rpd000000399 (080200 (38.03.02).Б10 Финансовый менеджмент на предприятиях высокотехнологичных отраслей промышленности), страница 4

6.14. Даны векторы ; ; . Разложить вектор по векторам , , . Найти:

а) координаты вектора в стандартном базисе;

б) длину и направляющие косинусы вектора ;

в) произведения , , , определить ориентацию тройки , , ;

г) ортогональные проекции , вектора ;

д) алгебраические значения и длин проекций;

е) угол между векторами и ;

ж) угол между вектором и плоскостью, содержащей векторы и ;

з) площадь параллелограмма, построенного на векторах и ;

и) объем параллелепипеда , построенного на векторах , , .

6.15. На векторах и построен треугольник . Требуется найти:

а) длины сторон треугольника;

б) величину угла ;

в) площадь треугольника;

г) координаты вектора (в стандартном базисе), где отрезок – высота треугольника.

6.16. На векторах , , построена треугольная пирамида (рис.8.25). Требуется найти:

а) длины ребер , , ;

б) величину угла ;

в) площадь треугольника ;

г) объем пирамиды ;

д) высоту пирамиды, опущенную из вершины ;

е) высоту треугольника , опущенную из вершины ;

ж) угол между ребром и плоскостью грани ;

з) величину угла между плоскостями граней и ;

и) направляющие косинусы вектора ;

к) алгебраическое значение ортогональной проекции вектора на направление вектора ;

л) ортогональную проекцию вектора на прямую, перпендикулярную грани ;

м) единичный вектор (орт), имеющий направление вектора ;

н) вектор , имеющий длину вектора и направление вектора .

Собственные векторы и квадратичные формы.doc

Занятие 7. Собственные векторы и собственные значения. Квадратичные формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду.

7.1. Найти собственные значения и соответствующие собственные векторы матриц:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) ;

е) ; ж) ; з) ; и) .

Ответ: а) , , , ; б) , , , ;

в) , ; г) , ; д)   , , , ;

е)  , , , , ; ж)   , , , , , ; з) , ; и) , , , . Собственные векторы матриц определяются неоднозначно.

7.2. Записать квадратичные формы в матричном виде, найти их ранги ( ) и дискриминанты ( ):

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) .

Ответ: а) , , ; б) , , ; в) , , ; г) , , ; д) , , ; е) , , .

7.3. Найти матрицы вторых производных (матрицы Гессе) функций векторного аргумента:

а) ; б) ; в) .

Ответ: а) ; б)  ; в) .

7.4. Найти точки локального экстремума функций:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) .

Ответ: а) – точка локального минимума; б) – точка локального минимума; в) – точка локального минимума; г) нет точек экстремума; д) – точка локального максимума; е)  – точка минимума. Решение см. в [4], пример 6.13.

7.5. Привести квадратичную форму

к каноническому виду: а) методом Лагранжа; б) методом Якоби.

7.6. Используя критерий Сильвестра, найти, при каких значениях квадратичная форма положительно определена.

Алгебраические линии(прямые и плоскости).doc

Занятие 8. Алгебраические линии (прямые и плоскости).

8.1. Для прямой, проходящей через точки и , составить: а) общее уравнение; б) параметрическое уравнение; в) каноническое уравнение; г) уравнение "в отрезках"; д) уравнение с угловым коэффициентом.

Ответ: а)  ; б)  ; в)  ;

г)  ; д)  .

8.2. Установить взаимное расположение каждой пары прямых (пересекающиеся, перпендикулярные, параллельные, совпадающие):

а) , ; б) , ;

в) ; г) , .

Ответ: а) пересекаются в точке ; б) перпендикулярны, пересекаются в точке ; в) параллельны; г) совпадают.

8.3. Заданы координаты вершин , , треугольника . Составить уравнения прямых, проходящих через вершину и содержащих медиану, высоту и биссектрису треугольника, а также уравнение серединного перпендикуляра к стороне .

Ответ: ; ; ; .

8.4. Даны координаты двух вершин , треугольника и точки пересечения его высот. Найти координаты вершины треугольника. Ответ: .

8.5. Составить уравнение прямой, проходящей через точку и образующей с прямой угол величиной .

Ответ: или .

8.6. Заданы координаты вершин , , треугольника . Требуется:

а) составить уравнение серединного перпендикуляра к стороне ;

б) составить уравнение прямой, содержащей медиану ;

в) составить уравнение прямой, содержащей высоту ;

г) составить уравнение прямой, содержащей биссектрису ;

д) для прямой составить общее и нормированное уравнения, а также уравнение "в отрезках";

е) найти расстояние от начала координат до прямой ;

ж) найти площадь треугольника, образованного прямой и координатными осями;

з) вычислить величину угла между прямой и осью абсцисс;

и) найти координаты точки , симметричной точке относительно прямой .

8.7. Плоскость задана уравнением . Составить параметрическое уравнение и уравнение "в отрезках" этой плоскости.

Ответ: , ; .

8.8. Плоскость проходит через точки , , . Составить для этой плоскости:

а) общее уравнение; б) параметрическое уравнение.

Ответ: а)  ; б)  , .

8.9. Установить взаимное расположение каждой пары плоскостей (пересечение, перпендикулярность, параллельность, совпадение):

а) , ;

б) , ;

в) , ;

г) , .

Ответ: а) пересекаются; б) параллельны; в) совпадают; г) перпендикулярны.

8.10. Составить общее уравнение плоскости, проходящей через точку и отсекающей на координатных осях равные положительные "отрезки". Ответ: .

8.11. Составить общее уравнение плоскости, проходящей через точку и ось абсцисс. Ответ: .

8.12. Составить уравнение плоскости "в отрезках", проходящей через точку и параллельной плоскости . Ответ: .

8.13. Прямая проходит через точки , . Составить для этой прямой: а) общее уравнение; б) параметрическое уравнение; в)  каноническое уравнение.

Ответ: а)  ; б)  ; в)  .

8.14. Установить взаимное расположение каждой пары прямых (скрещивающиеся, пересекающиеся, перпендикулярные, параллельные, совпадающие):

а) , ;

б)

в) ,

г) , ;

д) ,

Ответ: а) пересекающиеся в точке ; б) перпендикулярные, скрещивающиеся; в) совпадающие; г) перпендикулярные, пересекаются в точке ; д) параллельные.

8.15. Найти ортогональную проекцию точки на плоскость, проходящую через точку и прямую . Ответ: .

8.16. Найти точку , симметричную точке относительно прямой, проходящей через точки и . Ответ: .

8.17. Составить каноническое уравнение проекции прямой на плоскость . Ответ: .

8.18. Составить уравнение общего перпендикуляра к двум скрещивающимся прямым и . Ответ: .

8.19. Установить взаимное расположение пар, образуемых прямой и плоскостью (пересечение, перпендикулярность, параллельность, принадлежность прямой плоскости):

а) , ;

б) ;

в) ; ;

г) .

Ответ: а) прямая пересекает плоскость в точке ; б) прямая перпендикулярна плоскости и пересекает ее в точке ; в) прямая параллельна плоскости; г) прямая принадлежит плоскости.

8.20. Заданы координаты вершин , , треугольника . Составить уравнения прямых, проходящих через вершину и содержащих медиану, высоту и биссектрису треугольника, а также уравнение серединного перпендикуляра к стороне , принадлежащего плоскости треугольника.

Ответ: ; ;

8.21. В пространстве заданы три прямые:

; .

Найти величину угла между скрещивающимися прямыми. Составить общее уравнение плоскости, проходящей через параллельные прямые.

Ответ: ; .

8.22. Заданы координаты вершин , , , треугольной пирамиды . Требуется:

а) составить общее уравнение плоскости грани ;

б) найти расстояние от вершины до плоскости грани ;

в) найти величину угла между плоскостями граней и ;

г) найти угол между ребром и плоскостью грани пирамиды;

д) найти проекцию вершины на плоскость основания ;

е) составить каноническое уравнение прямой, проходящей через вершину и точку пересечения медиан треугольника ;

ж) найти угол между прямыми и ;

з) найти расстояние между прямыми и ;

и) найти ортогональную проекцию вершины на прямую ;

к) составить уравнение прямой, симметричной прямой относительно плоскости основания .

Алгебраические линии и поверхности второго порядка.doc

Занятие 9. Алгебраические линии и поверхности второго порядка.

9.1. Привести уравнение линии второго порядка к каноническому виду (определить название линии, составить каноническое уравнение, найти каноническую систему координат, указать формулы преобразования координат и построить линию в исходной системе координат):