Методические указания к выполнению контрольных работ, страница 4

Всё это студент должен сделать самостоятельно, модифицируя модули fs.for, DATA.for в котором считывается информация, в том числе и значение nvar, и, конечно, MAIN.for, в котором осуществляется вызов DATA.for и fs.for.

Значение nvar надо использовать во всех пунктах КР, где сравниваются разные сетки, модифицируя соответствующие подпрограммы.

Если в связи с выполнением конкретного задания каких-либо числовых значений будет недостаточно для целей исследования, следует внести в модуль fs.for соответствующие коррективы.

Результаты вычислительных экспериментов записать в таблицу отчета, по которой и провести анализ.

Для доказательства своих выводов желательно построить графики.

Оформление отчета по Кр.2.

Отчет по Кр.2. должен содержать:

• по два изображения в одной строке какого-либо напряжения с сеткой КЭ, границами зон и номерами свойств КЭ до и после оптимизации сетки для сеток 6-го и 7-го семестров;

• таблицы результатов исследования

• анализ эффективности работы алгоритма оптимизации в разных зонах для сеток 6-го и 7-го семестров и заключение об особенностях, недостатках и эффективности работы алгоритма оптимизации сетки при выполнения функций, для которых он предназначен.

Контрольная работа №3 (Кр.3) Оценка качества сетки КЭ

В Кр.3 студент должен провести сравнение качества двух пар сеток:

А) оптимизированных 6-го и 7-го семестров

Б) оптимизированной и неоптимизированной сеток 7-го семестра.

После анализа качества оптимизированной и неоптимизированной сеток 7-го семестра необходимо обоснованно выбрать лучшую и с ней продолжать выполнение следующих контрольных работ.

Введение

Оценка качества сетки конечных элементов

Качество сетки конечных элементов кардинальным образом влияет на результаты решения задачи МКЭ, так как сетка КЭ является входными данными для программы. Поэтому крайне важно, не приступая к решению задачи, выбрать заранее наилучший вариант конечно-элементной сетки, ибо наилучший вариант сетки КЭ должен давать результат приближенного решения, наиболее близкий точному. Итак, объективно невозможно оценить качество сетки конечных элементов без сравнения результатов приближенного решения задачи с точным решением. Но, как правило, отсутствие точного решения лишает исследователя использовать эту возможность и, тем самым, заранее оценить качество входных данных.

Поэтому приходится искать способы оценки качества сетки КЭ по косвенным признакам, при этом не только после её построения, но и, желательно, в процессе триангуляции.

Очевидным критерием является минимальная площадь КЭ. Понятно, чем меньше площадь конечных элементов, тем больше модель приближается к реальному объекту и тем более точно рассчитывается задача, если, конечно, накапливаемая при машинном округлении ошибка не становится критической. Оценка минимальной площади конечных элементов может оцениваться не по всему рассчитываемому объекту, а только по наиболее ответственной его части, например в области наибольших значений напряжений или в области, которая более всего интересует исследоваателя.

Дальше идёт интегральная вариация этого критерия – средняя площадь КЭ, рссчитываемая как по всему объекту, так и по его части.

Следующие критерии оценки качества сетки КЭ так или иначе анализируют форму конечных элементов.

Установлено, например, что ошибка метода КЭ при решении на треугольной сетке обратно пропорциональна величине синуса минимального угла в элементах сетки.

Отсюда в качестве естественного критерия качества сетки можно принять синус минимального угла в КЭ сетки (или просто угол).

Другой критерий, основанный на подсчете среднего минимального угла в сетке, более интегрировано оценивает качество сеток и может применяться в алгебраической форме без построения графиков.

Оба эти простейших критерия слабо затрагивает форму большинства КЭ, изменение плотности КЭ в разных подобластях рассчитываемого объекта и поэтому могут использоваться только как вспомогательные.

Вообще, численных рекомендаций по форме КЭ чрезвычайно мало

С точки зрения конечно-элементного анализа можно смело говорить только о том, что оптимальным является разбиение на элементы имеющие форму простейших равносторонних фигур (равносторонний треугольник, квадрат, равносторонний тетраэдр, куб). Практически это требование достигается очень редко и получаемое разбиение на конечные элементы отлично от оптимального.

Для формы КЭ , а с ним – интегральной оценки качества полученного сеточного разбиения строятся различные измерители (см. табл. 2.4).

Одним из таких измерителей является коэффициент формы, который вычисляется следующим образом. Для каждой стороны элемента Li определяется площадь идеального элемента такой величины (для равностороннего треугольника она равна 0,433(Li)^2, а для квадрата — (Li)^2), и затем эти площади осредняются.Отношение этой осредненной «идеализированной» площади к реальной площади элемента принимается в качестве меры качества.

В литературе встречаются такие рекомендации:  

• углы пластинчатых элементов должны быть не менее 30 и не более 150 градусов.  

• не рекомендуется использовать треугольные элементы в которых присутствует угол меньше 15 градусов.

• отношение же сторон КЭ не более 1:10.

Другие измерители по оценке формы КЭ можно разработать на основе отношения площади КЭ к площади, вписанной в него окружности или на основе отношения радиуса вписанной в треугольник окружности к радиусу описанной.

Известно, например, что для любого треугольника отношение радиуса описанной окружности к радиусу вписанной окружности ≥ 2. Причем равенство имеет место для правильного треугольника.

Можно использовать некоторые известные соотношения в треугольнике. Например, отношение площади треугольника, вершинами которого являются точки касания вписанной окружности, к площади данного треугольника АВС меньше или равно . При этом, равно – для равностороннего треугольника.

Если оцениваются сетки, построенные на заранее заданном множестве точек (узлов), то существует критерий, основанный на теореме Делоне, гласящей, что система КЭ будет оптимальной, если она имеет наименьший периметр сторон (ребер) на одной и той же системе узлов. Последнее условие ограничивает применение этого критерия для оценки качества сеток, для которых расположение и число узлов разное, но этот критерий позволяет формировать оптимальную сетку КЭ в процессе её построения по заранее заданным узлам и поэтому заслуживает пристального внимания.

Наиболее объективная интегральная оценка качества сеток осуществляется с использованием метода штрафных функций. В данном задании к Кр3 она не используется.

Здесь для оценки качества сетки надо подобрать критерии, согласно простому большинству которых сетка будет обладать преимуществом или, наоборот, уступать сравниваемой сетке.

В качестве основных критериев в Кр3. должны использоваться критерии минимального угла и среднего минимального угла, благо информация по эти критериям получена при выполнении Кр.2. К этим двум критериям необходимо привлечение ещё каких-либо критериев или критерия.

Содержание работы по Кр3.

В Кр3 студент должен провести сравнение качества двух пар сеток:

А) оптимизированных 6-го и 7-го семестров

Б) оптимизированной и неоптимизированной 7-го семестра.

После анализа качества оптимизированной и неоптимизированной сеток 7-го семестра необходимо обоснованно выбрать лучшую сетку и с ней продолжать выполнение следующих контрольных работ.

Оценка качества сетки проводится по критерию минимального угла, значению среднего минимального угла и какому-либо дополнительному критерию или критериям, выбранным студентом самостоятельно.

Если два основных критерия (минимального угла и среднего минимального угла) однозначно указывают на преимущество одной из двух сравниваемых сеток между собой на всем диапазоне NRC=1-12, то привлечение дополнительного критерия или критериев не требуется.

При выполнении Кр.3 рекомендуется использовать подпрограммы fs.for (файл w1calc.for) и GETFINE (файл w2calc). При необходимости студент модифицирует эти подпрограммы в соответствии с решаемыми задачами.

Файлы w1calc.for и w2calc находятся на сайте в разделе

«Дополнительные модули и программы к САЕ Sigma ».

Студент должен исключить из подпрограмм ненужные элементы, добавить свои – нужные, и тем самым модифицировать эти подпрограммы под запросы решаемых задач.

