lab_1.36_kiber.org (Лабораторная работа №1.36)

Определение момента инерции вращающегося тела.

Кинетическая энергия вращающегося тела Т может быть рассчитана как сумма кинетических энергий отдельных его элементов :

Значение, стоящее в скобках называют моментом инерции:

Отсюда первое равенство будет иметь вид:

Сопоставим полученное выражение для кинетической энергии вращающегося тела с выражением для кинетической энергии тела движущегося поступательно.

Видно, что момент инерции вращающегося тела имеет то же физическое значение при вращательном движении, как масса тела при его поступательном движении, которая является мерой его инерции.

Инертность вращающегося тела зависит не только от массы, но и от того, как эта масса распределена относительно оси вращения. Если мы будем иметь одну вращающуюся точку с массой m, находящуюся на расстоянии r от оси вращения, то ее момент инерции будет равен:

J=mr²

Момент инерции тела есть сумма моментов инерции отдельных материальных точек. Вычисление момента инерции представляет сложную задачу, так как приходится находить сумму бесконечно большого числа бесконечно малых слагаемых. Для тел правильной геометрической формы эта задача решается методом интегрального исчисления. Существует ряд методов, позволяющих определить момент инерции экспериментально.

В настоящей работе опытным путем определяют момент инерции маховика насажанного на вал, на котором прикреплен шкив. Вся система может вращаться около горизонтальной оси.

На шкиве имеется небольшой штифтик, на который надевается петля нити на другом конце которой привязан груз m.

Нить наматывают на шкив, поднимая на высоту h от пола. В этом положении груз будет обладать потенциальной энергией (относительно пола). Если отпустить маховик, то груз будет опускаться, двигаясь равноускоренно и приводя во вращение систему (маховик, вал и шкив). При этом потенциальная энергия груза будет переходить в его кинетическую энергию, кинетическую энергию вращения системы и частично будет расходоваться на работу преодоления сил трения.

В тот момент, когда груз достигнет пола, его потенциальная энергия будет израсходована, тогда применяя закон сохранения энергии запишем:

где v – скорость груза в самой нижней точке пути; ω – скорость вращающейся системы в тот же момент. За время движения t груз достигает пола и соскакивает со шкива, а система продолжает вращаться. В следствии наличия сил трения движение системы через некоторое время прекратится. Кинетическая энергия, которой обладала вращающаяся система в момент удара груза о пол, полностью переходит в работу сил трения.

Можно считать, что работа сил трения пропорциональна числу оборотов: обозначим работу против сил трения при одном обороте через А1, а работу сил трения за время спуска груза через А. Обозначим через N1 число оборотов системы за время спуска груза m и через N2 число оборотов от момента удара груза о пол до полной остановки системы.

Тогда :

Из этих уравнений находим:

От сюда получаем, что:

Скорость груза при ударе об пол определяем как:

где t – время падения груза; h – высота его падения. Так как нить намотана на шкив, то линейные скорости точек на поверхности шкива в любой момент равны скорости груза – v. Тогда для угловой скорости системы будем иметь:

где R – радиус шкива; D – диаметр шкива. Отсюда можно получить, что:

Практика лабораторных работ показывает, что обычно и по этому при вычислении J можно использовать упрощенную формулу:

Определяя величины, входящие в правую часть этого выражения, вычисляют момент инерции.

Теперь, для вычисления абсолютной погрешности найдем относительную погрешность, для этого прологарифмируем предыдущую формулу, а потом продифференцируем полученное выражение слева и справа, поменяв знак «-» на «+», и, наконец, заменяя дифференциалы получим:

Расчеты:

m = 164 гр. h = 0.65 м. N₁ = 3.5 D = 0.065 м.

Ответ : кг м²

Вывод: в результате этого опыта мы нашли момент инерции вращающегося твердого тела и рассчитали погрешность проводимых вычислений.