rpd000006937 (231300 (01.03.04).Б5 Математическое и программное обеспечение систем обработки информации и управления), страница 2

Тип: Контрольная работа

Тематика: Интегральное исчисление функции нескольких переменных и приложения.

Прикрепленные файлы: КРМА 3СЕМ.doc

2.1. Контрольная работа на 4 семестр

Тип: Контрольная работа

Тематика:

Прикрепленные файлы: rКР МА 4сем.dvi

1. Промежуточная аттестация

1. Экзамен (3 семестр)

Прикрепленные файлы:

Вопросы для подготовки к экзамену/зачету:

1.Интеграл Римана на n–мерном промежутке.

2.Множество Лебеговой меры нуль. Критерий Лебега интегрируемости функции по Риману.

3.Критерий Дарбу интегрируемости вещественнозначной функции.

4.Интеграл по множеству. Мера Жордана множества и ее геометрический смысл. Критерий Лебега существования интеграла по измеримому множеству.

5.Общие свойства интеграла.

6.Сведение кратного интеграла к повторному. Теорема Фубини и следствия из нее.

7.Замена переменных в кратном интеграле.

8.Геометрический смысл знака и модуля Якобиана отображения.

9.Приложения кратных интегралов.

10.Предел, непрерывность, дифференцируемость вектор-функции скалярного аргумента.

11.Параметрически заданная кривая. Касательная к кривой.

12.Длина дуги кривой. Натуральная параметризация.

13.Естественный трехгранник кривой. Формулы Френе.

14.Определение, вычисление, геометрический смысл кривизны и кручения кривой.

15.Вид кривой вблизи произвольной точки.

16.Поверхность в евклидовом пространстве. Примеры.

17.Ориентация поверхности. Ориентируемые и неориентируемые поверхности.

18.Край поверхности. Согласованная ориентация поверхности и ее края.

19.Касательное пространство.

20.Касательная плоскость и нормаль к поверхности в R^3

21.Площадь поверхности в евклидовом пространстве.

22.Первая квадратичная форма поверхности. Площадь поверхности в R^3 , длины кривых на поверхности.

23.Алгебра форм. Кососимметрические формы. Операция внешнего умножения.

24.Дифференциальные формы в областях евклидова пространства. Определения и примеры: дифференциал функции, форма работы, форма потока.

25.Координатная запись дифференциальной формы.

26.Перенос дифференциальных форм при отображениях.

27.Внешний дифференциал формы.

28.Интеграл от дифференциальной формы по ориентированной поверхности. Независимость интеграла от выбора систем криволинейных координат. Примеры приложений.

29.Форма объема. Площадь поверхности.

30.Интегралы от дифференциальных форм 1 и 2 рода.

31.Общая формула Стокса.

32.Классические интегральные формулы Ньютона-Лейбница, Стокса, Остроградского-Гаусса.

33.Скалярные и векторные поля в областях евклидова пространства. Связь с дифференциальными формами.

34.Дифференциальные операторы векторного анализа.

35.Интегральные формулы в векторных обозначениях. Геометрическое определение div, rot.

36.Потенциал векторного поля, необходимое условие потенциальности. Критерий потенциальности векторного поля.

37.Соленоидальные поля, их свойства.

38.Теорема Пуанкаре. Точные и замкнутые формы.

2. Экзамен (4 семестр)

Прикрепленные файлы:

Вопросы для подготовки к экзамену/зачету:

1.Числовые ряды (ЧР). Необходимое условие сходимости ЧР. Критерий Коши. Свойства сходящихся рядов.

2.Признаки сравнения ЧР с неотрицательными членами.

3.Интегральный признак Коши сходимости ЧР.

4.Признак Даламбера.

5.Признак Коши.

6.Условная сходимость ЧР. Признак Лейбница.

7.Признаки Абеля и Дирихле для ЧР.

8.Теорема Римана.

9.Действия над абсолютно сходящимися рядами.

10.Сходимость и равномерная сходимость (РС) семейства функций, зависящих от параметра.

11.Критерий Коши равномерной сходимости ряда. Необходимый признак РС ряда.

12.Признак Вейерштрасса РС.

13.Признаки Абеля и Дирихле РС.

14.Условия коммутативности двух предельных переходов для семейства функций, зависящих от параметра. Коммутативная диаграмма.

15.Непрерывность и предельный переход.

16.Теорема Дини.

17.Интегрирование и предельный переход

18.Дифференцирование и предельный переход

19.Степенные ряды. Формула Коши-Адамара. Теорема о характере сходимости степенного ряда.

20.Первая и вторая теоремы Абеля.

21.Дифференцирование и интегрирование степенных рядов.

22.Аналитические функции в действительной области.

23.Ряд Тейлора.

24.Формула Стирлинга.

25.Алгебры функций.

26.Банахова алгебра С(К). Всюду плотные подмножества в С(К).

27.Теорема Стоуна.

28.Комплексный вариант теоремы Стоуна.

29.Приближения непрерывных функций алгебраическими и тригонометрическими полиномами. Теоремы Вейерштрасса.

30.Собственные интегралы, зависящие от параметра (ПАР). Непрерывность собственных интегралов (ПАР). Интегрирование.

31.Дифференцирование собственных интегралов зависящих от параметра.

32.Несобственные интегралы, зависящие от параметра (ПАР). Равномерная сходимость (РС). Критерий Коши РС.

33.Признак Вейерштрасса РС несобственного интеграла (ПАР).

34.Признак Абеля-Дирихле РС несобственного интеграла (ПАР).

35.Предельный переход под знаком несобственного интнграла (ПАР).

36.Непрерывность несобственного интеграла (ПАР).

37.Дифференцирование несобственного интеграла (ПАР).

38.Интеграл Дирихле.

39.Интегрирование несобственного интеграла (ПАР). Достаточное условие перестановочности несобственных интегралов.

40.Эйлеровы интегралы.

41.Несобственные кратные интегралы.

42.Интеграл Пуассона.

43.Ряды Фурье в предгильбертовом пространстве. Экстремальное свойство коэффициентов Фурье. Неравенство Бесселя. Равенство Парсеваля.

44.Ортонормированные системы векторов в сепарабельном предгильбертовом пространстве. Полные и замкнутые системы. Существование ортонормированного базиса в сепарабельном предгильбертовом пространстве.

45.Гильбертово пространство. Теорема Рисса-Фишера.

46.Предгильбертово пространство СL2 [a,b].

47.Тригонометрическая система на отрезке, ее свойства. Тригонометрический ряд Фурье периодической функции. Сходимость в среднем квадратичном. Равенство Ляпунова.

48.Ряды Фурье для четных и нечетных периодических функций с произвольным периодом. Ряд Фурье в комплексной форме.

49.Лемма Римана.

50.Ядра Дирихле, их свойства.

51.Достаточные условия поточечной сходимости тригонометрического ряда Фурье.

52.Достаточные условия равномерной сходимости тригонометрического ряда Фурье.

53.Теорема Фейера.

54.Интеграл Фурье. Теорема обращения.

55.Преобразование Фурье, его свойства.

56.Преобразование Фурье свертки.

57.Пространство Шварца S быстро убывающих бесконечно дифференцируемых функций. Преобразование Фурье в S

58.Теорема Планшереля.

59.Преобразование Фурье для функций многих переменных.

1. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ И ИНФОРМАЦИОННОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

а)основная литература:

1. В.А. Зорич. Математический анализ. В 2-х ч. - М.: МЦНМО, 2002.

2. Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. В 3-х т. - М.: Дрофа 2004.

3. Б.П. Демидович. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. - М.: Наука, 2002.

б)дополнительная литература:

4. И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий. Задачи и упражнения по математическому анализу. - М.: Дрофа 2001.

5. А.С. Феденко. Сборник задач по дифференциальной геометрии.-М.: Наука, 1979.

в)программное обеспечение, Интернет-ресурсы, электронные библиотечные системы:

1. МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

Аттестованные компьютерные классы с установленным программным и методическим обеспечением.

