rpd000007963 (160700 (24.05.02).С4 Проектирование энергетических установок наземного применения на базе авиационных двигателей), страница 7
Описание файла
Файл "rpd000007963" внутри архива находится в следующих папках: 160700 (24.05.02).С4 Проектирование энергетических установок наземного применения на базе авиационных двигателей, 160700.С4. Документ из архива "160700 (24.05.02).С4 Проектирование энергетических установок наземного применения на базе авиационных двигателей", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "вспомогательные материалы для первокурсников" из 1 семестр, которые можно найти в файловом архиве МАИ. Не смотря на прямую связь этого архива с МАИ, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "остальное", в предмете "вспомогательные материалы для первокурсников" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "rpd000007963"
Текст 7 страницы из документа "rpd000007963"
Практическое занятие 12. Одношаговые методы решения задачи Коши для ОДУ (2 ч, СРС – 1 ч, тема 4, лекция 12).
Пример 1. Явным методом Эйлера с шагом h=0.1 получить численное решение дифференциального уравнения 
с начальными условиями 
на интервале [0, 0.5] . Численное решение сравнить с точным решением 
.
Р е ш е н и е
Итак, исходя из начальной точки 
, 
рассчитаем значение 
в узле 
=0.1 по формулам 
:
.
Аналогично получим решение в следующем узле 
=0.2; 
. Продолжим вычисления и, введя обозначения 
и 
, где 
- точное решение в узловых точках, получаемые результаты занесем в таблицу.
| k | x | y |
|
|
|
| 0 | 0.000000000 | 0.000000000 | 0.000000000 | 0.000000000 | 0.0000 |
| 1 | 0.100000000 | 0.000000000 | 0.001000000 | 0.000334672 | 0.3347E-03 |
| 2 | 0.200000000 | 0.001000000 | 0.004040100 | 0.002710036 | 0.1710E-02 |
| 3 | 0.300000000 | 0.005040100 | 0.009304946 | 0.009336250 | 0.4296E-02 |
| 4 | 0.400000000 | 0.014345046 | 0.017168182 | 0.022793219 | 0.8448E-02 |
| 5 | 0.500000000 | 0.031513228 | 0.046302490 | 0.1479E-01 |
Решением задачи является табличная функция (оставлены 5 значащих цифр в каждом числе)
| k | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|
| 0.00000 | 0.1000 | 0.200000 | 0.3000000 | 0.400000 | 0.500000 |
|
| 0.00000 | 0.000 | 0.001000 | 0.0050401 | 0.014345 | 0.031513 |
Пример 2. Решить задачу из примера 1 методом Эйлера-Коши.
Р е ш е н и е
Исходя из начальных значений , , рассчитаем значение в узле =0.1 по формулам
.
Аналогично получим решение в остальных узлах. Продолжая вычисления и вводя обозначение 
получаемые результаты занесем в таблицу.
Таблица 4.3
| k |
|
|
|
|
|
|
| 0 | 0.0 | 0.000000000 | 0.000500000 | 0.000000000 | 0.000000000 | |
| 1 | 0.1 | 0.000500000 | 0.00000 | 0.002535327 | 0.000334672 | 0.1653E-03 |
| 2 | 0.2 | 0.003035327 | 1.510025E-003 | 0.006778459 | 0.002710036 | 0.3253E-03 |
| 3 | 0.3 | 0.009813786 | 7.157661E-003 | 0.013594561 | 0.009336250 | 0.4775E-03 |
| 4 | 0.4 | 0.023408346 | 1.941224E-002 | 0.023615954 | 0.022793219 | 0.6151E-03 |
| 5 | 0.5 | 0.047024301 | 4.133581E-002 | 0.046302490 | 0.7218E-03 |
Решением задачи является табличная функция (оставлены 5 значащих цифр в каждом числе)
Таблица 4.4
| k | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|
| 0.00000 | 0.100000 | 0.2000000 | 0.3000000 | 0.4000000 | 0.500000 |
|
| 0.00000 | 0.000500 | 0.0030353 | 0.0098138 | 0.023408 | 0.047024 |
Пример 3. Решить задачу из примера 1 первым улучшенным методом Эйлера .
Р е ш е н и е
Стартуем из начальной точки , и рассчитаем значение 
в узле 
=
=0.05 по формулам
. Затем определим величину правой части (величину производной от решения) в середине интервала 
. Окончательно рассчитаем значение функции в узле 
.
Аналогично получим решение в остальных узлах. Продолжая вычисления и вводя обозначение 
, получаемые результаты занесем в таблицу.
| k |
|
|
|
|
|
|
| 0 | 0.0 | 0.000000000 | 0.000000000 | 0.000250000 | 0.000000000 | 0.000000000 |
| 1 | 0.1 | 0.000250000 | 0.0007525031 | 0.002272632 | 0.000334672 | 0.8467E-04 |
| 2 | 0.2 | 0.002522632 | 0.0045734025 | 0.006480762 | 0.002710036 | 0.1874E-03 |
| 3 | 0.3 | 0.009003393 | 0.0137775483 | 0.013233410 | 0.009336250 | 0.3329E-03 |
| 4 | 0.4 | 0.022236804 | 0.0311509998 | 0.023150628 | 0.022793219 | 0.5564E-03 |
| 5 | 0.5 | 0.045387432 | 0.046302490 | 0.9151E-03 |
Решением задачи является табличная функция (оставлены 5 значащих цифр в каждом числе)
| k | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|
| 0.00000 | 0.100000 | 0.2000000 | 0.3000000 | 0.4000000 | 0.500000 |
|
| 0.00000 | 0.000250 | 0.0025226 | 0.0090033 | 0.022237 | 0.045387 |
Пример 4. Решить задачу из примера 1 методом Рунге-Кутты 4-го порядка.
Р е ш е н и е
Вычислим значения вспомогательных величин 
;
;
;
;
Найдем приращение функции на первом интервале 
и значение функции в первом узле
;
Аналогично получим решение в остальных узлах.
| k/i |
|
|
|
|
|
|
|
| 0/1 | 0.0 | 0.0000000 | 0.000000000 | 0.000000 | 0.0000000 | ||
| 0/2 | 0.05 | 0.0000000 | 0.000250000 | ||||
| 0/3 | 0.05 | 0.0001250 | 0.000251252 | ||||
| 0/4 | 0.1 | 0.00025125 | 0.001005031 | 0.000334589 | 0.005006 | ||
| 1/1 | 0.1 | 0.000334589 | 0.001006703 | 0.00033467 | 0.8301E-07 | ||
| 1/2 | 0.15 | 0.000837941 | 0.002275208 | ||||
| 1/3 | 0.15 | 0.001472193 | 0.002294383 | ||||
| 1/4 | 0.2 | 0.002628972 | 0.004105850 | 0.002375289 | 0.015116 | ||
| 2/1 | 0.2 | 0.002709878 | 0.004109129 | 0.002710036 | 0.1573E-06 | ||
| 2/2 | 0.25 | 0.004764443 | 0.006490492 | ||||
| 2/3 | 0.25 | 0.005955124 | 0.006551303 | ||||
| 2/4 | 0.3 | 0.009261181 | 0.009564248 | 0.006626161 | 0.025535 | ||
| 3/1 | 0.3 | 0.009336039 | 0.009568879 | 0.009336250 | 0.2103E-06 | ||
| 3/2 | 0.35 | 0.014120479 | 0.013258372 | ||||
| 3/3 | 0.35 | 0.015965225 | 0.013393055 | ||||
| 3/4 | 0.4 | 0.022729094 | 0.017869989 | 0.013456954 | 0.036504 | ||
| 4/1 | 0.4 | 0.022792993 | 0.017875391 | 0.022793219 | 0.2259E-06 | ||
| 4/2 | 0.45 | 0.031730689 | 0.023206446 | ||||
| 4/3 | 0.45 | 0.034396216 | 0.023463969 | ||||
| 4/4 | 0.5 | 0.046256962 | 0.029839667 | 0.023509315 | 0.048306 | ||
| 5 | 0.5 | 0.046302308 | 0.046302490 | 0.1823E-06 |
Решением задачи является табличная функция (оставлены 7 значащих цифр в каждом числе)
| k | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|
| 0.00000 | 0.1000 | 0.200000 | 0.3000000 | 0.400000 | 0.500000 |
|
| 0.00000 | 0.000334589 | 0.002709878 | 0.009336039 | 0.02279299 | 0.04630231 |
Practice13.doc
