Основные понятия H.: исправное - неисправное состояние, работоспособное - неработоспособное состояние, повреждение, отказ, предельное состояние. B исправном состоянии объект должен соответствовать всем требованиям, установленным для него нормативно-техн. и конструкторской документацией. Несоответствие хотя бы одному из требований переводит объект в категорию неисправных. Способность объекта выполнять требуемые функции в заданных режимах и условиях применения определяется не всеми, a лишь некоторой совокупностью параметров. Допуски на эти параметры устанавливаются нормативно-техн. и конструкторской документацией. Если значения параметров находятся в пределах установленных допусков, то объект признаётся работоспособным, в случае несоответствия допуску хотя бы одного из этих параметров объект считается неработоспособным. Неисправный объект может оставаться работоспособным, наоборот, неработоспособный объект всегда является и неисправным. B теории H. изменение состояния объекта связывают c повреждением или отказом. Если объект переходит в неисправное, но работоспособное состояние, то это событие наз. повреждением; если объект переходит в неработоспособное состояние - отказом. Для сложных объектов возможно определение неск. уровней работоспособности и, соответственно, неск. видов отказов. Объект может перейти в состояние, при к-ром его дальнейшее применение по назначению в данных условиях недопустимо или нецелесообразно, хотя он ещё работоспособен, либо в случае неисправного или неработоспособного состояния его восстановление невозможно или нецелесообразно. Такое состояние объекта в теории H. наз. предельным. Восстановление исправности или работоспособности объекта производится при ремонтах. Неремонтируемые объекты могут иметь предельные состояния двух видов: первый вид совпадает c неработоспособным состоянием, второй - обусловливается невозможностью дальнейшего применения работоспособного объекта, напр. из-за повышенной опасности, вредности или неэкономичности его использования. Для ремонтируемых объектов выделяют три вида предельных состояний: первые два предполагают временное прекращение использования объекта по назначению - отправка объекта в средний или капитальный ремонт соответственно; третий вид - окончат. прекращение применения по назначению. Признаки или совокупности признаков отказа или предельного состояния объекта наз. соответственно критериями отказа или предельного состояния.

Безотказность как показатель H. объекта характеризует его c позиций способности непрерывно сохранять работоспособное состояние в течение определённого времени или наработки (продолжительности или объёма работ). Безотказность может быть определена вероятностью безотказной работы, cp. наработкой до (первого) отказа, cp. наработкой на отказ (для восстанавливаемых объектов), интенсивностью отказов для невосстанавливаемых и параметром потока отказов для восстанавливаемых объектов и т.д. Долговечность характеризует способность объекта сохранять работоспособность до наступления предельного состояния при установленной для этого объекта системе техн. обслуживания и ремонтов. Показателями долговечности являются, напр., средний или назначенный ресурсы (наработка объекта от начала эксплуатации или от её возобновления после ремонта определённого вида до перехода в предельное состояние), средний или назначенный сроки службы и т.п. Ремонтопригодность характеризует способность объекта к поддержанию и восстановлению его работоспособности путём техн. обслуживания и ремонтов. Показателями ремонтопригодности могут служить, напр., вероятность восстановления за заданное время, cp. время восстановления и т.п.

Сохраняемость - способность объекта сохранять показатели безотказности, долговечности и ремонтопригодности при хранении и транспортировании. Показателем сохраняемости является, напр., cp. срок сохраняемости. Кроме перечисленных т.н. единичных, применяют комплексные показатели H., характеризующие неск. свойств, составляющих H. объекта. K ним относятся: коэфф. готовности (вероятность того, что объект окажется работоспособным в произвольный момент времени, исключая периоды, когда применение объекта по назначению не предусматривается), коэфф. техн. использования, к-рый по сравнению c предыдущим показателем учитывает ещё и безотказную работу в течение заданного времени после указанного момента.         
Отказы различных по виду и назначению объектов можно классифицировать по разл. признакам, учитывающим значимость отказа, определяющим особенности эксплуатации объектов и т.п. Так, отказы могут быть независимыми и зависимыми, внезапными, постепенными и перемежающимися, конструкционными, производственными и эксплуатационными.

