pozisionn_zadanii (Позиционные задачи), страница 2

1.Элипсоиды – Эллипсы

2.Конусы 2-ого порядка: эллипсы, гиперболы, параболы, пересекающиеся прямые.

3.Двухполосные гиперболы - эллипсы , гиперболы, параболы

4.Параболические цилиндры: параболы, пары параллельных прямых и др.

Поверхности второго порядка

21 Поверхности второго порядка — поверхности, которые пересекаются с произвольной прямой в двух точках (иногда совпадающих или мнимых), а с плоскостью — по кривым второго порядка (иногда распадающимся на две прямые или мнимые кривые).

Примерами поверхностей второго порядка являются поверхности вращения: коническая, цилиндрическая и сферическая.

Пересечение сферы с плоскостью.

В этом случае линией пересечения будет окружность. Если плоскость занимает положение плоскости уровня, то на параллельную плоскость проекций эта окружность сечения будет проецироваться без искажения, а на перпендикулярную плоскость проекций — в отрезок прямой, -равный по длине диаметру окружности. На рис,8,а сфера пересекается горизонтальной плоскостью уровня П"( П")- Окружность пересечения проецируется на горизонтальную плоскость проекций П₁ без искажения — в окружность n', а на плоскость проекций П"—в отрезок прямой л- = Н", Если секущая плоскость занимает положение проецирующей плоскости, то на плоскость проекций, перпендикулярную проецирующей плоскости, окружность сечения будет проецироваться в отрезок прямой, равный по длине диаметру окружности сечения (на рис. 8, б — на П"), а на другую плоскость проекций — в эллипс, большая ось которого равна диаметру окружности сечения (на рис.8,б - на П'). Чтобы построить горизонтальную проекцию линии пересечения—эллипс п' (рис.), следует найти проекции ряда точек этой линии, т. е. применить план решения задач на принадлежность . При этом вначале нужно найти опорные точки линии сечения, а затем промежуточные. Опорными будут точки, ограничивающие большую и малую оси эллипса — 3; 7 и 1; 5, и точки пересечения секущей плоскости Ф с экватором сферы — 2 к 8. Промежуточные точки находят в интервале между опорными, учитывая симметрию эллипса относительно его осей.

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ КОНИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ ПЛОСКОСТЬЮ. ПОСТРОЕНИЕ РАЗВЕРТКИ

При пересечении конической поверхности вращения плоскостью получаются различные линии —прямые, замкнутые кривые — окружности и эллипсы, незамкнутые кривые — параболы и гиперболы, а также точка. Вид указанных линий определяется положением секущей плоскости относительно вершины конической поверхности и соотношением между величинами углов наклона секущей плоскости и образующей конической поверхности к ее оси.

Если секущая плоскость а(а") проходит через вершину (рис. 9,а), то пересечение плоскости с конической поверхностью в зависимости от угла φ наклона плоскости к оси поверхности образует:

при Ψ< φ < (180° — Ψ) — точку;

при φ - Ψ —прямую, по которой плоскость касается поверхности:

при 0 ≤ φ < Ψ —две прямые (образующие).

Если плоскость пересекает коническую поверхность и при не проходит через вершину, то в их пересечении имеют место (рис 9,б,в)

при φ = 90° — окружность (плоскость, перпендикулярная окружность АМВ (А "М" В ') в пересечении с плоскостью а (а") рис. 9.б); (а" )-

при Ψ < φ < (180° —φ — эллипс (эллипс СМD (С"М"В") в пресечении с плоскостью ß (ß") — рис. 9.б — плоскость пересекает все образующие конической поверхности);

при 0 ≤ φ < φ — гипербола (плоскость параллельна двум образующим и пересекает коническую поверхность по обе стороны от например гиперболы с вершинами Е(Е") и F(F") в пересечении с плоскостью Ψ (Ψ") или с вершинами 1(1 ") и 2(2 ") в пересечении с плоскостью Ψ ,( рис. 9.в);

при φ = Ψ — парабола (плоскость параллельна одной из образующих, например, парабола с вершиной К (К" в пересечении с плоскостью б (б "), рис. 9.в).

Наглядное изображение кривых — эллипса, гиперболы, параболы, получающихся при пересечении конической поверхности плоскостями ß , и, б, приведено на рис. 10.

Пересечение конуса с плоскостью.

Для построения кривой линии, получаемой при пересечении конической поверхности плоскостью, в общем случае находят точки пересечения образующих конической поверхности с секущей плоскостью. Соответствующий пример в случае пересечения фронтально проецирующей плоскостью а (а ") конуса с вершиной G приведен на рис. 11. Построение линии пересечения плоскости с конической поверхностью обычно выполняют в следующем порядке. Основание конуса делят на равное число частей, обычно 12, проводят горизонтальные проекции G'1', G' 2',..., G'12' образующих и строят их фронтальные проекции. На фронтальной проекции отмечают фронтальные проекции точек пересечения построенных образующих на видимой поверхности конуса с секущей плоскостью а (а "): С" D", Р", I", а также крайних точек А" и В". Горизонтальные проекции строят в проекционной связи на соответствующих проекциях образующих — точки А', С', D', Р', Г, В' на проекциях образующих G' 1', G'2', G'З', G'5', G'6', G''7', а также симметричные им точки на проекциях образующих G'12', G'11, G'9', G'8. Горизонтальную проекцию Е' точки Е на образующей G'4' и симметричной точки на образующей G' 10' строят с помощью окружности радиуса Е"Е1", проведенной на поверхности конуса.

На фронтальной проекции большая ось АВ эллипса — линии Пересечения фронтально проецирующей плоскости с конусом — проецируется в натуральную величину: [АВ]≡ [А "В "]. Малая ось MN эллипса перпендикулярна большой и проецируется в точку М "(N ") в середине фронтальной проекции А "В " большой оси.

Построение горизонтальной проекции малой оси эллипса выполнено с помощью параллели с проекциями М"14 "и М'14'N'. Горизонтальная проекция М 'N' малой оси эллипса построена в проекционной связи как хорда горизонтальной проекции М' 14'N' этой параллели.

Профильная проекция линии среза конуса также построена по Фронтальной и горизонтальной проекциям точек в проекционной связи.

Отметим, что на профильной проекции точки А'" и В'" — низшая и высшая, М'" и N"' —крайние (правая и левая), Е'" и симметричная ей—точки касания проекций G "'4'" и G"10"' образующих.

Рис. 2

Рис. 3

Рис. 8

Рис.

Рис. 9

Рис. 11

1

* Известно, что если три точки одной плоскости принадлежат второй, то эти плоскости совпадают.