Вопросы со стенда. (линал2017)

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО КУРСУ

«ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И ФНП»

I. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

1. Сформулировать определение линейного пространства и его свойства. Привести примеры линейных пространств. Доказать единственность существования нулевого и противоположного элементов (векторов) линейного пространства.

2. Сформулировать определение базиса линейного пространства, размерности линейного пространства, координат элемента (вектора) в заданном базисе. Доказать теорему о единственности разложения элемента (вектора) линейного пространства по данному базису.

3. Сформулировать определение линейно зависимой и линейно независимой систем элементов (векторов) линейного пространства. Сформулировать: критерий линейной зависимости; свойства линейно зависимых и линейно независимых систем элементов (векторов).

4. Сформулировать определение матрицы перехода от одного базиса к другому в линейном пространстве; изложить алгоритм получения такой матрицы. Доказать свойства матрицы перехода. Доказать, что координаты элемента (вектора) в разных базисах связаны матрицей перехода.

5. Сформулировать определение и свойства линейного подпространства. Сформулировать: определения суммы и пересечения линейных подпространств; их свойства.

6. Сформулировать определение линейной оболочки системы элементов (векторов) линейного пространства и её свойства. Сформулировать системы и теорему о ранге системы элементов (векторов).

7. Сформулировать определение евклидова пространства. Доказать неравенство КошиБуняковского.

8. Сформулировать определение ортогональной и ортонормированной систем элементов (векторов) евклидова пространства. Доказать линейную независимость ортонормированной системы элементов (векторов).

9. Изложить метод построения в евклидовом пространстве ортонормированного базиса (процесс ортогонализации Грама-Шмидта).

11. Доказать теорему об инвариантности определителя подобных матриц.

12. Сформулировать определение собственных значений и собственных элементов (векторов) линейного оператора. Сформулировать их свойства. Доказать теорему о линейной независимости собственных элементов (векторов) линейного оператора, соответствующих попарно различным собственным значениям. Доказать теорему об инвариантности характеристического многочлена линейного оператора относительно выбора базиса.

13. Сформулировать определение сопряженного оператора в евклидовом пространстве и его свойства. Матрица сопряженного оператора

16. Доказать теорему о матрице перехода в евклидовом пространстве от одного ортонормированного базиса к другому.

17. Сформулировать: определение квадратичной формы и её матрицы; определение ранга квадратичной формы; закон инерции квадратичных форм. Классификация квадратичных форм.

19. Изложить метод ортогонального преобразования квадратичной формы к каноническому виду.

20. Изложить метод ортогонального преобразования общего уравнения кривой

второго порядка к каноническому виду.

21. Изложить метод ортогонального преобразования общего уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду.

II. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

1.Сформулировать определение области и её границы. Сформулировать определения линии и поверхности уровня ФНП.

2. Сформулировать определение предела функции нескольких переменных (ФНП) по Коши и по Гейне. Основные свойства пределов ФНП.

3. Сформулировать определения скалярной и векторной функций нескольких переменных (ФНП) как отображение соответствующих пространств. Сформулировать определения линии и поверхности уровней.

4. Сформулировать определение непрерывности функции нескольких переменных (ФНП) в точке и на множестве. Полное и частное приращение ФНП в точке. Разностное условие непрерывности ФНП в точке.

5. Сформулировать определение о дифференцируемости скалярной функции нескольких переменных (СФНП). Сформулировать теорему о достаточном условии дифференцируемости СФНП в точке. Доказать теорему о необходимом условии дифференцируемости СФНП в точке.

6. Сформулировать определение частной производной высшего порядка СФНП.

Сформулировать теорему о независимости смешанных частных производных от порядка дифференцирования. Матрица Гессе.

8. Доказать теорему о дифференцируемости сложной скалярной функции нескольких переменных. Матрица Якоби, якобиан.

9. Сформулировать определение дифференциала n -го порядка скалярной функции нескольких переменных. Вывести формулу для вычисления дифференциала 2 -го порядка. Определить понятие оператора дифференциала функции нескольких переменных.

10. Доказать теорему об инвариантности формы дифференциала первого порядка.

11.Сформулировать определение полного дифференциала функции нескольких переменных. Доказать необходимое условие полного дифференциала для выражения P(х;y)dx+Q(x;y)dy .

12. Сформулировать теорему о существовании дифференцируемой неявно заданной функции нескольких переменных. Вывести формулу вычисления частных производных неявно заданной функции нескольких переменных.

13. Сформулировать определение производной по направлению скалярной функции нескольких переменных. Вывести формулу для вычисления производной по направлению.

14. Сформулировать определение градиента функции нескольких переменных и его свойства.

15. Сформулировать определения касательной плоскости и нормали к поверхности. Вывести уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в случае явного и неявного задания функций.

16. Сформулировать теорему Тейлора. Формула Тейлора.

17. Сформулировать: определение локального экстремума скалярной функции нескольких переменных (ФНП); достаточное условие существования локального экстремума для дважды дифференцируемой ФНП. Частный случай достаточного условия существования локального экстремума для функции 2-х переменных. Доказать теорему о необходимом условии существования локального экстремума ФНП.

18. Сформулировать определение условного экстремума скалярной функции нескольких переменных. Функция Лагранжа. Доказать теорему о необходимом условии существования условного экстремума функции 2-х переменных z=f(x,y)при условии связи фи(x;y)=0. Сформулировать теорему о достаточном условии условного экстремума ФНП.