Осн. способы и средства повышения H. при разработке и проектировании: применение новейших высокопрочных, долговечных и технол. материалов, облегчение режимов работы элементов и узлов, защита объекта или его элементов от посторонних воздействий (виброизоляция, термоизоляция и т.п.), использование прогнозирующего контроля и др. Одним из эффективных способов сохранения работоспособности объекта при отказе одного или неск. его элементов является резервирование (использование дополнит. элементов, средств). Применительно к конкретным типам горн. объектов разрабатываются прикладные теории H.

Билет №7.

Плотность распределения случайной величины.(нет)

Определение и свойства функции распределения сохраняются и для непрерывной случайной величины, для которой функцию распределения можно считать одним из видов задания закона распределения. Но для непрерывной случайной величины вероятность каждого отдельного ее значения равна 0. Это следует из свойства 4 функции распределения:  р(Х = а) = F(a) – F(a) = 0. Поэтому для такой случайной величины имеет смысл говорить только о вероятности ее попадания в некоторый интервал.

Вторым способом задания закона распределения непрерывной случайной величины является так называемая плотность распределения (плотность вероятности, дифференциальная функция).

Определение 5.1. Функция f(x), называемая плотностью распределения непрерывной случайной величины, определяется по формуле:

                                                         f (x) = F′(x),                                                           (5.1)

то есть является производной функции распределения.

                     Свойства плотности распределения.

1)      f(x) ≥ 0, так как функция распределения является неубывающей.

2)      , что следует из определения плотности распределения.

3)      Вероятность попадания случайной величины в интервал (а, b) определяется формулой  Действительно,

4)       (условие нормировки). Его справедливость следует из того, что  а

5)       так как  при

Таким образом, график плотности распределения представляет собой кривую, расположенную выше оси Ох, причем эта ось является ее горизонтальной асимптотой при  (последнее справедливо только для случайных величин, множеством возможных значений которых является все множество действительных чисел). Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком этой функции, равна единице.

Замечание. Если все возможные значения непрерывной случайной величины сосредоточены на интервале [a, b], то все интегралы вычисляются в этих пределах, а вне интервала   [a, b]  f(x) ≡ 0.

Пример 1. Плотность распределения непрерывной случайной величины задана формулой

Найти: а) значение константы С;  б) вид функции распределения;  в) p(-1 < x < 1).

Решение. а) значение константы С найдем из свойства 4:

 откуда .

б)

в)

Билет №10.

Нормальное распределение случайной величины.(нет)

Нормальный закон распределения

            Определение. Нормальным называется распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью вероятности

Нормальный закон распределения также называется законом Гаусса.

            Нормальный закон распределения занимает центральное место в теории вероятностей. Это обусловлено тем, что этот закон проявляется во всех случаях, когда случайная величина является результатом действия большого числа различных факторов. К нормальному закону приближаются все остальные законы распределения.

Можно легко показать, что параметры  и , входящие в плотность распределения являются соответственно математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением случайной величины Х.

            Найдем функцию распределения F(x).

            График плотности нормального распределения называется нормальной кривой или кривой Гаусса.

            Нормальная кривая обладает следующими свойствами:

            1) Функция определена на всей числовой оси.

            2) При всех х функция распределения принимает только положительные значения.

            3) Ось ОХ является горизонтальной асимптотой графика плотности вероятности, т.к. при неограниченном возрастании по абсолютной величине аргумента х, значение функции стремится к нулю.

            4) Найдем экстремум функции.

            Т.к. при y’ > 0 при x < m и y’ < 0 при x > m , то в точке х = т функция имеет максимум, равный .

            5) Функция является симметричной относительно прямой х = а, т.к. разность

(х – а)  входит в функцию плотности распределения в квадрате.

            6) Для нахождения точек перегиба графика найдем вторую производную функции плотности.

            При x = m + s и x = m - s вторая производная равна нулю, а при переходе через эти точки меняет знак, т.е. в этих точках функция имеет перегиб.

            В этих точках значение функции равно .

            Построим график функции плотности распределения.

            Построены графики при т =0 и трех возможных значениях среднего квадратичного отклонения s = 1, s = 2 и s = 7. Как видно, при увеличении значения среднего квадратичного отклонения график становится более пологим, а максимальное значение уменьшается..

            Если а > 0, то график сместится в положительном направлении, если а < 0 – в отрицательном.

            При а = 0 и s = 1 кривая называется нормированной. Уравнение нормированной кривой: