rpd000007963 (160700 (24.05.02).С4 Проектирование энергетических установок наземного применения на базе авиационных двигателей), страница 8
Описание файла
Файл "rpd000007963" внутри архива находится в следующих папках: 160700 (24.05.02).С4 Проектирование энергетических установок наземного применения на базе авиационных двигателей, 160700.С4. Документ из архива "160700 (24.05.02).С4 Проектирование энергетических установок наземного применения на базе авиационных двигателей", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "вспомогательные материалы для первокурсников" из 1 семестр, которые можно найти в файловом архиве МАИ. Не смотря на прямую связь этого архива с МАИ, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "остальное", в предмете "вспомогательные материалы для первокурсников" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "rpd000007963"
Текст 8 страницы из документа "rpd000007963"
Практическое занятие 13. Решение задачи Коши для систем ОДУ (2 ч, СРС – 1 ч, тема 4, лекция 12).
Пример 1. На интервале [0,1] c шагом h=0.2 решить задачу Коши методом Рунге-Кутты 4 порядка.
Численное решение сравнить с аналитическим решением 
.
Р е ш е н и е
Введением новой переменной 
решение исходной начальной задачи для дифференциального уравнения второго порядка сводится к решению системы двух дифференциальных уравнений первого порядка.
Данную систему решим методом Рунге-Кутты с использованием формул
Вычислим значения вспомогательных величин:
; 
;
;
;
;
;
;
;
Найдем приращения функций на первом интервале 
и значения функций в первом узле
;
;
Аналогично получим решения в остальных узлах, результаты вычислений занесем в таблицу.
| k |
|
|
|
|
|
|
|
| 0 | 0.0 | 1.0000000 | 3.000000000 | 0.607999216 | 0.1200E+00 | 1.000000000 | 0.00000 |
| 1 | 0.2 | 1.607999216 | 3.120007088 | 0.655995430 | 0.3600E+00 | 1.607999216 | 0.784E-6 |
| 2 | 0.4 | 2.263994646 | 3.480019051 | 0.751991317 | 0.6000E+00 | 2.263994646 | 0.535E-5 |
| 3 | 0.6 | 3.015985963 | 4.080024218 | 0.895987662 | 0.8400E+00 | 3.015985963 | 0.140E-4 |
| 4 | 0.8 | 3.911973624 | 4.920018746 | 1.087984366 | 0.1080E+01 | 3.911973624 | 0.264E-4 |
| 5 | 1.0 | 4.999957990 | 6.000004180 | 5.000000000 | 0.420E-4 |
Решением задачи является табличная функция (оставлены 5 значащих цифр в каждом числе)
| k | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|
| 0.00000 | 0.200000 | 0.4000000 | 0.6000000 | 0.8000000 | 1.000000 |
|
| 1.0000000 | 1.607999216 | 2.263994646 | 3.015985963 | 3.911973624 | 4.99995799 |
Practice14.doc
Практическое занятие 14. Многошаговые методы решения задачи Коши для ОДУ (2 ч, СРС – 1 ч, тема 4, лекция 13).
Пример 1. Методом Адамса с шагом h=0.1 получить численное решение дифференциального уравнения 
с начальными условиями 
на интервале [0, 1.0] . Численное решение сравнить с точным решением 
.
Р е ш е н и е
Данная задача на первой половине интервала совпадает с задачей из примера 1 предыдущего практического занятия. Поэтому для нахождения решения в первых узлах будем использовать результаты решения этой задачи методом Рунге-Кутты четвертого порядка. Далее используем формулу:
|
|
|
|
|
|
|
| 0 | 0.0 | 0.0000000 | 0.000000000 | 0.000000 | 0.0000000 |
| 1 | 0.1 | 0.000334589 | 0.010067030 | 0.00033467 | 0.8301E-07 |
| 2 | 0.2 | 0.002709878 | 0.041091295 | 0.002710036 | 0.1573E-06 |
| 3 | 0.3 | 0.009336039 | 0.095688785 | 0.009336250 | 0.2103E-06 |
| 4 | 0.4 | 0.022715110 | 0.178688064 | 0.022793219 | 0.781090E-04 |
| 5 | 0.5 | 0.046098359 | 0.298223418 | 0.046302490 | 0.204131E-03 |
| 6 | 0.6 | 0.083724841 | 0.467479658 | 0.084136808 | 0.411968E-03 |
| 7 | 0.7 | 0.141501753 | 0.708125200 | 0.142288380 | 0.786628E-03 |
| 8 | 0.8 | 0.228133669 | 1.057058842 | 0.229638557 | 0.150489E-02 |
| 9 | 0.9 | 0.357181945 | 1.580506443 | 0.360158218 | 0.297627E-02 |
| 10 | 1.0 | 0.551159854 | 2.406096892 | 0.557407725 | 0.624787E-02 |
Решением задачи является табличная функция располагающаяся во втором и третьем столбцах таблицы.
Пример 2. Методом Адамса-Бэшфортса-Моултона с шагом h=0.1 получить численное решение начальной задачи из примера 1.
Р е ш е н и е
Как и в предыдущем примере в первых трех узлах после начального решение получаем методом Рунге-Кутты 4-го порядка. Начиная с четвертого узла (k=4)на каждом шаге в расчетах 
используем соотношения
Этап предиктор
,
Этап корректор
,
|
|
|
|
|
|
|
|
| 0 | 0.0 | - | 0.0000000 | 0.000000000 | 0.000000 | 0.0000000 |
| 1 | 0.1 | - | 0.000334589 | 0.010067030 | 0.00033467 | 0.8301E-07 |
| 2 | 0.2 | - | 0.002709878 | 0.041091295 | 0.002710036 | 0.1573E-06 |
| 3 | 0.3 | - | 0.009336039 | 0.095688785 | 0.009336250 | 0.2103E-06 |
| 4 | 0.4 | 0.022715110 | 0.02279808 | 0.17875822 | 0.022793219 | 0.4863E-05 |
| 5 | 0.5 | 0.046197407 | 0.04631491 | 0.29845998 | 0.046302490 | 0.1242E-04 |
| 6 | 0.6 | 0.083978353 | 0.08416105 | 0.46807634 | 0.084136808 | 0.2424E-04 |
| 7 | 0.7 | 0.142027364 | 0.142331883 | 0.70952300 | 0.142288380 | 0.4350E-04 |
| 8 | 0.8 | 0.229171282 | 0.229714203 | 1.06031134 | 0.229638557 | 0.7565E-04 |
| 9 | 0.9 | 0.359247335 | 0.360288001 | 1.58832585 | 0.360158218 | 0.1298E-03 |
| 10 | 1.0 | 0.555451403 | 0.557625580 | 2.42619745 | 0.557407725 | 0.2179E-03 |
Решением задачи является табличная функция располагающаяся во втором и четвертом столбцах таблицы.
Решение полученное методом Адамса-Бэшфортса-Моултона несколько точнее, чем решение методом Адамса.
