ЛЕКЦИИ~4 (Лекции Кузьмина)

Пусть Р- простое и Р½T(V)*T(U) Þ пусть Р½T(V) и ;

W(i+L+ )=U(i+L)+V(i+L+ )=U(i+L)+V(i+L); Þ V(i+L+ )=V(i+L) Þ V(i+L+ )=V(i+L) Þ V(i+L+ )= =V(i+L+ )=V(i+L) Þ по утв.2: противоречие; Þ T(W)=T(V)*T(U).

Ч.Т.Д.

1. пусть L(U)<L(V) Þ L(U)£L(V)-1;

L(W)<L(V)=max(L(V), L(U));

W(i+L(V)-1+T(W))=U(i+L(V)-1+ )+V(i+L(V)-1+T(W))=U(i+L(V)-1)+V(i+L(V)-1+T(W)), a L(W)£L(V)-1 Þ W(i+L(V)-1)=U(i+L(V)-1)+V(i+L(V)-1);Þ

V(i+L(V)-1)=V(i+L(V)-1+T(W))=V(i+L(V)-1+T(V)+T(V) )V(i+L(V)-1+T(V)); Þ мо определению4: для L.

Утверждение4: " U- периодическая однозначно представляется в виде суммы вырожденных и чисто периодических последовательностей.

Доказательство: так как U- периодическая Þ UÎpL(x^l(x^t-1)), a (x^l, x^t-1)=1 Þ L(x^l(x^t-1))= =L(x^l)+L(x^t-1) Þ U=U₁+U₂, где U₁- вырожденная, U₂- чисто периодическая.

Ч.Т.Д.

Периодические многочлены.

Определение: многочлен F(x)ÎP[x]- периодический, если $ tÎN, l>0: F(x)½x^l(x^t-1); (1);

Определение: наименьший min{ tÎN, для которого $ l: F(x)½x^l(x^t-1)}=T(F(x));

Þ если Т- период многочлена, то min{l>0: F(x)½x^l(x^T(F)-1)}=L(F(x));

Утверждение: если выполнено (1), то: T(F)½t; L(F)£l.

Доказательство: так как F(x)½x^L(F)(x^T(F)-1) Þ x^L(F)½(F(x)= x^L(F)G(x)), так как в противном случае L(F) можно было бы уменьшить, но L(F)- min. Þ G(x)½(x^T(F)-1);

Чтобы: x^L(F)G(x)½x^l(x^t-1) Þ L(F)£l (так как (x^t-1) не делится на x^L(F)) Þ

G(x)½(x^T(F)-1)

G(x)½x^l-L(F)(x^t-1) Þ G(x)½(x^t-1,x^T(F)-1)=(x^(t,T(F))-1), a (t,T(F))£T(F)- если меньше, то это противоречит с выбором T(F).

Определение: многочлен периодический если L(F)=0.

Утверждение: F(x)- периодический Û e^F- чисто периодическая.

Доказательство: “Þ” F(x)½(x^T(F)-1) Þ F(x)*H(x)=x^T(F)-1, a F(x)*e^F=0 Þ F(x)*H(x)*e^F=0

Þ (x^T(F)-1)e^F=0 Þ e^F- чисто периодическая.

“Ü” если e^F- чисто периодическая, то (x^t-1)e^F=0 ~ e^F(i+t)=e^F(i), a то есть F(x)½(x^t-1), F(x)- периодический.

Теорема: пусть F(x)- унитарный многочлен над полем, тоесть ÎР[х] Þ

1. $ L(F), T(F)

2. L(F)+T(F)£½R½^m-1, где m=degF(x);

3. L(F)=0 Û F(0)¹0;

Доказательство: 1) 1, x(modF(x)), x²(modF(x)), ……- члены этой последовательности- многочлены вида: с₀+с₁х+…+c_mx^m-1;- остатки от деления на F(x), а таких остатков ½R½^m<¥, а последовательность – бесконечная Þ она будет повторяться:

пусть x^j(modF(x))=x^k(modF(x));

F(x)½x^j-x^k=x^jk(x^j-k-1);

Þ L(F)£j*k, T(F)½(j-k), то есть $ L,F.

1. В нашей последовательности вычетов будут повторы. На куске L(F)+T(F)- все вычеты разные, то есть L(F)+T(F)£½R½^m-1.

2. “Þ” L(F)=0 Þ F(x)½(x^T(F)-1) ~ F(x)H(x)= x^T(F)-1; F(0)H(0)=-1 Þ F(0)¹0;

“Ü” пусть F(0)¹0 Þ (F(x),x)=1, a F(x)½x^L(F)(x^T(F)-1) Þ F(x)½(x^T(F)-1) Þ L(F)=0, как наименьшее.

Определение: O(F)=HOK порядков корней многочлена в его поле разложения.

!!! всюду дальше: F(0)¹0, то есть x не½F(x);

O(F)=HOK{orda_j, F(a_j)=0}.

Теорема: пусть F(x) – неприводимый многочлен над полем P=GF(q); degF(x)=m; Þ T(F)=O(F); T(F)½q^m-1;

Доказательство: a) пусть корни F(x): a₁…a_m в GF(q^m);

F(x)½(x^T(F)-1) Þ F(x)H(x)= x^T(F)-1 Þ F(a_j)H(a_j)= ~orda_j½T(F), то есть m- чисел, каждое делит T(F) Þ O(F)½T(F).

b) любой корень многочлена F(x) удовлетворяет уравнению:

x^O(F)-1=0 Þ (x-a_j)½(x^O(F)-1) " a, a все a_j попарно различные Þ P(x-a_j)½ (x^O(F)-1) Þ F(x)½(x^O(F)-1) Þ T(F)½O(F).

a)+b) Þ T(F)=O(F);

Корни F(x): a₁…a_m – образуют мультипликативную группу поля, а порядок каждого делит порядок группы: O(F)½q^m-1.

Определение: если O(F)½q^m-1; degF(x)=m; F(x)- над P=GF(q), то F(x)- многочлен максимального периода.

Теорема: GF(q), q=pⁿ- характеристика поля;

Пусть где G₁(x), …, G_t(x)- попарно различные неприводимые многочлены.

DegG(x)=m_j Þ T(F(x))=O(F)*p^c, где

Доказательство: F(x)½(x^T(F)-1) Þ G_j(x)½(x^T(F)-1) Þ O(G_j)½T(F), " j= Þ

HOK{ O(G_j), j= }½T(F); так как все различны и неприводимый x^T(F)-1 Þ G_j(x) ½(x^О(F)-1);

G₁(x)*…*G_t(x) ½(x^О(F)-1) Þ (G₁…G_t)H(x)= (x^О(F)-1); (G₁…G_t) H (x)=(x^О(F)-1) = x^О(F)* -1;

, a F(x)½(G₁…G_t) , так как , a (G₁…G_t) ½ x^О(F)* -1 Þ T(F)½O(F)*p^c;

пусть a<c Þ a£c-1 Þ T(F) )½O(F)*p^c-1, но этого не может быть: пусть

a (x^O(F)-1)^/=O(F)x^O(F)-1 пусть в роле -F(x)- раскладывается на линейные множители и корни F(x) в этом поле образуют мультипликативную группу этого поля и ord Þ максимальная кратность корня = p^c-1, а по условию - противоречие Þ T(F)= O(F)*p^c-1.

Пример: (x+1)⁵(x²+x+1)³(x³+x+1)(x³+x²+1)²; GF(2)

все многочлены неприводимые:

1. корни

2. (x+1) Þ 1, ord1=1

3. пусть q- корень Þ q²+q+1=0; ordq=3;

4. x³+x+1-пусть корень a, GF(2³) a³+a+1=0; a¹1, orda=7

5. x³+x²+1 Þ orda=7 (аналогично).

Для degF(x)=m Þ T(F)=q^m-1;

Теорема: T(F)=q^m-1 Û F(x)- неприводимый; orda= q^m-1 ;

Доказательство: “Þ” F(x)=

T(F)=O(F)*p^c=q^m-1; так как (p, q^m-1)=1 Þ c=0 Þ F(x)= то есть r_j=1;

O(G_j)½

q^m-1=O(F)=HOK ;

- противоречие, Þ F(x)=G(x) Þ неприводимый; T(F)=orda=q^m-1;

“Ü” просто проверка, что такие многочлены имеют такой Т.

Выборки из линейных рекуррент.

Определение: пусть UÎR^¥- последовательность V- (l, d)- выборка, если V(i)=U(l+d_i).

Утверждение:

Доказательство: V(i) =U(l+d(i+ ))=U(l+d_i+T(U) )=U(l+ d_i)=V(i);

Теорема: пусть F(x)- неприводимый над Р: degF(x)=m; UÎpL(F); V-(l-d)-выборка из U;

Þ VÎpL(F(x)), degG(x)½m;

Доказательство: пусть q- корень F(x) вGF(q^m) Þ U(i)=

V(i)=U(l+d_i)=

Вообще: