rpd000003761 (210601 (11.05.01).С6 Лазерные информационные системы и комплексы), страница 3

Тематика: Применение аппарата математического анализа для исследования моделей сложных технических систем

Трудоемкость(СРС): 18

Прикрепленные файлы:

Типовые варианты:

-Нахождение области сходимости степенного ряда.

-Приложение степенных рядов к приближенным вычислениям

-Разложение периодических функций в ряд Фурье

-Представление функций интегралом Фурье. Нахождение спектра.

-Приложение определенного интеграла

1. Рубежный контроль

1. Промежуточная аттестация

1. экзамен (модуль 1)

Прикрепленные файлы:

Вопросы для подготовки к экзамену/зачету:

1.Понятие множества. Операции над множествами.

2.Предел функции. Необходимое условие существования конечного предела функции. Единственность предела функции.

3.Теорема о пределах основных элементарных функций.

4.Бесконечно малые (б.м.) и бесконечно большие (б.б.) функции. Их свойства и связь между ними.

5.Арифметические свойства пределов функций.

6.Достаточное условие существования конечного предела монотонной последовательности. Число е.

7.Односторонние пределы.

8.Замечательные пределы и их следствия.

9.Сравнение функций. - и о-символика. Эквивалентные функции и их свойства. Таблица эквивалентных функций.

10.Непрерывность функции в точке, односторонняя непрерывность. Свойства функций, непрерывных в точке.

11.Непрерывность основных элементарных функций.

12.Точки разрыва и их классификация.

13.Формулировка свойств функций, непрерывных на отрезке.

14.Производная функции. Односторонние производные. Необходимое условие существования конечной производной.

15.Геометрический смысл производной. Касательная и нормаль к кривой, заданной явно.

16.Определение функции, дифференцируемой в точке, и дифференциала. Необходимое условие, необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции в точке.

17.Дифференциал, его геометрический смысл и свойства.

18.Общие правила дифференцирования

19.Теоремы о производной сложной и обратной функций. Логарифмическая производная.

20.Производные основных элементарных функций. (Производные и дифференциалы высших порядков.

21.Дифференцирование функций, заданных параметрически. Уравнение касательной и нормали к кривой, заданной параметрически.

22.Теоремы о среднем Ферма, Ролля, Лагранжа.

23.Правила Лопиталя-Бернулли

24.Формула Тейлора n-го порядка с остаточным членом в форме Лагранжа и Пеано.

25.Формулы Маклорена для функций

26.Достаточное условие монотонности функции на промежутке. Критерий постоянства функции на промежутке.

27.Необходимое условие экстремума; достаточные условия экстремума (с использованием производных первого и высших порядков). Отыскание наибольшего (наименьшего) значения функции на отрезке.

28.Достаточное условие выпуклости функции вверх и вниз на промежутке. Точки перегиба. Необходимое условие и достаточное условие точки перегиба.

29.Определения асимптот. Необходимое и достаточное условие существования наклонной асимптоты графика функции. Общая схема исследования функции и построения графика.

30.Определение первообразной и ее свойства.

31.Неопределенный интеграл. Определение и свойства. Таблица интегралов. «Неберущиеся» интегралы.

32.Формула замены переменной и формула интегрирования по частям для неопределенного интеграла.

33.Интегрирование элементарных дробей. Разложение действительных многочленов на множители.

34.Схема разложения правильной рациональной дроби в сумму элементарных дробей. Интегрирование произвольных рациональных дробей.

35.Интегрирование тригонометрических и иррациональных выражений. Рационализирующие подстановки.

36.Определение определенного интеграла и его свойства. Условия существования.

37.Определенный интеграл с переменным верхним пределом и его свойства.

38.Основная теорема интегрального исчисления. Формула Ньютона-Лейбница.

2. экзамен (модуль 2)

Прикрепленные файлы:

Вопросы для подготовки к экзамену/зачету:

1.Формула замены переменной и формула интегрирования по частям для определенного интеграла.

2.Геометрические приложения определенного интеграла: вычисление площадей плоских фигур; длин дуг плоских и пространственных кривых; вычисление объемов тел по площади поперечного сечения и тел вращения; площадей поверхностей тел вращения.

3.Несобственные интегралы. Понятия сходящегося и расходящегося несобственного интеграла. Эталонные несобственные интегралы

4.Числовой ряд: определение, сходящийся, расходящийся. Свойства сходящихся рядов. Необходимый признак сходимости. Сходимость и расходимость известных рядов.

5.Достаточные признаки сходимости числовых рядов с положительными членами: признаки сравнения, Даламбера. Их применение к знакопеременным числовым рядам.

6.Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами: радикальный и интегральный признаки Коши. Их применение к знакопеременным рядам.

7.Знакопеременные числовые ряды. Абсолютная и условная сходимости. Признаки сходимости Абеля, Дирихле,Лейбница. Оценка остатка знакочередующегося ряда.

8.Функциональные ряды. Равномерная сходимость функциональных рядов. Дифференцируемость и интегрируемость равномерно сходящихся функциональных рядов.

9.Степенной ряд. Интервал и радиус сходимости. Нахождение радиуса сходимости. Исследование сходимости на концах интервала.

10.Операции алгебры и анализа над степенными рядами. Ряды Тейлора и Маклорена.

11.Условия сходимости ряда Тейлора к порождающей его функции. Разложения ex, cos x, sin x, ln(1+x), (1+x) по степеням x.

12.Функциональные пространства. Пространство интегрируемых в квадрате функций. Свойства тригонометрической системы функций: 1, , на [-l;l], n=1,2,.

13.Разложение периодической функции в ряд Фурье. Вычисление коэффициентов Фурье. Условие Дирихле разложимости в ряд Фурье.

14.Ряд Фурье для четных и нечетных функций. Неполные ряды Фурье. Ряды Фурье в комплексной форме.

15.Представление непериодических функций интегралом Фурье. Вычисление коэффициентов. Косинус-преобразование Фурье и синус-преобразование Фурье.

16.Ряды с комплексными членами.

17.Разложение функций в ряды Уолша, Чебышева-Эрмита, Лежандра

3. экзамен (модуль 3)

Прикрепленные файлы:

Вопросы для подготовки к экзамену/зачету:

1.Дать определение функции двух и более переменных, области определения, линии уровня. Дать определение предела функции двух и более переменных.

2.Непрерывность функции нескольких переменных

3.Дать определение частных производных. Определить и вывести уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности.

4.Дифференцируемость функции нескольких переменных. Теорема о необходимых условиях дифференцируемости.

5.Теорема о достаточном условии дифференцируемости функции двух переменных (формулировка).

6.Дать определение полного дифференциала функции нескольких переменных. Пояснить геометрический смысл дифференциала функции двух переменных.

7.Теоремы о производной сложной функции.

8.Скалярное поле. Поверхности и линии уровня. Определение и вычисление производной скалярного поля по направлению. Градиент скалярного поля, определение и свойства

9.Частные производные высших порядков. Теорема о равенстве смешанных производных (без доказательства).

10.Дать определение производных и дифференциалов высших порядков. Вывести формулу дифференциала второго порядка для функции двух переменных.

11.Неявные функции (определение). Достаточное условие существования неявной функции (без доказательства). Вывести формулы для производных неявно заданных функций двух и трех переменных.

12.Вывести уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности (или кривой), заданной неявно.

13.Экстремумы функций нескольких переменных (определение). Теорема о необходимом условии экстремума

14.Достаточные условия экстремума функции многих переменных с использованием второго дифференциала и критерия Сильвестра.

15.Интегральное исчисление функций многих переменных. Двойной интеграл Римана. Вычисление двойного интеграла. Свойства двойного интеграла.

16.Вычисление двойного интеграла через повторный в декартовой системе координат. Геометрические и механические приложения двойного интеграла.

17.Переход к полярным координатам в двойном интеграле. Геометрический смысл якобиана преобразования

18.Интегральное исчисление функций многих переменных. Тройной интеграл Римана. Вычисление тройного интеграла. Свойства тройного интеграла.

19.Вычисление тройного интеграла через повторный в декартовой системе координат. Геометрические и механические приложения тройного интеграла.

