15

ПЛАН РЕФЕРАТА.

1.Введение.

2. Позиционные задачи

Принадлежность точки поверхности

Взаимное пересечение поверхностей

Взаимная принадлежность геометрических фигур

Взаимное пересечение геометрических фигур

3.Плоские сечения поверхности второго порядка

Пересечение конуса с плоскостью

4. Заключение

5. Библиография

6. Приложение

Введение.

В настоящее время нельзя представить работу и развитие любой отросли народного хозяйства, а также науки и техники без чертежей. Но вновь создаваемые приборы. машины и сооружения сначала разрабатывают чертежи (проекты),изображают всевозможные сочетания геометрических форм на плоскости, решают позиционные и метрические задачи, проводят исследования геометрических образов по их изображениям. Только после обсуждения проектов изготавливают образцы.

Реферат содержит краткий обзор известных задач, связанных с взаимным расположением геометрических фигур, включая задачи на взаимную принадлежность и на взаимное пересечение, а также плоские сечения поверхностей второго порядка.

Заключение.

Значение инженерной графики позволяет инженеру выполнять и читать чертежи так же, как знание азбуки и граматики позволяет человеку читать и писать.

Изложенные в реферате материалы по теме «Позиционные задачи» и «Плоские сечения поверхности второго порядка» дают возможность полноценно изучить инженерную графику, знание которой необходимо каждому специалисту – инженеру.

Изучение курса инженерной графики так же развивает пространственное предстовление и логическое мышление. Доказательство многих теоретических положений курса осуществляется посредством логических рассуждений.

Библиография.

1. Чекмарев А.А.

Инженерная графика

2.Лагерь А. И., Колесникова Э.А.

Инженерная графика

3. Власов М.П.

Инженерная графика

4.Локтев. О.В

Краткий курс начертательной геометрии

5 Бубенников А.В.

Начертательная геометрия

6Чекмарев А. А., Осипов В.К.

Справочник по машиностроительному черчению.

Позиционные задачи.

Позиционными называют задачи, связанные с решением на комплексном чертеже вопросов взаимного расположения геометрических образов. Наибольший практический интерес здесь представляют две группы задач: задачи на взаимную принадлежность и задачи на взаимное пересечение. Прежде чем рассматривать конкретные позиционные задачи, необходимо разобрать решение двух исходных задач: о принадлежности точки поверхности и о взаимном пересечении поверхностей, так как они используются для решения остальных позиционных задач.

Принадлежность точки поверхности

Для того чтобы решить задачу о принадлежности точки поверхности, например точки В конической поверхности вращения на рис. 1, необходимо:

— вначале допустить, что точка принадлежит поверхности, т. е. конкретной образующей поверхности (на рис. № 1 образующей S2);

— задать эту образующую, т. е. на чертеже нанести ее проекции, при этом одну из этих проекций провести через проекцию точки (например, проекцию S"2" через проекцию В" точки В), а вторую — исходя из условий принадлежности образующей поверхности;

— затем сравнить взаимное положение этой второй проекции образующей и заданной точки (проекций S'2' и В'). Если эти проекции совпадают (на рис.1, б — совпадают), то это значит, что точка принадлежит образующей а следовательно, и поверхности. Если эти проекции не совпадают, то точка не принадлежит поверхности.

В общем случае вместо образующей можно взять и другую линию поверхности. Но эта линия должна быть простой для построения на чертеже, чтобы не усложнять решение задачи. В пределах курса в качестве таких линий используют прямые и окружности. Для того чтобы правильно выбрать эту вспомогательную линию, нужно знать, какая задана поверхность и какие простые линии она содержит.

В итоге план решения задач на принадлежность точки поверхности включает:

— определение вида заданной поверхности;

— выбор графически простой для построения на чертеже линии поверхности, проходящей через заданную точку;

— построение проекций этой линии на чертеже; — построение искомых проекций точки.

Взаимное пересечение поверхностей

Задачи на взаимное пересечение геометрических фигур можно разделить на две группы: задачи на взаимное пересечение поверхностей и задачи на пересечение линии с поверхностью, в том числе и прямой с поверхностью (для решения этих задач используют проецирующие поверхности, в том числе и плоскости). Решение задач первой группы является более общим, так как используется при решении задач второй группы.

Для построения линии пересечения поверхностей необходимо использовать вспомогательные секущие поверхности Δ₁; Δ₂ ; ... (рис 2). при этом вначале находят линии пересечения m₁, m₂; ..и n₁, n₂.;.. этих вспомогательных поверхностей с заданными Ώ и Σ. Затем для каждой вспомогательной секущей поверхности в пересечении этих линий m₁ и n₁ m₂ и n₂.;.. получают точки их пересечения — 1, 2, 3, ... Эти точки принадлежат одновременно всем трем поверхностям — заданным и вспомогательной, следовательно, и искомой линии пересечения. Число используемых вспомогательных секущих поверхностей, а следовательно, и построенных точек линии пересечения зависит от требуемой точности решения задачи.

Соединив на чертеже одноименные проекции найденных точек плавной линией, получаем проекции линии пересечения заданных поверхностей.

При построении линии пересечения поверхностей необходимо вначале найти опорные точки, а затем — промежуточные.

К опорным относят точки, лежащие на контурных линиях поверхности (т. е. отделяющие видимую часть линии пересечения от невидимой относительно соответствующей плоскости проекций); экстремальные точки (высшие, низшие и т. п.), а также точки, лежащие на ребрах и на линиях оснований поверхностей. В отдельных случаях для нахождения опорных точек выполняют дополнительные построения, например, проецируют заданные поверхности на дополнительную плоскость проекций, в том числе и на плоскость П'".

В качестве вспомогательных секущих поверхностей следует применять такие, которые рассекают заданные поверхности по заранее известным и простым для построения на чертеже линиям (по прямым или окружностям). В качестве таких поверхностей широко применяют плоскости и сферы. Для правильного выбора вспомогательной поверхности необходимо знать заданные поверхности.

В итоге план решения задач на взаимное пересечение поверхностей включает: ,

— определение вида заданных поверхностей; — выбор вспомогательных секущих поверхностей;

— нахождение опорных точек линии пересечения;

• нахождение промежуточных точек линии пересечения;

• построение искомой линии переселения с учетом ее видимости и формы, если она известна (прямая, окружность, эллипс, ...).

Взаимная принадлежность геометрических фигур

Позиционные задачи на взаимную принадлежность геометрических фигур можно объединить в три группы.

Первая группа задач: принадлежность точки другой точке, а также прямой, плоскости и поверхности.

A. Принадлежность точки другой точке и прямой определяется по чертежу без дополнительных построений.

Б.Для определения принадлежности точки плоскости нужны построения, если точка не задана на линии плоскости.

В. Для определения принадлежности точки поверхности нужны построения, если точка не задана на линии поверхности (например, на контурной).

Вторая группа задач: принадлежность прямой другой прямой, а также плоскости и поверхности.

На прямой (аналогично и на кривой линии) необходимо взять определенное число точек (для прямой — не менее двух) и определить их принадлежность второй геометрической фигуре.

Третья группа задач: принадлежность плоскости другой плоскости и поверхности.

А. Принадлежность одной плоскости другой практически означает их совпадение. Если для решения нужны построения, то в одной плоскости берут три точки ¹* и определяют их принадлежность второй плоскости.

Б. Принадлежность плоскости поверхности в общем случае невозможна (исключение составляют гранные поверхности, но тогда получается совпадение плоскостей). Возможно только касание — предельное положение пересечения.

Вспомогательные линии, используемые для решения задач на взаимную принадлежность геометрических фигур, всегда можно представить как линии пересечения заданной поверхности с соответствующей вспомогательной плоскостью.

Для закрепления изложенных положений рассмотрим несколько примеров.

