на

множестве Х мажоранту, то он сходится равномерно на Х.

4) Методы построения мажоранты.

1) использование св-ва ограниченности ф-ций

. .

2) использование св-ва монотонности

а) [1/3;3] т.к. функция монотонно

возрастает на данном отрезке - мажоранта на этом множестве.

б) - сходящийся ряд на , ,

3) использование неравенства

- равномерно сходится на . .

4) нахождение максимума функции

а) .

б) сходится равномерно на .

Здесь неравенство (3) неприменимо. .

. - мажоранта на .

Замечание: при х<0, .

5) использование св-в геометрической прогрессии.

. Область определения . Сходится равномерно на

тогда это уже будет убывающая геометрическая прогрессия,

- мажоранта. Кстати, .

6) Ряд сходится равномерно на , но признак Вейерштрасса здесь

не работает. , но не может быть мажорантой, т.к. расходится.

Поступим по определению: , ,

сходится равномерно на .

Свойства равномерно сходящихся функциональных рядов.

1. Непрерывность суммы равномерно сходящегося ряда

Теорема 1:

1)

2) -непрерывна в

1), 2) - непрерывна в

1. Действие с равномерно сходящимися рядами

Теорема (о почленном интегрировании равномерно сходящегося ряда)

1) (непрерывна на )

2)

1), 2)

Теорема (о почленном дифференцировании функционального ряда):

1)

2) сходится в

3)

1) 2) 3)

Теорема (о линейной комбинации равномерно сходящихся рядов):

Теорема (о предельном переходе):

1) определена в и для

2)

а) - числовой ряд сходится

б)

Замечание: Из этой теоремы легко следует Т.1 (о непрерывности суммы)

Степенные ряды.

1. Теорема Абеля

Рассмотрим наиболее общий вид степеного ряда: ,

где - комплексная переменная.

Теорема. Если ряд сходится в точке , то он абсолютно

сходится в круге и сходится равномерно в круге .

Напоминание: геометрический смысл модуля разности двух комплексных чисел -

расстояние между точками: .

Следствие. Если ряд расходится в точке , то вне круга

он расходится (доказательство "от противного").

2. Круг и радиус сходимости степенного ряда.

Опр. Положительное вещественное число R называется радиусом сходимости

степенного ряда , если он сходится в круге , и расходится

вне его, т.е. для .

Опр. Круг с центром в точке называется центром сходимости.

Замечание. На окружности поведение степенного ряда неизвестно.

Он может сходиться или расходиться в различных точках этой окружности.

Теорема (Коши-Адамара). Рассмотрим ряд . Если , то

.

Замечание. Центр круга сходимости - в точке => зная радиус R, мы знаем

область сходимости.

Ряды Тейлора

1. Единственность ряда Тейлора

Пусть функция f(x) задана в некоторой окрестности точки и имеет в этой точке производные любого порядка, т.е.

Определение 1:

Степенной ряд вида

называется рядом Тейлора функции f(x) в точке

Если , то ряд (1) превращается в ряд

называется рядом Маклорена функции f(x)

Итак, ряд Тейлора – ряд по степеням разности , а ряд Маклорена – ряд по степеням X.

Теорема 1 (необходимое условие представления степенным рядом)

Если в некоторой окрестности точки справедливо разложение ,

то f(x) – бесконечно дифференцируема и коэффициенты вычисляются по формулам:

Теорема 2:

Ряд Тейлора для F(x) в точке определяется единственным способом.

1. Условие представимости функции рядом Тейлора

Теорема 1 (критерий разложения в ряд Тейлора)

Пусть f(x) дифференцируема в интервале . Тогда ее ряд Тейлора сходится к f(x) тогда и только тогда, когда остаточный член формулы Тейлора стремиться к нулю при

Краткая запись:

Теорема 2: (Достаточное условие разложения в ряд Тейлора)

1. f(x) бесконечно дифференцируема в интервале и

1), 2)

1. Ряды Маклорена основных элементарных функций.

Методы разложения функций в ряд Тейлора.

Ряды Фурье. Ортогональные системы функций и общие ряды Фурье.

1. Понятие гильбертова пространства.

Функция называется кусочно-непрерывной на сегменте , если она

непрерывна всюду на этом сегменте за исключением конечного числа точек

разрыва первого рода.

Рассмотрим множество всех таких функций с

интегрируемым квадратом: .

Утв.1 Пространство - линейное векторное пространство.

Аксиомы линейного пространства выполняются.

1) (переместительное св-во). .

2) (распределительное св-во).

.

3) . .

4) . Чтобы выполнялась 4я аксиома, придется принять

дополнительное условие: если - точка разрыва, то

(чтобы в точках разрыва нулевой элемент тоже равнялся

нулю).

Утв. 2 Пространство - линейное векторное пространство со скалярным

произведением, для которого выполнены все аксиомы => - евклидово п-во.

Определение. Полное евклидово пр-во называется гильбертовым пр-вом в

честь немецкого математика Гильберта (1862-1943), кот. в 1900 сформулировал

23 проблемы математики.

Понятие полноты пространства разберем ниже.

2) Норма функции и её свойства.

Опр. Число называется нормой функции , если .

Св-ва нормы:

В пространстве определим норму .

Утв.3 - линейное нормированное пространство.

3) Ортогональные и ортонормированные системы функций.

Опр. 1 и называются ортонормированными на , если их

скалярное произведение = 0, т.е. .

Опр. 2 Система функций называется ортогональной на ,

если функции системы попарно ортогональны, т.е. .

Опр.3 Система называется ортонормированной, если

.

4) Метод ортогонализации линецно независимой системы функций. (метод

Грамма-Шмидта).

Пусть - линейно-независимая система функций, т.е. в евклидовом

пространстве . Положим

. .

Тогда - ортогональная система, а - ортонормированная.

5) Ряд Фурье по ортогональной системе функций.

- ортогональная система функций в . Предположим, что

разложима в ряд по системе и он : (1)

,

.

Ряды Фурье по тригонометрическим системам.

Опр: Системы (1) и система

(2) будем называть тригонометрическими системами. Докажем

ортогональность для системы (1) на :

Опр: ортогональна на множестве, если .

а) , как интеграл от нечетн. функции на четном интервале.

б) .

в) (в силу нечетности произведения функций).

г) .

д)

Итак, какие две различные функции мы не возмем, они ортогональны, значит

система ортогональна на . Вычислим нормы элементов системы (1):

.

. . Итак:

.

Запишем тригонометрический ряд для произвольной функции. Ряд Фурье по

тригонометрической системе на :

Это ряд Фурье функции

по системе (1) на . Вычислим коэффициенты . Умножим

скалярно левую и правую части на 1: . В силу ортонормальности

системы (1) все отмеченные произведения равны 0, за исключением первого . Обозначим за . Для вычисления

умножим обе части на :

. В

силу ортогональности системы все отмеченные скобки равны 0, за исключением

предпоследней . Чтобы вычислить коэффициенты