Комплексный чертеж в ортогональных проекциях. Точка.

По одной проекции нельзя судить о форме и размерах предмета, поэтому предмет проецируют на две, три (и более) плоскости проекций (рис. 2.1, ж), взаимно перпендикулярные: горизонтальную П₁ фронтальную П₂, профильную П₃.

Линии пересечения плоскостей проекций — оси проекций будем обозначать П₁ П _2, П₂/П_3, П₁/П_3.

Проекции предмета именуются аналогично: горизонтальная, фронтальная, профильная. Проекции точек, например точки А, будем обозначать заглавными латинскими буквами с индексами, соответствующими плоскостям проекций: А₁, А₂, А_З. Развернув плоскости проекций вместе с расположенными на них проекциями (рис. 2.1, з), чтобы плоскости П₁ П₂ и П₃ оказались в одной общей плоскости, получим чертеж, содержащий комплекс проекций — комплексный чертеж в ортогональных проекциях. Так, на рис. 2.2, а показано проецирование точек А и В на плоскости П₁ и П₂, на рис. 2.2, б— чертеж, полученный развертыванием этих плоскостей проекций.

Рассмотрим на примере точки (рис. 2.2) свойства ортогональных проекций.

1. Две проекции точки определяют ее положение в пространстве. Действительно, если известны проекции А₁ и A₂ (рис. 2.2, а), то проецирующие прямые, проведенные через эти точки, пересекутся в точке А. Проецирующие прямые АА₁ и АА₂ определяют плоскость, перпендикулярную плоскостям П₁ и П₂. Эта плоскость пересекается с плоскостями П₁ и П₂ по линиям, перпендикулярным линии П₁/П₂. При развертывании плоскостей проекций (рис. 2.2, б) эти линии превращаются в

Взаимные положения точки и прямой и двух прямых

Известно, что если точка А лежит на Прямой k (рис. 2.9) и делит отрезок прямой в некотором отношении, то проекция А1 лежит на проекции k1 прямой и делит проекцию отрезка в том же отношении. Рассмотрим теперь точки, не лежащие на прямой (рис. 2.9, а). Пусть даны точки В и С, проекции которых лежат на горизонтальной проекции прямой. В таком случае можно заметить, что точка В расположена выше прямой, а точка С — ниже. Об этом можно судить по фронтальной проекции (рис. 2.9, б). Если посмотреть сверху, то точка В видима, а точка С невидима — находится под прямой. На рис. 2.9, а даны также точки D и Е, проекции которых D₂ и Е₂ лежат на фронтальной проекции прямой. В таком случае можно заметить, что точка D расположена ближе к нам, чем прямая, и видима, а точка Е — дальше от нас, чем прямая, и невидима. Об этом можно судить по горизонтальной проекции (рис. 2.9, б).

Две прямые могут быть параллельны, скрещиваться и пересекаться (рис. 2.9, в), образуя угол. На рис. 2.9, г показан чертеж пересекающихся прямых, обладающих следующим свойством:

если две прямые пересекаются, то их одноименные проекции тоже пересекаются и проекции А₁ и A₂ точки пересечения лежат на одной линии связи. (Одноименными называют фронтальные проекции m₂ и n₂ и горизонтальные m₁ и n₁.)

Угол ВАС (рис. 2.10), стороны которого не параллельны плоскости проекций, проецируется с искажением — с

Рис. 2.10

Рис. 2.11

уменьшением (рис. 2.10, а) или с увеличением (рис. 2.10, б). Прямой угол проецируется в общем случае тоже с искажением, однако в частном случае существует следующее свойство проекции прямого угла (рис. 2.11):

если одна из сторон прямого угла параллельна плоскости проекций, то прямой угол проецируется на эту плоскость проекций в действительную величину (когда вторая сторона угла не перпендикулярна плоскости проекций). Пусть задан прямой угол ABC; сторона ВС перпендикулярна АВ; сторона АВ параллельна П₂, следовательно, АВ параллельна А₂В₂. Тогда сторона АВ перпендикулярна ВВ₂ (поскольку АВ параллельна П₂, а ВВ₂ перпендикулярна П₂). Прямая АВ перпендикулярна плоскости ВСС₂В₂ (поскольку перпендикулярна двум прямым этой плоскости), проекция А₂В₂ тоже перпендикулярна этой плоскости и любой прямой, лежащей в этой плоскости, значит, А₂В₂ перпендикулярна В₂С₂.