Столярчук В.А. Материалы к курсу лекций. «Модели и методы анализа проектных решений»

Лекция № 16

Лекция № 16

Метод конечных элементов. Вариационной подход построения матрицы жесткости КЭ и всей системы

Продолжение

Содержание

Общая блок – схема расчета конструкций методом конечных элементов 2

Сходимость и точность метода конечных элементов 3

Общая блок – схема расчета конструкций методом конечных элементов

Приведем в качестве примера общую блок-схему расчета конструкций по методу конечных элементов для задач прочности.

1. Задание исходной информации

1. Расположение узловых точек в общей системе координат (координаты узлов)

2. Взаимное расположение конечных элементов (топология конструкции)

3. Значения геометрических и жесткостных параметров каждого из элементов конструкции

4. Значения внешних узловых, поверхностных и объемных сил

1. Определение узловых точек элементов в местной системе координат

2. Построение матрицы жесткости для е – го элемента в местной системе координат:

3. Нахождение направляющих косинусов для каждого элемента и матрицы преобразования перемещений из местной системы координат в общую:

4. Определение матрицы жесткости элемента в общей системе координат:

5. Определение общей матрицы жесткости для всей конструкции

6. Наложение на конструкцию определенного числа связей, исключающих ее перемещения как абсолютно жесткого тела. Последнее приводит к получению некоторой урезанной общей матрицы жесткости

7. Приведение поверхностных и объемных сил, а также начальных деформаций к эквивалентным узловым силам:

8. Нахождение суммарных узловых сил в каждом S – ом узле:

1. Отыскание матрицы

2. Определение узловых перемещений конструкции:

1. Определение узловых перемещений и компонентов напряжения для каждого е – го элемента

Сходимость и точность метода конечных элементов

Погрешность в результате расчета при использовании МКЭ складывается главным образом из погрешности дискретизации, обусловленной заменой тела, обладающего бесконечным числом степеней свободы, моделью с конечным числом степеней свободы, и погрешности округления чисел при выполнении вычислительных операций на ЭВМ.

Ошибки дискретизации.

Погрешность дискретизации зависит от ряда факторов:

1. выбора предполагаемого закона изменения неизвестной функции в объеме конечного элемента

2. точности приведения внешних распределенных воздействий (например, распределенной нагрузки) к узловым усилиям

3. размера конечного элемента

4. формы конечного элемента

Помимо того, что увеличение числа КЭ приводит к более точному воспроизведению исследуемой области и более точному представлению объекта как сплошного тела, появляются и чисто физические факторы, способствующие более адекватному представлению поведения объекта. Например, для задач упругости с уменьшением размера конечного элемента доля деформационных составляющих в значениях обобщенных перемещений уменьшается по отношению к той их части, которая связана с движением элемента как абсолютно твердого тела. Так как вся теория упругости и смежные с ней науки построены на предположении очень малых деформаций, то уменьшение размеров КЭ способствует более точному воспроизведению дифференциальных уравнений в этом классе задач.

Форма конечных элементов тоже есть очень важный фактор. Наиболее просто его объяснить на примере прямоугольного КЭ. Точность представления интерполирующим полиномом искомой функции зависит от расстояний между узлами по осям, например, Х и Y. Очевидно, что если расстояние между узлами в одном направлении будет больше, то точность представления искомой функции в этом направлении будет меньше. Получается, что для прямоугольника в одном направлении точность представления искомой функции выше, а в другом – ниже. Именно поэтому предпочтительны квадратные КЭ. Качество треугольных конечных элементов можно оценить по минимальному углу. Ошибка метода КЭ при решении на треугольной сетке обратно пропорциональна величине синуса минимального угла в элементах сетки. Понятно, что элементарные соображения приводят к желательности равностороннего треугольного КЭ.

Можно показать, что использование для решения задач, описываемых уравнением 2m - го порядка, МКЭ на базе интерполирующих полиномов степени p для аппроксимации функции в области конечного элемента, приводит к относительной ошибке:

где a и l – характерные размеры конечного элемента и конструкции соответственно. Таким образом, путем достаточного уменьшения размера элемента теоретически можно достичь любой требуемой точности округления.

Ошибки округления.

Ошибки округления при решении системы линейных алгебраических уравнений:

Возникают из – за усечения или округления исходных данных для матрицы и вектора , а также из – за накопления погрешностей вследствие округления в ходе самого процесса вычислений.

При точном решении систем уравнений (б) число операций умножения примерно n³/3, где n - число уравнений системы, и очень сложно оценить эффект влияния такого большого числа округлений.

Исследования по этому вопросу показали, что для получения решения системы (б) с точностью до t десятичных знаков при использовании метода исключения Гаусса необходимо элементы в матрицах и задавать с точностью до t + r десятичных знаков, где

Заметим, что указанная граница является верхней; она соответствует самому невыгодному случаю влияния округлений на результат.

При статистическом накоплении ошибок в формулу (с) вместо n можно внести : .

Ошибка округления всегда возрастает при увеличении числа конечных элементов. Это связано, прежде всего, с тем, что увеличение числа элементов приводит к резкому возрастанию числа арифметических операций.

Устойчивость решения системы линейных алгебраических уравнений.

Одной из самых серьезных трудностей, которая может встретиться при решении систем алгебраических уравнений, является неустойчивость этого решения, состоящая в том, что малые изменения матриц и вызывают значительные изменения в величинах неизвестных. При этом матрица , называемая плохо обусловленной, а обратная матрица – неустойчивой.

Поэтому очень важно оценивать обусловленность матрицы.

В качестве меры обусловленности матрицы можно принять отношение ее основного определителя к наибольшему его элементу в степени, равной порядку определителя:

Чем больше это отношение, тем лучше обусловлена матрица. Такой способ оценки требует нахождения значения определителя системы, что в общем случае является весьма трудоемкой операцией. Значительно удобнее оценивать обусловленность матрицы с помощью обусловленности . Тем более, что непосредственно через определяется относительная погрешность решения системы уравнений (а):

Где S – число десятичных значащих цифр, которыми оперирует вычислительная машина. При равномерной сетке элементов спектральное число обусловленности:

Где с – некоторое число, зависящее от степени интерполирующих функций, используемых для описания состояния конечного элемента.

При этом суммарная относительная ошибка:

Формула показывает, что задачи более высокого порядка (например, изгиб пластин, где m=2) оказываются более чувствительными к погрешности округления, чем задачи более низкого порядка (плоская задача, m=1). Далее уменьшение размера конечного элемента приводит, с одной стороны, к уменьшению погрешности дискретизации (формула (а)), а с другой стороны – к возрастанию погрешностей округления (формула (d)). Поэтому при практических расчетах следует выбрать такой размер конечных элементов, который приводит к допустимой погрешности округления. Получаемую при этом ошибку дискретизации можно уменьшить с помощью использования элементов с большим числом степеней свободы, для которых степень p интерполяционного полинома выше.

В заключение сформулируем требования к выбору интерполирующего полинома для неизвестной функции, выполнение которых гарантирует сходимость решения по МКЭ к точному решению:

1. Выбранные выражения для полинома должны содержать члены, которые приводят к появлению постоянных значений.

2. Выбранные выражения для полинома должны обеспечивать непрерывность функции и их производных до (m-1)- го порядка включительно во всей области, т.е. по объему каждого из конечных элементов и на гранях стыковки смежных элементов. Производная m - го порядка может быть кусочно-гладкой, имеющей разрывы 1-го рода на гранях стыковки смежных элементов. Только при этих условиях функционал Э (полная энергия) рассматриваемой системы определяется суммой полных энергий всех конечных элементов.

3