LEC-21 (Материалы к лекциям), страница 3

Q = T + Z =T ( K, N, K, N )+

Поскольку штрафная функция Т определяется для сетки в целом, в процессе построения СКЭ она не может быть учтена, в отличие от штрафов С₁ и С₂, которые вычисляются для каждого КЭ в отдельности. Вместе с тем отрицательное отклонение от оптимума условной площади КЭ:

приводит к увеличению штрафа Т и сводит к нулю значение штрафа С₁(e_{i ,} F)

В общем случае Т не учитывает изменения типа элементов в топологической модели сетки, поэтому ее можно определить суммой штрафов за уменьшение условной площади  _i конечного элемента по отношению к оптимальной  :

T =

причем С₃(d₁)> С₃(d₂), если d₁< d₂ < 0.

Очевидно, что для отдельного КЭ отличное от нуля значение может иметь только одна из штрафных функций С₁ или С₃ .

Таким образом, окончательное выражение числовой характеристики качества реальных СКЭ принимает вид:

Q = .

Понятно, что исходной информацией для оценки качества разных сеток, построенных для одной и той же области, является функция плотности, которой руководствовались при генерации разных вариантов сеток.

В ряде случаев требуется оценить качество построенных сеток для сравнения их между собой, не имея этой функции плотности. В таких случаях функцию плотности «восстанавливают» по одной из сеток, считая эту сетку построенной согласно функции плотности, и с помощью восстановленной функции плотности оценивают все сетки, построенные для рассматриваемой области.

1. Для сугубо приближённой оценки качества уже построенной сетки, учитывающей только размеры элементов, можно применить следующую упрощённую методику.

Предположим, что мы имеем сетку на области с площадью с минимальной и максимальной площадями конечных элементов.

Тогда функцию плотности можно осреднённо принять постоянной и равной , подсчитать - условную меру однородности (по площади) КЭ оптимальной сетки, - условную меру однородности (условную площадь) i - го КЭ реальной сетки и отклонение от оптимума размеров i - го КЭ.

Величину W, характеризующей качество СКЭ, можно подсчитать как сумму абсолютных отклонений от оптимума . Меньшее его значение говорит о более высоком качестве сетки.

2. Более точное «восстановление» функции плотности по уже построенной сетке можно проводить по разным методикам, например, по формуле , где площадь i-го элемента, - коэффициент масштабирования значений для большего удобства применения. Или , где средняя площадь конечного элемента, подсчитываемая по формуле , - коэффициент масштабирования.

Используют также формулу . В этом случае значения функция плотности не превышают 1.0 , при этом, большему её значению соответствует большая плотность КЭ.

Имея такую функцию плотности можно значительно точнее оценить качество разных вариантов сеток по критерию или по критерию Q.

Но, повторяем, формулы штрафов, использующих функции плотности, зависят от смысла и вида используемой функции плотности.

9.2.3. Задача оптимальной генерации сетки конечных элементов

Оптимальность алгоритмов генерации оценивают, исходя из качества сгенерированных сеток при:

а) известной (заданной эмпирически или найденной в результате анализа предварительного решения краевой задачи) функции плотности конечных элементов F;

б) ограничениях, накладываемых на топологическую модель (тип КЭ, требования плотного заполнения расчетной области множеством непересекающихся элементов, степень дискретизации);

в) заданных функциях штрафов.

В настоящее время теория и практика МКЭ не позволяют получить строгую оценку величин, входящих в Q.

Вместе с тем для предварительного анализа качества алгоритмов генерации СКЭ можно воспользоваться рядом очевидных свойств функции штрафов, либо применять асимптотические оценки для определения характеристик оптимальности сеток.

Определим задачу оптимальной генерации СКЭ как задачу нахождения минимума: Q  min при выполнении сформулированных ранее пунктов а, б, в.

Особенностью этой оптимизационной задачи является то, что функция Q не имеет непрерывной области существования, а определена в бесконечном множестве J топологических моделей СКЭ, При этом для каждой топологической модели Q_J имеет, по крайней мере, один локальный минимум, являясь функцией координат узлов СКЭ.

Таким образом, целью является нахождение : Q_и = (minQ_J)

где l - число возможных топологических моделей СКЭ.

Нахождение наилучшего расположения узлов сетки, отвечающего условию min Q_J для заданной топологической модели можно осуществить, используя итерационные методы нелинейного программирования. Нахождение min Q_J в общем случае возможно, если начальное расположение узлов СКЭ достаточно близко от min Q_J , т.е. даже полный перебор допустимых топологических моделей СКЭ не гарантирует нахождения минимума.

При выработке стратегии построения квазиоптимальных сеток следует ориентироваться на двухэтапные алгоритмы. Первый этап состоит в непосредственном построении СКЭ с конкретной топологией и расположением узлов, близким к оптимальному, второй - в итерационной оптимизации расположения узлов сетки при фиксированной топологии ее связей.

Топологическая модель СКЭ может быть принята заранее. В этом случае исходными параметрами генерируемой сетки являются фиксированное число узлов К₁, элементов N₁ и тип элементов.

Формирование сетки производится за известное число шагов.

При заданных  и R_min топологическая модель СКЭ заранее неизвестна (формируется в процессе генерации). Построение квазиоптимальной в соответствии Q  min сетки может быть также интерпретировано как решение задачи минимизации убытка в многошаговом процессе распределения ресурсов с правилами остановки по исчерпании ресурса.