МУ и варианты ТР(1 часть) пределы,производные (Методичка и варианты типового расчета по матанализу 1 семестр), страница 2

Если один из рассматриваемых пределов обращается в ∞ или не существует, то это свидетельствует о том, что наклонных асимптот график функции не имеет.

Для рассматриваемой функции находим

Следовательно, график функции имеет и наклонную асимптоту .

1. Находим первую производную

Находим критические (подозрительные) точки на экстремум. Это x₁ = 0 и x₂ = 6 - точки, где y' = 0, а также точка x = 2, где производная y' не существует.

Составим следующую таблицу:

Из таблицы видно, что при функция возрастает, при функция убывает, а при функция вновь возрастает. В точке x=6 функция достигает минимума.

1. Находим вторую производную

Приравнивая , находим x=0, а в точке x=2 y'' не существует.

Cоставим следующую таблицу:

1. П остроение графика функции целесообразно начинать с построения асимптот, затем на плоскости изображаются характерные точки графика функции – точки пересечения с осями координат, точки экстремума, точки перегиба. Учитывая все полученные сведения, строим эскиз графика заданной функции. (рис. 1)

Рис. 1

1. Комплексным числом называется упорядоченная пара действительных чисел z = (a; b). Алгебраическая форма комплексного числа имеет вид z = a + ib.

Рассмотрим два комплексных числа:

Сумма, разность, произведение и частное двух комплексных чисел определяются следующим образом:

Г еометрически комплексные числа изображаются точками на комплексной плоскости или радиусами векторами этих точек.

0

Рис. 2

К омплексное число z = a + bi можно интерпретировать как точка М или радиус-вектор ОМ. (рис. 2)

Каждое комплексное число z = a + bi, отличное от нуля, может быть представлено в тригонометрической форме:

где - модуль комплексного числа,

- аргумент комплексного числа.

Согласно формуле Эйлера

,

поэтому комплексное число может быть также представлено и в показательной форме

.

Тригонометрическую и показательную форму комплексного числа используют при умножении и делении комплексных чисел, а также при возведении комплексного числа в целую степень и извлечении корня целой степени.

Если

то

где k = 0, 1, 2, … (n - 1).

Пример: Заданы два комплексных числа

Найти:

а) z₁ + z₂ , z₁ – z₂ , z₁ · z₂ , и изобразить их на комплексной плоскости;

б) z₁⁶ ;

в) .

Решение:

Радиус-вектор определяет число , радиус-вектор определяет число Числа z₁ · z₂ и изображены соответственно радиусами-векторами и . (рис. 3)

Рис. 3

Представим комплексные числа и в тригонометрической и показательной формах:

Тогда

Вычислим . По формуле Муавра:

Найдем все значения . По формуле

, где k = 0, 1, 2, 3.

Следовательно:

Рис. 4

Точки, соответствующие числам находятся на вершинах квадрата, вписанного в окружность радиуса с центром в точке z = 0. (рис. 4)

ФОРМУЛЫ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ

ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ

УСЛОВИЯ ПРИМЕРОВ И ЗАДАЧ ОСНОВНОЙ ЧАСТИ ЗАДАНИЯ.

1. Вычислить предел функции с помощью первого замечательного предела.

2. Вычислить предел функции с помощью второго замечательного предела.

3. Найти производную функции.

4. Найти производную функции, применяя предварительно логарифмирование функции.

5. Найти производную неявно заданной функции.

6. Найти первую и вторую производные по x функции, заданной параметрически.

7. Найти производную функции указанного порядка.

8. Вычислить предел функции, используя правила Лопиталя.

9. Провести полное исследование и построить графики двух предлагаемых функций.

10. З аданы комплексные числа z₁ и z₂:

а) найти комплексные числа и изобразить их точками на комплексной плоскости;

б) возвести в степень m число z₁;

в) найти все значения корня n – ой степени из числа z₂.

УСЛОВИЯ ПРИМЕРОВ И ЗАДАЧ

ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ ЧАСТИ ЗАДАНИЯ.

1. Исследовать на непрерывность и построить график функции.

2. Найти углы между пересекающимися кривыми y = f(x) и у = φ(x), предварительно сделав вывод общей формулы.

3. Решить уравнение.

4. Доказать справедливость приведенного равенства или неравенства. При доказательстве неравенства использовать теорему Лагранжа.

ВАРИАНТ 1

Основная часть задания:

Дополнительная часть задания:

ВАРИАНТ 2

Основная часть задания:

Дополнительная часть задания:

ВАРИАНТ 3

Основная часть задания:

Дополнительная часть:

ВАРИАНТ 4

Основная часть задания:

Дополнительная часть задания:

ВАРИАНТ 5

Основная часть задания:

Дополнительная часть задания:

ВАРИАНТ 6

Основная часть задания:

Дополнительная часть задания:

ВАРИАНТ 7

Основная часть задания:

Дополнительная часть задания:

ВАРИАНТ 8

Основная часть задания:

Дополнительная часть задания:

ВАРИАНТ 9

Основная часть задания:

Дополнительная часть задания:

ВАРИАНТ 10

Основная часть задания:

Дополнительная часть задания:

ВАРИАНТ 11

Основная часть задания:

Дополнительная часть задания:

ВАРИАНТ 12

Основная часть задания:

Дополнительная часть задания:

ВАРИАНТ 13

Основная часть задания:

Дополнительная часть задания:

ВАРИАНТ 14

Основная часть задания:

Дополнительная часть задания:

ВАРИАНТ 15

Основная часть задания:

Дополнительная часть задания:

ВАРИАНТ 16

Основная часть задания:

Дополнительная часть задания:

ВАРИАНТ 17

Основная часть задания:

Дополнительная часть задания:

ВАРИАНТ 18

Основная часть задания:

Дополнительная часть задания:

ВАРИАНТ 19

Основная часть задания:

Дополнительная часть задания:

ВАРИАНТ 20

Основная часть задания:

Дополнительная часть задания:

ВАРИАНТ 21

Основная часть задания:

Дополнительная часть задания:

ВАРИАНТ 22

Основная часть задания:

Дополнительная часть задания:

ВАРИАНТ 23

Основная часть задания:

Дополнительная часть задания:

ВАРИАНТ 24

Основная часть задания:

Дополнительная часть задания:

ВАРИАНТ 25

Основная часть задания:

Дополнительная часть задания: