rpd000007963 (160700 (24.05.02).С4 Проектирование энергетических установок наземного применения на базе авиационных двигателей), страница 5

с точностью .

Решение. Для выбора начального приближения применяем графический способ. Построив на плоскости в интересующей нас области кривые и , определяем, что положительное решение системы уравнений находится в квадрате .

За начальное приближение примем .

Для системы двух уравнений расчетные формулы удобно записать в виде разрешенном относительно ,

где ,

, .

В рассматриваемом примере:

,

, .

Подставляя в правые части соотношений выбранные значения , получим приближение , используемое, в свою очередь, для нахождения . Итерации продолжаются до выполнения условия , где

.

Результаты вычислений содержатся в таблице.

.

Пример 2. Найти положительное решение системы из примера 1 методом простой итерации с точностью .

Решение. Преобразуем исходную систему уравнений к виду

Проверим выполнение условия , в области : , . Для этого найдем

Так как , ,

, ,

то в области имеем

.

Следовательно, если последовательные приближения не покинут области (что легко обнаружить в процессе вычислений), то итерационный процесс будет сходящимся.

В качестве начального приближения примем . Последующие приближения определяем как

где ,

Вычисления завершаются при выполнении условия

,

где .

Результаты вычислений содержатся в таблице.

.

Practice5.doc

Практическое занятие 5. Решение нелинейных уравнений (2 ч, СРС – 1 ч, тема 2, лекция 5).

Пример 1.

Решить уравнение

с точностью .

Решение.

Для локализации корней применим графический способ. Преобразуем исходное уравнение к следующему эквивалентному виду:

Построив графики функций и , определяем, что у решаемого уравнения имеется только один корень, который находится в интервале .

Метод половинного деления. В качестве исходного отрезка выберем [0.4, 0.6]. Результаты дальнейших вычислений, согласно приведенному выше алгоритму содержатся в таблице.

Метод Ньютона. Для корректного использования данного метода необходимо, в соответствии с теоремой 2.2 (лекции), определить поведение первой и второй производной функции на интервале уточнения корня и правильно выбрать начальное приближение .

Для функции имеем:

, - положительные во всей области определения функции. В качестве начального приближения можно выбрать правую границу интервала , для которой выполняется неравенство (2.3, лекции):

Дальнейшие вычисления проводятся по формуле , где , .

Итерации завершаются при выполнении условия .

Результаты вычислений содержатся в таблице.

Метод секущих. В качестве начальных точек зададим: и .

Дальнейшие вычисления проводятся по формуле ,

где .

Итерации завершаются при выполнении условия .

Результаты вычислений содержатся в таблице.

Метод простой итерации. Исходное уравнение можно записать в виде

или

Из двух этих вариантов приемлемым является второй, так как, взяв за основной интервал (0.4,0.55) и положив , будем иметь:

1)

2) . Отсюда, на интервале (0.4,0.55) .

Условия теоремы 2.3 (лекции) выполнены.

В качестве начального приближения положим .

Вычисляем последовательные приближения с одним запасным знаком по формуле , где .

Достижение требуемой точности контролируется условием .

Результаты вычислений приведены в таблице

Practice10.doc

Практическое занятие 10. Численное дифференцирование (2 ч, СРС – 1 ч, тема 3, лекция 10).

Пример 1.

Вычислить первую и вторую производную от таблично заданной функции в точке . .

Решение.

Вычислим производную, используя отрезок , т.к. точка в которой требуется найти значение производной, совпадает с правой границей отрезка, то такую производную еще называют левосторонней: .

Аналогично правосторонняя производная: .