20.Понятие интеграла по мере. Измеримые множества. Свойства интеграла Римана.

21.Переход к цилиндрическим и сферическим координатам в тройном интеграле. Геометрический смысл якобиана преобразования.

22.Криволинейный интеграл 1-го рода. Определение. Свойства. Вычисление для различных способов задания кривой.

23.Приложения криволинейного интеграла 1-го рода.

24.Поверхностный интеграл 1-го рода. Определение. Свойства. Вычисление для случаев проектирования на разные координатные плоскости.

25.Приложения поверхностного интеграла 1-го рода.

26.Векторные и скалярные поля. Построение криволинейного интеграла 2-го рода; вычисление в случае пространственной кривой.

27.Вихрь (ротор) векторного поля, его свойства. Символика Гамильтона.

28.Потенциальное векторное поле. Теорема о существовании потенциала. Доказательство эквивалентности двух условий.

29.Потенциальное векторное поле. Теорема о существовании потенциала. (необходимость и достаточность).

30.Потенциальное векторное поле. Пример нахождения потенциала. Проверка правильности нахождения потенциала.

31.Понятие ориентируемой и ориентированной поверхности, сторона поверхности. Согласование ориентации поверхности с обходом её границы.

32.Построение поверхностного интеграла 2-го рода, его физический смысл.

33.Вычисление поверхностного интеграла 2-го рода (через проекцию на плоскость, путем перехода к поверхностному интегралу 1-го рода)

34.Дивергенция векторного поля, её физический смысл.

35.Теорема Гаусса-Остроградского.

36.Теорема Стокса. Частный случай: формула Остроградского-Грина.

1. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ И ИНФОРМАЦИОННОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

а)основная литература:

1 В.А. Зорич. Математический анализ. В 2-х ч. - М.: МЦНМО, 2002.

2 Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. В 3-х т. - М.: Дрофа 2004.

3 Б.П. Демидович. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. - М.: Наука, 2002.

4 Е.П. Иванова. Дифференциальное исчисление функции одной переменной.-М.:МАИ, 2009

Литература из электронного каталога:

1. Кудрявцев Л.Д. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Дрофа, 2006. - 719 с. - Дрофа, 2006.

2. Никольский С.М. Никольский С.М. Курс математического анализа. Физматлит, 2001. - 591 с. - Физматлит, 2001.

3. Фихтенгольц Г.М. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Физматлит, 2005. - 727 с. - Физматлит, 2005.

б)дополнительная литература:

5 Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: [в 2 ч.] – М.: Айрис-пресс, 2008

в)программное обеспечение, Интернет-ресурсы, электронные библиотечные системы:

Программное обеспечение и интернет-ресурсы размещены на сайте каф. 805 «Математическая кибернетика»: www.dep805.ru (в разделах Учебная работа и учебно-методические материалы)

– Электронная версия учебно-методических материалов по разделу "Пределы.Производная.Интеграл" (автор Федорова Н.М.) (240,7 kb)

- Электронная версия учебно-методических материалов по разделу "Комплексные числа" (автор Савостьянова Н.И.)

– Подготовка к контрольной работе по теме "Вычисление пределов" (152 kb)

- Электронная версия лекций по разделу "Ряды Фурье. Интергал Фурье" (автор Савостьянова Н.И.)

- Электронная версия учебно-методических материалов по разделу "Криволинейный интеграл 1 рода" (автор Савостьянова Н.И.)

- Электронная версия учебно-методических материалов по разделу "Криволинейный инеграл 2 рода" (автор Савостьянова Н.И.)

1. МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

Аттестованные компьютерные классы с установленным программным и методическим обеспечением.

Приложение 1
к рабочей программе дисциплины
«Математический анализ »

Аннотация рабочей программы

Дисциплина Математический анализ является частью Математического и естественно-научный цикл дисциплин подготовки студентов по направлению подготовки Радиоэлектронные системы и комплексы. Дисциплина реализуется на 8 факультете «Московского авиационного института (национального исследовательского университета)» кафедрой (кафедрами) 805.

Дисциплина нацелена на формирование следующих компетенций: ОК-10 ,ПК-2.