Примечание. Рассматриваемые ниже примеры решаются на двухпроекционном чертеже, учитывая, что по двум имеющимся проекциям всегда можно построить третью

Пример. Определить, принадлежит или нет точка D плоскости, заданной треугольником АВС (рис. №3)

План решения — общий. Допустим, что точка принадлежит плоскости, тогда она должна принадлежать прямой, например А1, этой плоскости. Для уменьшения числа последующих графических построений целесообразно использовать имеющуюся точку, например Л, плоскости.

Если проекции точки принадлежат одноименным проекциям проведенной прямой, то и точка принадлежит плоскости. Если хотя бы одна из проекций точки не принадлежит одноименной проекций прямой, то точка не принадлежит плоскости.

Построения на чертеже. Через проекцию D" точки D проводим проекцию А"I" прямой А1. Затем, используя линии связи и принадлежность точки 1 стороне ВС, находим горизонтальную проекцию А'1' прямой А1 (рис. 47, б, в).

Проекция D' точки D не принадлежит проекции А'1', следовательно, точка D не принадлежит прямой А1 (см. п. 2.3) и заданной плоскости АВС.

Примечание. Для решения можно было вначале провести горизонтальную проекцию вспомогательной прямой через горизонтальную проекцию точки, а затем найти ее фронтальную проекцию.

Взаимное пересечение геометрических фигур

Позиционные задачи на взаимное пересечение геометрических фигур можно объединить в три группы .

Первая группа задач: пересечение прямой с другой прямой, а также с плоскостью и поверхностью.

А. Взаимное пересечение прямых определяется по чертежу без дополнительных построений

Б. Пересечение прямой с плоскостью: чтобы определить точку пересечения, достаточно применить общий план решения, на взаимное пересечение. В данном случае этот план упрощается, так как в качестве вспомогательной поверхности используют одну проецирующую плоскость и находят только одну точку пересечения (см. рис. №4,№5).

В. Пересечение прямой с поверхностью: чтобы определить точки пересечения, достаточно применить общий план решения, на взаимное пересечение поверхностей.

Вторая группа задач: пересечение плоскости с плоскостью и поверхностью.

Решение задач этой группы выполняют по общему плану , при этом в качестве вспомогательных поверхностей используют плоскости частного положения (см. рис. №6);

Третья группа задач: взаимное пересечение поверхностей. Решение задач этой группы выполняют по общему плану.(см. рис. № 7) При этом заранее можно отметить, что в случае пересечения поверхностей вращения с пересекающимися осями используют концентрические сферы, а во всех остальных случаях — плоскости.

Для правильного выбора- вспомогательных секущих поверхностей необходимо вначале рассмотреть частные случаи, когда заранее известны точки и линии пересечения:

— прямой с прямой и плоскостью;

— плоскости с плоскостью, затем со сферой, цилиндрической и конической поверхностями вращения;

— сферы с соосной поверхностью вращения (всегда окружность);

— соосных поверхностей вращения (всегда окружность).

После этого можно рассматривать взаимное пересечение поверхностей, учитывая, что искомая линия пересечения может быть найдена только в результате использования соответствующих частных случаев.

Построение линии пересечения поверхностей упрощается, если одна из них занимает проецирующее положение, так как в этом случае одна проекция линии пересечения совпадает с проекцией проецирующей поверхности и задача на пересечение может быть заменена задачей на взаимную принадлежность . Как известно, проецирующее положение может занимать плоскость, цилиндрическая и призматическая поверхности. Если эти поверхности заданы в общем положении, то, используя способ замены плоскостей проекций, их можно перевести в частное, проецирующее положение.

В заключение по позиционным задачам можно отметить, что введение вспомогательной секущей плоскости позволяет решить большинство из них.

Плоские сечения поверхностей второго порядка.

Поверхности второго порядка, как и поверхности вращения 2-ого порядка, пересекаются плоскостью по кривым линиям 2-ого порядка.

Для разных поверхностей 2-ого порядка плоскими сечениями являются следующие кривые: