2) – противоречит тому, что Р – поле, следовательно наше предположение о том, что Р=n₁ n₂ – ошибочно, значит Р – простое число.

Опр.: Пусть Р – поле следовательно множество Q P – подполе Р, если Q P и Q – поле.

Пример: Q < R < C

Опр.: Поле называется простым, если оно не содержит собственных подполей, т.е. если Q<P значит Q=P (более простых полей, чем Р в нем нет).

Теорема: В каждом поле существует, причем единственное, простое подполе.

Доказательство:

1) Пусть char P=0, e P

Пусть Q<P. Тогда рассмотрим множество Q*=Q\0 – множество ненулевых элементов подполя Q – это мультипликативная группа, а Q* P*. Тогда Q*<P*, а е – подгруппа Q* совпадает с е в Р*, т.к. ab^-1 Q*; пусть a Q*, b=a и е=аа^-1 Q*, т.е. е Q* - единица принадлежит подполю Qэ{0,e}, а т.к. Qэe , то 2e, 3e, … Q – в силу замкнутости по сложению. а т.к. (Q,+) – группа, то -е, -2е, -3е, … Q n \0, (ne)^-1 Q – существование обратного по умножению m , n \0, (me)(ne)^-1= e Q – в силу замкнутости по умножению

Вывод: если char P=0, то { e Q P, m , n \0}=P₀, т.е. если Q – подполе, то P₀ Q, для Q<P.

Теперь покажем, что Р₀ – поле:

1. = операции сложения и умножения замкнуты

2. ассоциативность, коммутативность следуют из ассоциативности, коммутативности Р

3. дистрибутивность

4. обратное по сложению

5. обратное по умножению

Р₀ – поле.

Покажем, что Р₀ – простое поле: Пусть существует Q'<P₀, а по доказанному P₀<Q' следовательно Q'=P₀ ч.т.д.

Замечание: из доказательства следует, что простое подполе поля с характеристикой равной нулю изоморфно полю рациональных чисел, т.к. { Q P, m , n \0}=P₀ (е – опускаем).

2) Пусть char P=Р

а) т.к. Q<P значит e Q (было доказано выше), следовательно е,2е,…,(р-1)е, ре=0, следовательно {0, e, 2e, …, (p-1)e}=P₀

Рассмотрим Z_p: пусть : P₀ Z_p

(a,e)=[a]_p – взаимно однозначное отображение

(ae be)= (ae) (be), где

следовательно P₀ Z_p (т.е. изоморфны), значит т.к. Р₀ - поле, т.к. Z_p – поле.

б) Р₀ – простое, т.к. Q' P₀ и P₀ Q' следовательно Q'=P₀ ч.т.д.

Теорема: Пусть P – конечное поле, тогда существует Р : ord = -1; (ord - по умножению в мультипликативной группе Р*).

Опр.: В конечном поле элемент с таким свойством называется примитивным

Т.е. в конечном поле существует примитивный элемент, где 0, ¹, ², …, ^|P|-1 – все различные элементы поля Р

{В абелевой группе существует : ord =expG}

expG=min{t : G, ^t=e}

1) expP*=|P|-1

expP*/|P*|=|P|-1

Пусть expP*<|P|-1 следовательно X^expP*-1=0 – это уравнение имеет в поле Р (|P|-1)-решений, т.е. ненулевой элемент в поле – решение. противоречие: решений > степени уравнения (что противоречит теореме Безу) expP*<|P|-1

2) P* - абелева группа, значит существует : ord =expP*

Из 1) и 2) следует утверждение теоремы.

Кольцо многочленов над полем

Пусть Р – поле;

Обозначим: Р - множество носителей с элементами из Р; (а₀ а₁ а₂ … ), а_j Р

Р : если (а₀ … а_n …) , то k : а_j=0, для j k, т.е. начиная с какого-то номера они все нули.

Определим на множестве : + = , c_k=a_k+b_k

× = , c_k= a_jb_k-j

Теорема: ( ,+,×) – коммутативное кольцо.

Доказательство: "по сложению":

1) + , т. к. начиная с max(k, n) – все нули.

2) эта операция коммутативна

3) =(0, 0, …)

4) - =( -а₀ ,-а₁, …)

"по умножению": 1) замкнутость × = max{j, a_j 0}=k, max{j, b_j 0}=n, тогда c_n+k+1= a_jb_n+k-j+1=0

0,0,….,0

a₀, a₁, …, a_k, ….…, a_n+k+1

- сумма индексов в столбце всегда (n+k+1)

b_n+k+1,…, b_n+1,…..,b₁,b₀

0 ,0,……,0

каждое произведение равно 0

при таком определении умножения мы из множества не выходим.

2) коммутативность:

c_k= a_jb_k-j= b_k-ja_j= b_j'a_k-j'=d_k, где =( × ), =( × )

3) ассоциативность: пусть ( × )= , ( × )= и ( × ) = , ( × )= ,

тогда d_k= (v_jc_k-j)= a_sb_j-sc_k-j

f_k= a_sw_k-s= a_sb_jc_k-j= a_sb_jc_t

( + ) = + ч.т.д.

вот это кольцо - кольцо многочленов над полем

Введем обозначения: × ( )=(0,а₀,а₁,а₂, …) – такое умножение {c_k= a_jb_k-j=a_k-1 при k-j=1 j=k-1} есть сдвиг последовательности вправо а(0,1,0,…,0)=(0,а,0,…,0);

= (0,…,а_j,0,…)= а_j(0,…,1,0,…)= а_j(0,1,0…)^j={ ]x=(0,1,0,...)}= а_jx^j

Опр.: Будем говорить, что многочлен a(x) делит b(x), т.е. a(x)½b(x), если существует с(х) : a(x)× c(x)=b(x)

Опр.: Степень многочлена a(x) – deg a(x) – номер наибольшего ненулевого коэффициента в представлении: a(x)= a_jx^j.

Если а(х)=0, то полагаем deg a(x)= -

(примечание: пусть a(x)=a₀ 0 тогда deg a(x)=0).

Опр.: Разделить a(x) на b(x) с остатком – значит, что b(x) можно представить в виде b(x)=q(x)a(x)+r(x), deg r(x)<deg a(x)

Утв.: Если а(х) 0, то любой многочлен над полем можно разделить с остатком на а(х) и представление b(x)=q(x)a(x)+r(x), deg r(x)<deg a(x) определено однозначно.

Доказательство:

a(x) 0 следовательно deg a(x) 0

a(x)=a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+…+a₀ (a_n 0)

b(x)=b_mx^m+b_m-1x^m-1+…+b₀

1. m<n следовательно b(x)=0^.a(x)+b(x)

2. m n следовательно b(x)-a(x)^.a_n^-1b_mx^m-n=b_m-1⁽¹⁾x^m-1+…+b₀⁽¹⁾=b⁽¹⁾(x)

{т.е. степень понизили как минимум на 1}

Если deg b⁽ⁿ⁾(x)<n, то STOP иначе понижаем степень дальше также;

b(x)-a(x)a_n^-1b_mx^m-n-a(x)a_n^-1b_{deg b(')(x)}⁽¹⁾x^{deg b(')(x)-n}=r(x); deg r(x)<n

(за конечное число шагов такое неравенство обязательно получим)

значит b(x)-a(x)q(x)=r(x)

Однозначность деления: -доказательство от противного-

пусть существует: b(x)=a(x)q'(x)+r'(x) deg r'(x)<deg a(x)

b(x)=a(x)q(x)+r(x) deg r(x)<deg a(x)

Вычитаем: 0=a(x)(q'(x)-q(x))+r'(x)-r(x) следовательно

r(x)-r'(x)=a(x)(q'(x)-q(x))

deg (r(x)-r'(x))<deg a(x)

deg a(x)(q'(x)-q(x))=deg a(x)+deg (q'(x)-q(x)) deg a(x)

возникает противоречие, т.е. q'(x)-q(x)=0 следовательно q'(x)=q(x) ч.т.д.

(ab)c=a(bc); пусть (ab)=u, (bc)=v, тогда

a_k-jv_j= a_sb_j-s)c_k-j= a_sb_j-sc_k-j= a_sb_j-sc_k-j={замена t=k-j j=k-t}= = a_sb_k-t-sc_t={замена l=k-s s=k-l}= a_k-lb_l-tc_t u_jc_k-j= a_k-jv_j.

Алгоритм Евклида

a(x)=b(x)q₁(x)+r₁(x) deg r₁(x)<deg b(x)

b(x)=r₁(x)q₂(x)+r₂(x) deg r₂(x)<deg r₁(x)

^{………………………………. …………………………….}

r_s(x)=r_s+1(x)q_r+2(x)+r_s+2(x) deg r_s+2(x)<deg r_s+1(x)

deg b(x)=const>deg r₁(x)>deg r₂(x)>…>r_n(x)>…

deg r_n(x)<0 r_n(x)=0

Берем первый раз, когда встречается 0: r_n-2(x)=r_n-1(x)q_n(x)+r_n(x)=0

Теорема: ] даны a(x), b(x) – ненулевые многочлены. Тогда последний ненулевой остаток при делении в алгоритме Евклида равен (a(x), b(x))

Опр.: NOD многочленов a(x), b(x) – многочлен d(x):

1) d(x)|a(x); d(x)|b(x)

2) d'(x)|a(x), d'(x)|b(x) следовательно d'(x)|d(x)

Замечание: для определенности считаем, что старший коэффициент многочлена равен 1.

Лемма: (a(x),b(x))=(a(x)-c(x)b(x),b(x)), для любого a(x),b(x),c(x)

Доказательство:

" " пусть (a(x),b(x))=d(x); d'(x)=(a(x)-c(x)b(x),b(x));

Из того что d(x)|a(x) и d(x)|b(x) следует, что a(x)=d(x)q₁(x) и b(x)=d(x)q₂(x)

a(x)-b(x)c(x)=d(x)(q₁(x)-c(x)q₂(x)) следовательно d(x)|(a(x)-c(x)b(x)) значит d(x)|d'(x)

" " Из соотношений d'(x)|(a(x)-c(x)b(x)) и d'(x)|b(x) следует, что

a(x)-c(x)b(x)=d'(x)q₁(x) и b(x)=d'(x)q₂(x)

a(x)-c(x)b(x)+c(x)b(x)=d'(x)q₁(x)+c(x)d'(x)q₂(x)=d'(x)[q₁(x)+q₂(x)c(x)] значит d'(x)|d(x)

т.к. d(x)|d'(x) и d'(x)|d(x) докажем, что d'(x)=d(x):

d'(x)=l(x)d(x)

d(x)=m(x)d'(x)

d(x)=l(x)m(x)d(x) следовательно d(x)(1-l(x)m(x))=0

deg d(x) 0 следовательно 1-l(x)m(x)=0;

l(x)m(x)=1, при l(x) 0, m(x) 0

deg (l(x)m(x))=deg l(x)+deg m(x)=0,

deg l(x),deg m(x) 0;

d'(x)=m(x)d(x), где m(x)=const значит m(x)=1 (см. замечание)

Доказательство теоремы:

(a(x),b(x)) = (a(x)-b(x)q₁(x),b(x)) = [r₁(x)=a(x)-b(x)q₁(x)] = (r₁(x),b(x)) = = (r₁(x),b(x)-r₁(x)q₂(x)) = [r₂(x)=b(x)-r₁(x)q₂(x)]=(r₁(x),r₂(x)) =…= (r_s(x),r_s+1(x)) = = (r_n-2(x),r_n-1(x)) = r_n-1(x),

где r_n-1(x) – последний ненулевой остаток;

т.к. r_n(x)=0, а r_n-2(x)=r_n-1(x)q_n(x)+r_n(x), то r_n-1(x)|r_n-2(x) ч.т.д.

Теорема: Пусть a(x), b(x) – ненулевые многочлены над полем. Тогда существуют u(x), v(x) : u(x)a(x)+b(x)v(x)=d(x)=(a(x),b(x)).

Доказательство: пусть u₀(x)=0, u₁(x)=1, u_k(x)=u_k-2(x)-q_k(x)u_k-1(x),

v₀(x)=1, v₁(x)=-q₁(x), v_k(x)=v_k-2(x)-q_k(x)v_k-1(x).

Докажем, что: r_k(x)=u_k(x)a(x)+v_k(x)b(x);

проводим доказательство по индукции:

1. базис индукции: k=1

r₁(x)=1^.a(x)-q₁(x)b(x) – соответствует алгоритму Евклида

1. шаг индукции: пусть выполняется для любого k<t.

Пусть k=t - проверим:

по алгоритму Евклида:

r_t-2(x)=r_t-1(x)q_t(x)+r_t(x) следовательно r_t(x)=r_t-2(x)-q_t(x)r_t-1(x);

т.к. t-2<t и t-1<t, то для них формула верна:

r_t(x) = u_t-2(x)a(x) + v_t-2(x)b(x) - q_t(x)[u_t-1(x)a(x) + v_t-1(x)b(x)] = a(x)(u_t-2(x)-q_t(x)u_t-1(x)) + + b(x)(v_t-2(x) - q_t(x)v_t-1(x)), где [u_t-2(x) - q_t(x)u_t-1(x) = u_t(x)], [v_t-2(x) - q_t(x)v_t-1(x) = v_t(x)]

верно при k=t

выполняется для любого k (по индукции)

а т.к. (a(x),b(x))=r_n-1(x)=u_n-1(x)a(x)+v_n-1b(x) – то построили в явном виде, где r_n-1(x) – последний ненулевой остаток.

Опр.: Многочлены a(x) и b(x) называются взаимнопростыми, если их NOD = 1.