CONTIN (Лекции Кузьмина), страница 3

Аналогично для умножения. ч.т.д.

1. Выполнение аксиом кольца для многочлена ( ,+,×) вытекает из их справедливости в кольце многочленов P[x].

Из [a(x)] выберем представителя и будем работать с ним, отождествляя результат со всем классом.

Опр.: Множество многочленов a₁(x), a₂(x),…,a_t(x) – полная система представителей классов эквивалентностити относительно отношения º(mod f(x)) если:

1. для любого j¹k a_j(x) не сравним с a_k(x)(mod f(x))

2. для люього b(x) P[x] существует k : b(x)=a_k(x) (mod f(x)).

Утв.: Пусть f(x)=xⁿ+ _jx^j, т.е. унитарный многочлен степени n. Множество многочленов вида { _jx^j, c_j P, j= } – ПСПºf(x) – полная система представителей для данного отношения эквивалентности.

Утв.: Пусть |P|=q<+ .

=qⁿ.

Доказательство: каждый класс однозначно определяется своими представителями вида _jx^j, а т.к. c_j P, то каждый класс сможем выбрать q способами, следовательно всего классов qⁿ.

Теорема: Многочлен a(x) – обратим в кольце (a(x),f(x))=1 (Под обратимостью многочлена a(x) понимаем, что существует

[b(x)] : [a(x)]^.[b(x)]=[e])

Доказательство:

" " Существуют u(х), v(х) : a(x)u(x)+f(x)v(x)=1

Разделим на f(x) и возьмем остатки от деления:

res_f(x)(a(x)^.u(x))=1, следовательно a(x)^.u(x) 1 (mod f(x)), таким образом a(x) – обратим;

" " от противного:

a(x)= _jx^j. ] (a(x),f(x))=d(x), deg <deg f(x);

a(x)^. = f(x)=0 (mod f(x)).

и a(x) неэквивалентны 0 (mod f(x)), значит a(x) – делитель нуля, следовательно он необратимый элемент кольца (по теореме) – противоречие. ч.т.д.

Следствие: Множество - поле когда многочлен f(x) – неприводим.

Доказательство: переходим к представлению _jx^j, deg f(x)=n

" " Если f(x) – неприводим, то многочлен f(x) взаимопрост с любым ненулевым многочленом меньшей степени, следовательно по доказанной теореме c(x) – обратим:

(c(x),f(x))=1 и _jx^j 0, т.е. любой ненулевой элемент обратим,

следовательно - поле. ч.т.д.

" " Если f(x) – приводим, т.е. f(x)=f₁(x)^.f₂(x), где 0<deg f₁(x)<deg f₂(x)<deg f(x) значит f₁(x)^.f₂(x)=0 (mod f(x)) , т.е. f₁(x) – делитель нуля, следовательно - не поле – противоречие. ч.т.д.

Корни многочленов над конечным полем и их свойства

Пусть a(x)=

Опр.: - значение многочлена a(x) (x)_ние много из поля.

Опр.: Если для некоторого многочлена a(x) над полем Р и элемента ? из Р выполнено условие a(α)=0, то ςξ __νξ σρλξβθε _μενςΰa(x)

Теорема (Безу): Пусть a(x) 0 0 _ED Unknown__їяяяяёПb_`Jчї_____ca(x)

(x-α)|a(x).

Доказательство:

" " a(x)=q(x)(x-" a(x)=q(x)(x-ÿÿÿΈΟb_`JχΏ____R P

(если deg=0, то const; если deg=- , то 0).

a(α)=q(α)(α-α)+c, где a(α)=0 по условию, значит о условию, значит_яёПb_`Jчї_____U_d®ц_ФУb_МПb_ " " a(x)=q(x)(x-" a(x)=q(x)(x-ÿÿÿΈΟb_`JχΏ____‚

V_Œ®φ корень. ч.т.д.

Опр.: Кратность корня ? – наибольшее значение r : r= α

Замечание: Если многочлен имеет корень в поле, то он приводим (обратное неверно)

Утв.: Многочлен a(x), deg a(x) 3 – неприводим над полем не имеет в этом поле корней.

Доказательство:

1. Многочлен первой степени неприводим (очевидно)

2. Пусть deg a(x)=3 (для второй аналогично). Докажем: приводим есть корни.

" " - по теореме Безу (см. замечание)

" " a(x) – приводим, значит a(x)=b(x)c(x), где 0<deg b(x)<3, 0<deg c(x)<3,

причем deg b(x)+deg c(x)=3, следовательно один из них многочлен первой степени.

Пусть deg b(x)=1, тогда b(x)=sx+t, s 0 и x=- - корень b(x), а a(x)=b(x)c(x) , следовательно x=- - корень a(x). ч.т.д.

Пример: GF(2)[x]. (x²+x+1)² – приводим, но корней не имеет в поле GF(2); deg(x²+x+1)²=4

Опр.: Пусть a(x) 0 над полем Р. Тогда многочлен вида

a'(x)= - производная многочлена a(x).

Свойства производной многочлена:

1. (a(x)+b(x))'=a'(x)+b'(x)

2. (a(x)b(x))'=a(x)b'(x)+a'(x)b(x)

Опр.: Если кратность корня многочлена равна 1, то корень – простой.

Теорема: Пусть a(x) 0 над полем Р, значит множество его кратных (т.е. не простых) корней совпадает с множеством корней NOD(a(x),a'(x))

Доказательство: Пусть ? – кратный корень. Тогда

" " a(x)=(x-α)^rg(x), r>1.

a'(x)=r(x-α)^r-1g(x)+(x-α)^rg'(x)=(x-α)^r-1[rg(x)+(x-α)g'(x)]

значит ? – корень a'(x), a'(x), __юыї0’чїяяяяёПb_`Jчї____к‘V_¤Їц_ФУb_МПb_0ЄC_dУb_дПb_Tб@_јк

" " от противного: если корень простой, то пусть α – простой корень. Тогда a(x)=(x-α)g(x), g(α) 0, т.к. простой.

a'(x)=g(x)+(x-α)g'(x);

a'(α)=g(α)+(α-α)g'(α), где g(α) 0, (0, (D Unknown_' – не корень a'(x). a'(x). нь _wn_'_б)_яёПb_`Jчїне делит NOD, т.е. не является его корнем. ч.т.д.

Теорема: Над любым полем существует бесконечное число неприводимых многочленов

Доказательство: пусть существует конечное число N неприводимых многочленов над P.

Пусть f₁(x), f₂(x),…,f_N(x) – все неприводимые многочлены над Р.

F(x)=f₁(x)^.f₂(x)^. …^.f_N(x)+1, тогда существует многочлен f_j(x)|F(x), т.е. F(x) – либо приводим, либо совпадает с f_j(x). Тогда F(x)=0 (mod f_j(x)) значит 1=0 (mod f_j(x)) и f_j(x)|1 – противоречие, т.к. degf_j(x) 1 следовательно существует бесконечное число неприводимых многочленов. ч.т.д.

Неприводимые многочлены над числовым полем С, полем действительных чисел R и полем рациональных чисел Z

Теорема (Гаусса): Любой многочлен над полем С имеет в этом поле корень.

Следствие: Над полем С неприводимы многочлены только первой степени.

Доказательство: Если deg 2, то имеется корень ξ θμεες (x- (x-μεες_ÿ κξπενό_ÿÿΈΟb_`JχΏ____Nприводим.

Теорема: Над полем R неприводимы многочлены первой степени и второй степени с D<0 и только они.

Доказательство:

1. Первой – очевидно, т.к. они неразложимы

2. Комплексно сопряжены: a ib; a,b R

1) α=a+ib, =a-ib, где , , т.к. α=a+ib, β=c+id α^.β=(ac-bd)+i(ad+bc) =(ac-bd)-i(ad+bc); =(a-ib)(c-id)=(ac-bd)-i(ad+bc)

] a(x) R(x), deg a(x)>1; a(x)= ; ] α=a+ib – его корень =0= = = = , т.к. a_k R - тоже корень а(х); т.о. если а(х) – имеет корень α C, то (x-α)(x- )|a(x) x²-(α+ )x+α =x²- x+ - многочлен с действительными коэффициентами.

2) ] a(x) – неприводим над полем R и не имеет действительных корней. По теореме Гаусса у него комплексный корень (x-α)(x- )|a(x) действительный полином [x²-2Reαx+|a|]|a(x) если deg a(x) 3, то он автоматически приводим.

3) Для deg a(x)=2 – неприводим над R, т.е. не имеет действительных корней D<0, т.к. отсутствие действительных корней над полем R эквивалентно неприводимости.

Утв.: ] f(x) – неприводимый многочлен над полем R: x²+1, deg f(x)=2 C - кольцо, а т.к. f(x) – неприводим поле.

Доказательство: ] f(x)=x²+1, i – его корень ={a+ib|a; bR}

(для любого f(x) – неприводимого многочлена, вместо i – его корень)

Опр.: Многочлен a(x) над кольцом Z (с целыми коэффициентами) – примитивный, если множество его коэффициентов взаимно просто в совокупности.

Опр.: Два числа взаимно просты, если для любого простого числа одно из них на него не делится.

Опр.: Множество (a₀,…,a_n) – взаимно просто в совокупности, если для p – простого k, 0kn : p†a_k

Пример: (6,10,15)=1, т.е. NOD совокупности равен 1.

Опр.: Многочлены a(x), b(x) над полем Q – ассоциированные, если : a(x)=c^.b(x).

Утв.: Для многочлена над полем Q ! ассоциированный с ним примитивный многочлен с целыми коэффициентами.

Доказательство:

1. a(x)=, a_k=, p_k,q_k. (p_k,q_k)=1.

NOK(q_k; k=)=u ]b(x)=ua(x) – с целыми коэффициентами, т.е. Z[x].

NOD=v ]c(x)=b(x)=a(x) a(x), c(x) – ассоциированные.

=1 c(x) – примитивный, т.е. a(x) ассоциативный с ним примитивный с(х).

2. Докажем единственность: ] два таких многочлена: a(x)==; c(x), c'(x) – примитивные многочлены с целыми коэффициентами c'(x)=

c'(x)=; c(x)= c_k'=wc_k, wQ. w=, (α,β)=1; βc_k'=αc_k, k.

NOD(c_k'β;k=)=β=β

¦ ¦

NOD(c_kα; k=)=αNOD(c_k; k=)=α

α=β, (α,β)=1 (α,β)=1=α=β w==1 c'(x)=c(x) ч.т.д.

Лемма: ]a(x), b(x) – примитивные многочлены с целыми коэффициентами (старший коэффициент >0) их произведение – примитивный многочлен, т.е. a(x), b(x) – примитивные многочлены a(x)b(x) – примитивный многочлен.

Доказательство: a(x)b(x)=. Покажем, сто для произвольного р – простого найдется с_к : р†с_к.

] p – простой, т.к. а(х) – примитивный a_k : p†a_k: s={k : a_k не?0 (mod p)} p|a₀,…,p|a_s-1,p†a_s; b(x) : t={k : b_k не?0 (mod p)} p|b₀,…,p|b_t-1,p†b_t c_s+t=a₀b_s+t+a₁b_s+t-1+…+a_s-1b_t+1+a_sb_t+a_s+1b_t-1+…+a_s+tb₀, где только a_sb_t не делится на p с_s+t=a_sb_t (mod p), а a_sb_t не=0(mod p), т.е. p†a_sb_t p†c_s+tc(x) – примитивный. ч.т.д.

Теорема: a(x)?0 над полем Q – неприводим ассоциированный с ним многочлен над кольцом Z – неприводим.

Доказательство: от противного

"" ] a(x) – приводим a(x)=b(x)c(x) над Q примитивный. ] b*(x) – ассоциативный с b(x), c*(x) – примитивный ассоциативный с c(x); b*(x)c*(x) – примитивный многочлен (по лемме). b*(x)=ub(x); c*(x)=vc(x); u,vQ b*(x)c*(x)=uvb(x)c(x)= =uva(x), т.е. b*(x)c*(x) – ассоциативный с a(x) и примитивный b*(x)c*(x) – определен однозначно, т.е. b*(x)c*(x)=a*(x) – с целыми коэффициентами a*(x) – приводим над кольцом Z.