rpd000007963 (160700 (24.05.02).С4 Проектирование энергетических установок наземного применения на базе авиационных двигателей), страница 6

Обе эти формулы позволяют вычислить производную с первым порядком точности.

Вычислим производную со вторым порядком точности:

Заметим, что результат вычисления в случае равномерной сетки, совпадает с полусуммой левосторонней и правосторонней производных.

Вычислим вторую производную в точке , используя формулу:

:

Practice7.doc

Практическое занятие 7. Полиномиальная интерполяция (2 ч, СРС – 1 ч, тема 3, лекция 7).

Пример 1.

Используя таблицу значений функции - , вычисленную в точках построить многочлен Лагранжа, проходящий через точки .

Вычислить значение погрешности интерполяции в точке .

, ;

Решение.

Функция задана в четырех точках, следовательно, искомым является многочлен Лагранжа третьей степени

, ,

Заполним таблицу:

0	0.1	-2.30259	-0.384	5.99632	0.7
1	0.5	-0.69315	0.128	-5.41521	0.3
2	0.9	-0.10536	-0.128	0.82313	-0.1
3	1.3	0.26236	0.384	0.68324	-0.5

Искомый многочлен Лагранжа может быть записан в виде:

Вычислим значение интерполяционного многочлена и точное значение функции в точке :

Абсолютная погрешность интерполяции составляет: .

Пример 2.

Используя таблицу значений функции - , вычисленную в точках построить многочлен Ньютона, проходящий через точки .

Вычислить значение погрешности интерполяции в точке .

, ;

Решение.

Функция задана в четырех точках, следовательно, искомым является многочлен Ньютона третьей степени

Заполним таблицу конечных разностей

0 1 2 3	0.0 1.0 2.0 3.0	0.0 0.5 0.86603 1.0	0.5 0.36603 0.13398	-0.06699 -0.11603	-0.01635

Искомый многочлен Ньютона записывается в виде:

Вычислим значение интерполяционного многочлена и точное значение функции в точке :

Абсолютная погрешность интерполяции составляет: .

Practice8.doc

Практическое занятие 8. Интерполяция сплайнами (2 ч, СРС – 1 ч, тема 3, лекция 8).

Пример 1.

Построить кубический сплайн для функции, заданной в узлах интерполяции, предполагая, что сплайн имеет нулевую кривизну при и .

	0	1	2	3	4
	0.0	1.0	2.0	3.0	4.0
	0.0	1.8415	2.9093	3.1411	3.2432

Вычислить значение функции

Решение. Запишем систему уравнений

применительно к рассматриваемой задаче

Решив данную систему, найдем и, воспользовавшись формулами:

заполним таблицу.

1	[0,1]	0.0	1.9913	0.0	-0.14983
2	[1,2]	1.8415	1.5418	-0.44949	-0.02450
3	[2,3]	2.9093	0.56934	-0.52299	0.18548
4	[3,4]	3.1411	0.07978	0.03344	-0.01115

Вычислим значение функции точка принадлежит отрезку [1,2], на этом отрезке таблично заданная функция представляется кубическим сплайном:

.

Practice9.doc

Практическое занятие 9. Аппроксимация методом наименьших квадратов (2 ч, СРС – 1 ч, тема 3, лекция 9).

Пример 1.

Для таблично заданной функции

	0	1	2	3	4	5
	0.0	1.7	3.4	5.1	6.8	8.5
	0.0	1.3038	1.8439	2.2583	2.6077	2.9155

путем решения нормальной системы МНК найти приближающие многочлены 1-ой и 2-ой степени. Для каждого из приближающих многочленов вычислить сумму квадратов ошибок. Построить графики приближаемой функции и приближающих многочленов.

Решение.

Найдем приближающий многочлен первой степени . Для нахождения неизвестных коэффициентов запишем нормальную систему МНК:

(a)

В данном примере , приведены в таблице. Подставим числовые значения в (a), получим:

(b)

Решив (b) получим . Таким образом найден приближающий многочлен 1-ой степени .

	0	1	2	3	4	5
	0.0	1.7	3.4	5.1	6.8	8.5
	0.4713	1.0114	1.5515	2.0916	2.6317	3.1718

Сумма квадратов ошибок .

Найдем приближающий многочлен второй степени . Для нахождения неизвестных коэффициентов запишем нормальную систему МНК:

(c)

Подставим числовые значения в (c), получим:

(d)

Решив (d) получим . Таким образом найден приближающий многочлен 1-ой степени .

	0	1	2	3	4	5
	0.0	1.7	3.4	5.1	6.8	8.5
	0.1295	1.0798	1.8250	2.3651	2.7000	2.8299

Сумма квадратов ошибок .

На рис. точками обозначены табличные данные, сплошной линией - приближающий многочлен первой степени, пунктирной – приближающий многочлен второй степени.

Practice11.doc

Практическое занятие 11. Численное интегрирование (2 ч, СРС – 1 ч, тема 3, лекция 11).

Пример 1.

Вычислить определенный интеграл , методами прямоугольников, трапеций, Симпсона с шагами . Уточнить полученные значения, используя Ме­тод Рунге-Ромберга-Ричардсона:

, .

Решение.

В случае интегрирования с постоянным шагом формулы метода прямоугольников принимает вид:

;

метода трапеций:

;

метод Симпсона:

.

Вычислим интеграл с шагом 0.5, результаты занесем в таблицу.

			Метод
			прямоугольников	трапеций	Симпсона
0	-1.0	-1.0	0.0	0.0	0.0
1	-0.5	-0.08	-0.12245	-0.27
2	0.0	0.0	-0.13428	-0.29	-0.22
3	0.5	0.01653	-0.12874	-0.28587
4	1.0	0.02041	-0.11914	-0.27663	-0.20558

Вычислим интеграл с шагом 0.25, результаты занесем в таблицу.

			Метод
			прямоугольников	трапеций	Симпсона
0	-1.0	-1.0	0.0	0.0	0.0
1	-0.75	-0.24490	-0.11570	-0.15561
2	-0.5	-0.08	-0.15031	-0.19622	-0.17163
3	-0.25	-0.02367	-0.16165	-0.20918
4	0.0	0.0	-0.16403	-0.21214	-0.18619
5	0.25	0.01108	-0.16239	-0.21076
6	0.5	0.01653	-0.15882	-0.20731	-0.18112
7	0.75	0.01920	-0.15430	-0.20284
8	1.0	0.02041	-0.14914	-0.19789	-0.17164

Уточним значение интеграла, используя ме­тод Рунге-Ромберга , получим:

	Точное значение
		прямоугольников	трапеций	Симпсона
	-0.16474	-0.15937	-0.17164	-0.16033
		0.00537	0.00690	0.00441

Practice12.doc