поверхности (Позиционные задачи. Плоские сечения поверхностей второго порядка)

Задание и изображение поверхностей.

Для задания поверхности могут быть использованы три основных способа: аналитический, каркасный и кинемати­ческий.

При аналитическом способе задания поверхность рассматри­вается как множество точек, координаты которых удовлетворяют заданному уравнению, т. е. в этом случае поверхность задается уравнением.

При каркасном способе задания поверхность рассматривается как совокупность достаточно плотной сети линий определителя или других линий, определяющих поверхность. Эта сеть линий и называется каркасом. Каркас может быть непрерывным или дискретным. В первом случае задается единственная поверхность, так как каркас полностью заполняет поверхность (например, по­верхность вращения, каркас которой состоит из параллелей и меридианов), а во втором случае задается не единственная поверх­ность, так как изгиб поверхности между линиями каркаса может быть различным.

При кинематическом способе задания поверхность рассматри­вается как совокупность всех положений движущейся линии. В этом случае поверхность задается ее определителем (образующей и направляющей). В инже­нерной графике рассматривается только этот способ задания по­верхностей.

В общем случае поверхность считается заданной, если относительно любой точки пространства можно ответить на вопрос:

принадлежит или нет данная точка поверхности? Наличие опре­делителя всегда позволяет ответить на этот вопрос.

Например, для цилиндрической поверхности (рис.8, а) достаточно задать ее определитель — образующую l и направля­ющую т. Закон перемещения образующей известен из определе­ния цилиндрической поверхности (в данном случае общего вида). Действительно, если взять произвольную точку А и выполнить необходимые построения, используя вспомогательную образующую, то можно определить, что эта точка не принадлежит образующей а следовательно, и поверхности.

Изображение поверхности на чертеже проекциями мно­жества ее точек практически невозможно, так как эти точки за­полнят все поле чертежа и нельзя будет установить проекцион­ную связь между проекциями отдельных точек поверхности. Для изображения поверхности вполне достаточно задать на чертеже проекции, ее определителя, что подтверждается примером на рис.8, а.

Изображение поверхности на чертеже только необхо­димыми для ее задания проекциями определителя не обладает привычной для техники наглядностью и не позволяет в дальней­шем выполнять технические чертежи — изображать предметы и изделия. В связи с этим вводятся дополнительные элементы:

контур, граница и видимость поверхности относительно плоскости проекций.

При проецировании поверхности, например сферы или цилиндрической поверхности вращения (рис.9), проецирующие лучи будут касаться поверхности по некоторой линии, которую и называют контурной линией. Как

5

видно из рис. 9, в общем случае контурная линия поверхности относительно горизонталь­ной плоскости проекций П' отличается от контурной линии отно­сительно фронтальной плоскости проекций П". Из этого же рис.9 видно, что контурные линии совпадают с образующими поверхности.

Проекция контурной линии на плоскость проекций на­зывается очерком поверхности. Можно также сказать, что очерк поверхности — это линия пересечения проецирующей цилиндрической поверхности, касательной к заданной поверхности, с соот­ветствующей плоскостью проекций. Следовательно, на комплекс­ном чертеже будем иметь на П'— горизонтальный очерк, на П" — фронтальный очерк и на П'" — профильный очерк поверх­ности.

Из определения поверхности следует, что она безгра­нична, так как безгранична ее образующая, кроме замкнутых поверхностей, например сферы, тетраэдра и т. п. Практические задачи обычно связаны только с частью поверхности, которая и выделяется соответствующими линиями. Эти линии, ограни­чивающие часть поверхности — отсек, называют границами по­верхности.

Границы поверхности обычно определяются условиями задачи и в большинстве случаев совпадают с ее направляющими, напри­мер, на рис. 8, б и в коническая поверхность ограничена вершиной S (S`; S``) и направляющей т (т`; т"). Границы поверх­ности относят к ее контурным линиям, а их проекции — к очерку поверхности.

Для определения видимости поверхности относительно плоскостей проекции используют конкурирующие точки или рассматривают взаимное расположение частей поверхности. На­пример, рассматривая поверхность конуса вращения (см. рис.8, б), можно сказать, что относительно горизонтальной пло­скости проекций видима вся поверхность конуса, а относительно фронтальной плоскости проекций видима только передняя поло­вина поверхности (до контурных образующих), т. е. часть, где находится точка В.

У конической поверхности общего вида (см. рис.8, в) без дополнительных построений нельзя определить ее видимость от­носительно плоскостей проекций. Необходимо провести вспомога­тельную образующую l. Затем, используя конкурирующие точки 1 и 2, определить видимость поверхности (практически, направ­ляющей т) относительно горизонтальной плоскости проекций и точек 3 и 4 — относительно фронтальной плоскости проекций.

В итоге можно сделать вывод, что для изображения поверхности на чертеже необходимо выполнить очерки поверхно­сти и указать видимость (как уже отмечалось, контурные линии включают и образующие и линии границы поверхности).

6