Не надо забывать, что используя FS в Кр.2 мы оценивали работу алгоритма оптимизации (и только) : выполняет ли он свои функции или нет и от чего зависит эффективность его работы. Поэтому при выполнении Кр.3 в FS возможно придется вносить какие-либо изменения (например, удалить из FS исключение из рассмотрения минимального угла неизменяемого КЭ, если таковое вносилось при выполнении Кр.2).

В Кр.3 к придется оценивать две пары сеток минимально по двум, а чаще по крайней мере трём критериям: минимальному углу, среднему минимальному углу и дополнительному критерию, выбранному студентом. Да ещё при разном числе КЭ.

Дополнительные критерии могут быть разными. Например, можно подсчитать процентное отношение числа КЭ, у которых углы лежат в интервале от 30º до 150 º, градусов, к общему числу КЭ или процентное отношение числа КЭ, у которых отношение сторон больше 1:10, тоже к общему числу КЭ. Или подсчитать число КЭ, у которых минимальный угол меньше 30 градусов и определить процентное отношение таких КЭ к общему числу КЭ.

Можно привлечь формулы для оценки формы КЭ. Или, например, подсчитать число КЭ, площадь которых больше или меньше средней. И почему одно – хорошо, а другое – плохо (или наоборот), т.е. логику сравнения, студент должен объяснить в отчете.

Отличие такого подхода от комплексного (реализуемого методом штрафных функций) состоит в том, что при равенстве n критериев мы применяем n+1-ый критерий, на основе которого сможем утверждать, что одна сетка всё-таки лучше другой.

Такая оценка более проста, дает большую свободу студентам в оценке качества сеток и более легко осуществляется (за счет изменения только подпрограммы FS) , чем метод штрафных функций, который потребовал бы подключения подпрограммы GETFINE из файла w2calc. Впрочем, студенту не возбраняется использовать и этот модуль.

Повторим, что в Кр.3 7-го семестра оценка качества сетки проводится по критерию минимального угла, значению среднего минимального угла и какому-либо дополнительному критерию или критериям, выбранным студентом самостоятельно.

Если два основных критерия (минимального угла и среднего минимального угла) однозначно указывают на преимущество одной из двух сравниваемых сеток между собой на всем диапазоне NRC=1-12, то привлечение дополнительного критерия или критериев не требуется.

Особенное внимание требуется уделить сеткам 7-го семестра при NRC=7, так как именно при этом NRC выполняются следующие контрольные работы.

Ещё раз повторим, что необходимо сравнить качество сеток 6-го и 7-го семестров после оптимизации и сеток 7-го семестра до и после оптимизации между собой.

Результаты сравнения оптимизированной и неоптимизированной сетки 7-го семестра используются в последующих контрольных работах.

Нужная информация по первым двум критериям уже содержится в таблицах 2.1.

и 2.2, составленных при выполнении контрольной работы 2 (Кр.2).

Оформление отчета по Кр.3.

Учитывая, что после оптимизации минимальные углы всегда больше минимальных углов до оптимизации, в большинстве случаев оптимизированная сетка по критерию минимального угла будут иметь преимущество по сравнению с неоптимизированной сеткой. По второму критерию - среднего минимального угла не всегда можно сделать однозначный вывод. Именно поэтому чаще всего приходится прибегать к ещё какому-нибудь дополнительному критерию оценки качества сетки.

Для удобства сравнения качества двух пар сеток необходимо привести в отчете Кр.3 таблицы, примерная форма которых представлена ниже для случая сравнения оптимизированных сеток 6-го и 7-го семестров и случая сравнения

оптимизированной и неоптимизированной сетки 7-го семестра.

Таблица 3.1. Основные критерии (минимального и среднего минимального угла) оценки качества сеток 6-го семестра и 7-го семестров (после оптимизации).

NRC	Число КЭ сетки 6 сем	/№КЭ	Число КЭ сетки 7 сем	/№КЭ	-	%	средний мин. угол	средний мин.угол	= -	%
3
4
7
8
9
10
Среднее

Здесь , , , значения минимальных и средних минимальных углов для сеток 6-го и 7-го семестров после оптимизации. №КЭ – номер КЭ, которому принадлежит или . Проценты подсчитываются по отношению к сетке 6-го семестра.