Экзаменационные вопросы по матану за 1-й семестр

Экзаменационная программа курса “Математический анализ”

1. факультет, осень, 2009/2010 учебный год, лектор  Федорова Н.М.

Раздел 1. Введение в анализ

1 Комплексные числа в алгебраической форме и действия над ними.

1. Комплексные числа в тригонометрической и показательной формах и действия над ними

2. Понятие множества. Операции над множествами. Счетные и несчетные множества.

3. Предел функции. Необходимое условие существования конечного предела функции. Единственность предела функции.

4. Теорема о пределах основных элементарных функций.

5. Бесконечно малые (б.м.) и бесконечно большие (б.б.) функции. Их свойства и связь между ними.

6. Арифметические свойства пределов функций и предел сложной функции

7. Достаточное условие существования конечного предела монотонной последовательности. Число е.

8. Односторонние пределы.

9. Замечательные пределы и их следствия.

10. Сравнение функций. - и о-символика. Эквивалентные функции и их свойства. Таблица эквивалентных функций.

11. Непрерывность функции в точке, односторонняя непрерывность. Свойства функций, непрерывных в точке (необходимое условие непрерывности в точке, арифметические операции над непрерывными функциями, теорема о непрерывности сложной функции).

12. Непрерывность основных элементарных функций.

13. Точки разрыва и их классификация.

14. Формулировка свойств функций, непрерывных на отрезке.

Раздел 2. Дифференциальное исчисление функции одной переменной

16. Производная функции. Односторонние производные. Необходимое условие существования конечной производной.

17. Геометрический смысл производной. Касательная и нормаль к кривой, заданной явно.

18. Определение функции, дифференцируемой в точке, и дифференциала. Необходимое условие, необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции в точке.

19. Дифференциал, его геометрический смысл и свойства.

20. Общие правила дифференцирования.

1. Теоремы о производной сложной и обратной функций. Логарифмическая производная.

2. Производные основных элементарных функций (включая производные гиперболических функций) (с выводом).

3. Производные и дифференциалы высших порядков.

4. Дифференцирование функций, заданных параметрически. Уравнение касательной и нормали к кривой, заданной параметрически.

5. Теоремы о среднем Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа.

6. Правила Лопиталя-Бернулли.

7. Формула Тейлора n-го порядка с остаточным членом в форме Лагранжа и Пеано.

8. Вывод формул Маклорена для функций

9. Достаточное условие монотонности функции на промежутке. Критерий постоянства функции на промежутке.

10. Необходимое условие экстремума; достаточные условия экстремума (с использованием производных первого и высших порядков). Отыскание наибольшего (наименьшего) значения функции на отрезке.

11. Достаточное условие выпуклости функции вверх и вниз на промежутке. Точки перегиба. Необходимое условие и достаточное условие точки перегиба.

12. Определения асимптот. Необходимое и достаточное условие существования наклонной асимптоты графика функции. Общая схема исследования функции и построения графика.

Раздел 3. Интегральное исчисление функции одной переменной

1. Определение первообразной и ее свойства.

2. Неопределенный интеграл. Определение и свойства. Таблица интегралов.

3. Формула замены переменной и формула интегрирования по частям для неопределенного интеграла.

4. Интегрирование элементарных дробей. Разложение действительных многочленов на множители.

5. Схема разложения правильной рациональной дроби в сумму элементарных дробей. Интегрирование произвольных рациональных дробей.

6. Интегрирование тригонометрических и иррациональных выражений. Рационализирующие подстановки.

7. Определенный интеграл как предел интегральных сумм. Свойства определенного интеграла. Теорема о среднем.

8. Определенный интеграл с переменным верхним пределом и его свойства.

9. Основная теорема интегрального исчисления. Формула Ньютона-Лейбница.