Приложение 1
к рабочей программе дисциплины
«Математический анализ II »

Аннотация рабочей программы

Дисциплина Математический анализ II является частью Математического и естественно-научный цикл дисциплин подготовки студентов по направлению подготовки Прикладная математика. Дисциплина реализуется на 8 факультете «Московского авиационного института (национального исследовательского университета)» кафедрой (кафедрами) 803.

Дисциплина нацелена на формирование следующих компетенций: ОК-12.

Содержание дисциплины охватывает круг вопросов, связанных с: получением базовых знаний по интегральному исчислению функции нескольких прерменных, элементам диференциальной геометрии, векторноного анализа и теории рядов; с умением использовать аппарат дифференциального и интегрального исчисления для решения профессиональных задач;

получением навыков составления простых математических моделей и методами решения инженерных задач.

Преподавание дисциплины предусматривает следующие формы организации учебного процесса: Лекция, мастер-класс, Практическое занятие.

Программой дисциплины предусмотрены следующие виды контроля: рубежный контроль в форме Контрольная работа и промежуточная аттестация в форме Экзамен (3 семестр) ,Экзамен (4 семестр).

Общая трудоемкость освоения дисциплины составляет 8 зачетных единиц, 288 часов. Программой дисциплины предусмотрены лекционные (68 часов), практические (68 часов), лабораторные (0 часов) занятия и (98 часов) самостоятельной работы студента. Основными задачами преподавания дисциплины являются:

1) ознакомить студентов с основными математическими понятиями и методами разделов: интегральному исчислению функции нескольких прерменных, элементам диференциальной геометрии, векторноного анализа и теории рядов; формулировками и доказательством наиболее важных как с теоретической, так и с практической точки зрения теорем данного курса;

2) выработать у студентов навыки применения полученных теоретических знаний для решения прикладных задач;

3) научить решать основные типы задач по разделам дисциплины;

4) выработать умения анализировать полученные результаты, привить навыки самостоятельного изучения литературы по математике.

Приложение 2
к рабочей программе дисциплины
«Математический анализ II »

Cодержание учебных занятий

1. Лекции

1.1.1. Кратный интеграл Римана.(АЗ: 8, СРС: 6)

Тип лекции: Информационная лекция

Форма организации: Лекция, мастер-класс

Описание: Интеграл Римана на n-мерном промежутке. Необходимое условие интегрируемости. Множества лебеговой меры нуль. Критерий Лебега интегрируемости функции по Риману. Критерий Дарбу интегрируемости вещественнозначной функции. Интеграл по множеству. Мера Жордана множества и её геометрический смысл. Критерий Лебега существования интеграла по измеримому множеству. Общие свойства интеграла. Сведение кратного интеграла к повторному. Замена переменных в кратном интеграле. Несобственные кратные интегралы.

1.2.1. Гладкие кривые.(АЗ: 2, СРС: 2)

Тип лекции: Информационная лекция

Форма организации: Лекция, мастер-класс

Описание: Векторные функции скалярного аргумента. Операции анализа над векторными функциями. Кривая. Основные понятия, связанные с кривой. Гладкие кривые. Натуральная параметризация. Касательная к кривой. Длина кривой. Кривизна кривой. Кручение кривой. Репер Френе. Формулы Френе.

1.2.2. Параметризованная поверхность.(АЗ: 4, СРС: 2)

Тип лекции: Информационная лекция

Форма организации: Лекция, мастер-класс

Описание: Поверхность в евклидовом пространстве. Касательное пространство. Ориентация поверхности. Ориентируемые и неориентируемые поверхности. Край поверхности. Согласованная ориентация поверхности и её края. Первая квадратичная форма поверхности.

1.3.1. Дифференциальные формы, операции над дифференциальными формами.(АЗ: 6, СРС: 4)

Тип лекции: Информационная лекция

Форма организации: Лекция, мастер-класс

Описание: Алгебра кососимметрических форм. Дифференциальные формы в областях евклидова пространства. Определение и примеры: дифференциал функции, форма работы, форма потока. Координатная запись дифференциальной формы. Перенос дифференциальных форм при отображениях. Внешний дифференциал формы. Замкнутые и точные формы. Теорема Пуанкаре. Дифференциальные формы на поверхности. Форма объёма.