rpd000002910 (160700 (24.03.05).Б4 Газотурбинные энергетические установки), страница 4

Практическое занятие 2. Прямые методы решения СЛАУ. (2 ч, СРС – 1 ч, тема 1, лекция 2).

Пример 1. Методом Гаусса решить СЛАУ.

Р е ш е н и е.

Прямой ход:

Обратный ход:

Ответ: .

Пример 2. Методом Гаусса вычислить определитель матрицы и обратить матрицу СЛАУ из примера 1.1.

Р е ш е н и е.

; (точное значение 946).

Прямой ход.

Обратный ход:

Отсюда

Проверка: ,

т.е. с точностью до ошибок округления получена единичная матрица.

Пример 3. Методом прогонки решить СЛАУ

Р е ш е н и е.

,

.

Practice4.doc

Практическое занятие 4. Нахождение собственных значений и собственных векторов матриц (2 ч, СРС – 1 ч, тема 1, лекция 4).

Пример 1. С точностью вычислить собственные значения и собственные векторы матрицы

Р е ш е н и е.

1). Выбираем максимальный по модулю внедиагональный элемент матрицы , т.е. находим , такой что = . Им является элемент .

2). Находим соответствующую этому элементу матрицу вращения:

.

3). Вычисляем матрицу :

.

В полученной матрице с точностью до ошибок округления элемент .

, следовательно итерационный процесс необходимо продолжить.

Переходим к следующей итерации :

.

.

Переходим к следующей итерации

.

Таким образом в качестве искомых собственных значений могут быть приняты диагональные элементы матрицы :

Собственные векторы определяются из произведения

; .

Полученные собственные векторы ортогональны в пределах заданной точности, т.е.

Пример 2.

Вычислить спектральный радиус матрицы с точностью .

В качестве начального приближения собственного вектора возьмем .

Реализуем итерационный процесс (1.26, лекции), полагая .

, ;

, ;

;

, ;

;

, ;

.

Таким образом, полученное на 4-ой итерации значение =6,9559 удовлетворяет заданной точности и может быть взято в качестве приближенного значения . Искомое значение спектрального радиуса = 6,9559.

Practice1.doc

Практическое занятие 1. Нормы векторов и матриц. Обусловленность матриц (2 ч, СРС – 1 ч, лекция 1).

Пример 1.

Для матрицы и вектора вычислить различные нормы . Проверить выполнение условия согласованности норм для различных комбинаций норм. Вычислить число обусловленности матрицы .

, .

Решение.

Вычислим соответствующие нормы:

, =5, .

, , .

Для проверки условия согласованности вычислим различные нормы вектора .

, = , .

Легко убедиться в том, что условие согласованности выполняется для согласованных норм:

, , .

Кроме того, известно что матричная норма согласована со всеми введенными выше нормами векторов. В данном примере это подтверждается выполнением неравенств:

, .

В то же время использование ряда других комбинаций норм матрицы и вектора приводит в данном случае к нарушению условия согласованности:

, .

Рассмотренный пример наглядно иллюстрирует важность использования согласованных норм матрицы и вектора.

Вычислим число обусловленности матрицы , взяв в качестве нормы матрицы . Для этого найдем сначала обратную матрицу:

и вычислим ее норму:

= .

В результате

=56.

Practice3.doc

Практическое занятие 3. Итерационные методы решения СЛАУ (2 ч, СРС – 1 ч, тема 1, лекция 3).

Пример 1. Методом простых итераций с точностью решить СЛАУ.

Р е ш е н и е.

Приведем СЛАУ к эквивалентному виду:

или

где ; ;

, следовательно достаточное условие сходимости метода простых итераций выполнено.

Итерационный процесс выглядит следующим образом.

; ; ;

;

;

; .

Таким образом, вычислительный процесс завершен за 4 итерации. Отметим, что точное решение исходной СЛАУ в данном случае известно . Отсюда следует, что заданной точности удовлетворяло решение, полученное уже на третьей итерации. Но в силу использования для вычисления погрешности оценочного выражения (1.20) (видно, что в данном случае , при этом , хотя ) процесс останавливается только на четвертой итерации.

Отметим также, что априорная оценка необходимого количества итераций в данной задаче дает: , т.е. для достижения точности , согласно априорной оценке, необходимо сделать не менее пяти итераций, что иллюстрирует характерную для априорной оценки тенденцию к завышению числа итераций.

Пример 2. Методом Зейделя решить СЛАУ из примера 1.

Р е ш е н и е.

Приведение СЛАУ к эквивалентному виду аналогично примеру (1.5). Диагональное преобладание элементов исходной матрицы СЛАУ гарантирует сходимость метода Зейделя.

Итерационный процесс выглядит следующим образом:

Таким образом, уже на второй итерации погрешность , т.е. метод Зейделя в данном случае сходится быстрее метода простых итераций.

Practice6.doc

Практическое занятие 6. Решение систем нелинейных уравнений (2 ч, СРС – 1 ч, тема 2, лекция 6).

Пример 1. Методом Ньютона найти положительное решение системы нелинейных уравнений

с точностью .

Решение. Для выбора начального приближения применяем графический способ. Построив на плоскости в интересующей нас области кривые и , определяем, что положительное решение системы уравнений находится в квадрате .

За начальное приближение примем .

Для системы двух уравнений расчетные формулы удобно записать в виде разрешенном относительно ,

где ,

, .

В рассматриваемом примере:

,

, .

Подставляя в правые части соотношений выбранные значения , получим приближение , используемое, в свою очередь, для нахождения . Итерации продолжаются до выполнения условия , где

.

Результаты вычислений содержатся в таблице.

.

Пример 2. Найти положительное решение системы из примера 1 методом простой итерации с точностью .

Решение. Преобразуем исходную систему уравнений к виду

Проверим выполнение условия , в области : , . Для этого найдем

Так как , ,

, ,

то в области имеем

.

Следовательно, если последовательные приближения не покинут области (что легко обнаружить в процессе вычислений), то итерационный процесс будет сходящимся.

В качестве начального приближения примем . Последующие приближения определяем как

где ,

Вычисления завершаются при выполнении условия

,

где .

Результаты вычислений содержатся в таблице.

.

Practice5.doc

Практическое занятие 5. Решение нелинейных уравнений (2 ч, СРС – 1 ч, тема 2, лекция 5).

Пример 1.

Решить уравнение

с точностью .

Решение.