Методические указания к выполнению контрольной работы (Кр.3м) 5-го семестра, страница 2

u = u (x, y ), = v (x, y ), w = 0

Для определении внутренних сил, действующих в твердом теле при деформации, используют так называемые условия равновесия, которые требуют отсутствия движения тела при приложении к нему системы сил. Упрощенная развернутая запись этих условий для плоской задачи теории упругости приводит к системе следующих двух уравнений:

(1)

здесь: ; E –модуль упругости на растяжение-сжатие;

- модуль упругости сдвигу; - коэффициент Пуассона;

- объемная деформация (произносится как «тэта»);

- оператор Лапласа (произносится как «дельта»);

и – проекции внешних усилий на оси координат.

Неизвестными в этих уравнениях, которые можно трактовать как уравнения равновесия тела (вспомните: сумма проекций на ось X, сумма проекций на ось Y), являются перемещения

По найденным перемещениям можно определить деформации , , :

(2)

Здесь - деформация сдвига, а формулы (2) называются соотношениями

Коши.

Из формул обобщенного закона Гука для плоского деформированного состояния определяются напряжения

При реализации МКЭ, как правило, должны выполняться условия равенства перемещений и деформации соприкасающихся элементов в точках (узлах) и по линиям соприкосновения КЭ между собой,

Требования к оформлению отчета по Кр.3:

В отчете по Кр.3 необходимо привести:

1. картину графических результатов расчета (с номерами узлов и

номерами КЭ, без шкалы градаций напряжений), со значениями одного вида из основных напряжений в выбранных КЭ). Форма рисунка представлена ниже (здесь выбранными КЭ являются КЭ 47 и 60);

1. из текстового результата расчета распечатку значений координат узлов

(с точностью до третьего-четвертого знака после запятой) с подчеркнутыми номерами узлов, образующих выбранные КЭ, с их координатами;

1. из текстового результата расчета распечатку значений перемещений (с

точностью до 9-10 знаков после запятой) с подчеркнутыми значениями перемещений в интересующих исследователя узлах;

1. для каждого из выбранных КЭ:

а) сводную таблицу координат и значений перемещений для каждого узла,

образующих КЭ;

б) системы уравнений для определения коэффициентов a1, a2, a3, a4, a5, a6

полиномов, интерполирующих перемещения u(x,y) и v(x,y) внутри КЭ;

в) подсчитанные значения коэффициентов и полную запись полиномов

перемещений с коэффициентами в пригодном для копирования виде;

г) формулы расчета деформаций и основных напряжений в выбранных КЭ с

числовыми результатами;

д) математические выкладки подсчета значений перемещений в одной из

точек КЭ с указанием координат точки и получившимися числовыми результатами;

е) таблицу сравнения подсчитанных значений перемещений в выбранной

точке и напряжений в КЭ, полученных в САЕ Sigma с соответствующими комментариями;

			u см	,%	v см	%		%		%		%
теор	12	50	0.0045919	1,7	-0.0032507	2,1	4683	0,0	3112	0,0	-1360	0,0
Sigma			4,6708E-3		-3,1825E-3		4683		3112		-1360

1. Привести доказательства выполнения условия равенства

перемещений и деформации соприкасающихся элементов в точках (узлах) и по линиям соприкосновения КЭ между собой,

1. демонстрацию в 3D из постпроцессора в одном из выбранных КЭ

одного из перемещений и одного из напряжений согласно нижеприведенному формату. При этом выделить КЭ с максимальным значением перемещений и КЭ с максимальным значением напряжений. Подтвердить PrintScreen-ом значения напряжений (перемещений) из графического результата расчета;

1. вывод по Кр.3, включающим, в том числе, объяснение рисунков в 3D:

что они изображают, как изображают, почему именно так.

Пример оформления отчета по Кр.2.

--титул и название Кр.2, цель Кр.2---

Графическое представление результата расчетов при NRC 3:

КЭ 45	КЭ 60

Перемещения и координаты узлов выбранных КЭ

Узлы 29, 30, 36 и 10, 11, 23 принадлежат КЭ 45 и 60 соответственно.

Результаты расчета перемещений узлов из текстового результата расчета.	Значения координат узлов из текстового результата расчета

КЭ 45

Индекс	№ узла	X	Y	Перемещение по X (u)	Перемещение по Y (υ)
i	29	42.370	24.510	-0.0265508200	0.0292762800
j	30	46.820	17.200	-0.0220717800	0.0127825900
m	36	50.430	24.830	-0.0326460300	0.0177419400

Нахождение коэффициентов интерполирующих полиномов перемещения:

	а1 = 0,0294087677
	а2 = -0,000714631
	а3 = -0,0010477631
	а4 = 0,0590364227
	а5 = -0,0014847555
	а6 = 0,0013524662

Интерполирующие полиномы перемещения u(x,y) и v(x,y) внутри КЭ 45:

u(x,y) = 0,0294087677 - 0,000714631x - 0,0010477631y;

v(x,y) = 0,0590364227- 0,0014847555x + 0,0013524662y;

Проверка полученных коэффициентов:

(не приведена)

Расчет деформаций: ; ;

;

Определение напряжений: Е=7200000.0 Н/см² – модуль упругости материала; = 0.3 – коэффициент Пуассона;

;

Определение перемещений в выбранной точке КЭ

u(47, 21) = 0,0294087677 - 0,000714631*47 - 0,0010477631*21 = -0,0261819144;

v(47, 21) = 0,0590364227- 0,001484755*47 + 0,0013524662*21 = 0,0176547279;

Таблица сравнения подсчитанных значений перемещений и напряжений в выбранной точке и сравнение их с результатами расчета в Sigma

			u см	,%	v см	%		%		%		%
теор	47	21	0,0261819144	0.0	0,0176547279	0.0		0,0		0,0		0,0
Sigma			0,026182		0,017655				10140

Для другого КЭ 60 - аналогично

3D демонстрация из постпроцессора:

3D график функции перемещений вдоль оси У.

Максималь-ным значением переме-щения вдоль оси У обладает конечный элемент №29, значение переме-щения составляет 0,07244968414 см

Объяснение графика.

3D график функции напряжений по оси У

Максималь-ным значением напряжения по оси У обладает конечный элемент №20. Значение напряжения составляет 25255 Н/см2

Объяснения графика

Общий вывод по Кр.3