Курсовая работа по языку Visual C (Курсовая работа - Visual C)

Задание.

Вычислить методом Ньютона корень уравнения x * e ^ x = 1,215 + a с точностью до ε. a - параметр - абсцисса точки минимума функции f(x) = x ^ 4 + x ^ 2 + x - 1 на заданном отрезке [c;d].

В условии сказано, что с = -1, d = 1, ε = 1/1000.

Описание работы.

Для выполнения данной курсовой работы нам требуется использовать метод Ньютона, но для него также нужно одно условие: должна быть известна точка минимума функции f(x). Поэтому на моём пути стоит две задачи: нахождение точки минимума функции и работа с методом Ньютона.

Начну с метода минимизации. В учебниках алгебры описаны два известных метода: метод пассивного поиска и метод золотого сечения. С точки зрения скорости (и производительности программы) буду использовать второй метод (золотого сечения), так как он представляет собой простой перебор значений функции с некоторым шагом ε. Получается цикл вычислений на промежутке [c;d], делаемый (d - c) / ε раз. Метод золотого сечения удобен тем, что в процессе его выполнения на известном отрезке берутся дополнительные пробные точки (α, β), которые рассматриваются как новые границы данного отрезка. Это и придаёт методу золотого сечения бонус скорости, во много раз превосходящий метод пассивного поиска.

Способ нахождения пробных точек:

α = ρ + ( (3 - √5) * (d - c) / 2,

β = a + ( (√5 - 1) * (d - c) / 2.

Способ нахождения новых границ отрезка:

Если f(α) < f(β), то в качестве следующего приближения к искомому минимуму будет взято число α, а в качестве нового значения d будет взято число β (c - неизменно). В противном случае (f(α) ≥ f(β)) в качестве приближения к минимуму будет взято число β, а новым значением c будет взято число α (d - не изменяется).

Метод Ньютона представляет собой способ решения уравнения типа f (x) = 0. Для его применения требуется:

• Непрерывность функции на отрезке [c;d];

• Функция должна иметь производную в каждой точке этого отрезка.

За первичное приближение к искомому корню Х₀ беру любую точку из отрезка

[c;d]. После через эту точку можно провести касательную, а в качестве нового приближения Х₁ возьму точку пересечения этой касательной с осью Х. После повторения этой процедуры n раз получается последовательность приближений к искомому корню. Все эти значения находятся по формуле X_n = X_{n - 1} - f(X _{n - 1}) / f΄(X_{n - 1}). Вычисления должны быть прекращены, когда |f(X_n)| ≤ ε.

Однако эта рекуррентная формула в некоторых случаях расходится, вследствие этого когда f(X_n) * f΄΄( X_n) ≤ 0 (расхождение), то вычисления методом Ньютона следует прекратить.

Описание программы.

Программа представляет собой 1 файл Kurs1.cpp, разбита на 7 подпрограмм:

Void main() - главная подпрограмма, вызывающая нижеследующие и с помощью них исполняющая цель данной курсовой работы. Полученные результаты будут выведены на экран.

Double f(double x) - расчёт минимизированной функции для нахождения параметра a (f(x)=x^4 + x^2 +x -1; входной параметр - x.

Double f1(double x) - расчёт функции, задающей уравнение (f(x) = x* e^x - 1,215 - a); входной параметр - x.

Double proiz1(double x) - расчёт первой производной; входной параметр - x.

Double proiz2(double x) - расчёт второй производной; входной параметр - x.

Double metod(double a, double b, double eps) - минимизация методом золотого сечения; входные параметры - a, b - начальная и конечная границы отрезка, eps - заданная погрешность вычислений.

Double newton(double a, double b, double eps) - поиск корня уравнения методом Ньютона; входные параметры - a, b - начальная и конечная границы отрезка, eps - заданная погрешность вычислений.

#include <stdio.h>

#include <math.h>

#include <conio.h>

double abcissa;

// параметр а - абцисса

double f(double x);

// функция для нахождения параметра а

{

return x*x*x*x+x*x+x-1;

}

{double f1(double x);

// уравнение, которое требуется решить

return x*exp(x)-1,215-abcissa;

}

double proiz1(double x);

// расчёт первой производной

{

double h;

h=1e-6;

return (f1(x+h)-f1(x-h))/(2*h);

}

double proiz2(double x);

// расчёт второй производной

{

double h;

h=1e-6;

return (f1(x+h)-2*f1(x)+f1(x-h))/(h*h);

}

double metod(double a, double b, double eps);

// метод золотого сечения

{

double x, alp, bet, falp, fbet;

x=(f(a)<(f(b))?a:b;

alp=a+((3-sqrt(5))/2)*(b-a);

bet=a+((sqrt(5)-1)/2)*(b-a);

falp=f(alp);

fbet=f(bet);

while (fabs(b-a)>=eps)

{

alp=a+((3-sqrt(5))/2)*(b-a);

bet=a+((sqrt(5)-1)/2)*(b-a);

if(falp < fbet)

{

x=alp;

b=bet;

falp=f(alp);

}

else

{

x=bet;

a=alp;

fbet=f(bet);

}

}

return x;

}

double newton(double a, double b, double eps);

// метод Ньютона

{

double xn, xn1, an, bn;

xn=b;

an=a;

bn=b;

while (fabs(f1(xn)) > eps)

{

if (an*f1(xn)<0)

bn=xn;

else

an=xn;

if (f1(xn)*proiz2(xn)<0)

{

printf("\n STOPPED");

break;

}

xn1=xn;

xn=xn1-(f1(xn1)/proiz1(xn1));

}

return xn;

}

void main()

// главная подпрограмма

{

double c, d, eps, x;

eps=0.001;

c=-1;

d=1;

printf("\n KURSOVAYA RABOTA");

abcissa=metod(c,d,eps);

// находим абсциссу

printf("\n ABCISSA=%f",abcissa);

x=newton(c,d,eps);

printf("\n KOREN=%f\n",x);

getch();

}