157407 (Поиски новой философии математики), страница 2

Возможны два представления того, что было сделано в философии математики за последнее время. Подлинные события в философии отнюдь не всегда связаны с большими книгами или монументальными проектами. Примером тому может служить ситуация в теории познания, когда статья Э.Гетье объемом лишь в несколько страниц [12] несколько десятков лет назад вызвала шквал публикаций и в значительной степени изменила тематику дискуссий. В философии математики аналогичную роль сыграли две статьи П.Бенацеррафа, которые практически определили направление развития в этой области. Примечательно, что одна статья подняла проблему эпистемологического статуса математических утверждений, а вторая - подняла проблему онтологического статуса математических объектов. Примечательно и то, что обе проблемы заключаются в вызове доминирующей среди работающих математиков философии - платонизму. Исследования последних лет в философии математики были посвящены попыткам ответить на этот вызов. Именно этому кругу вопросов и посвящена данная книга. Фактически, это свод того, что происходило в философии математики в последние два с лишним десятка лет.

Одно из упомянутых выше представлений связано с попыткой увязать новые исследования с традиционными направлениями - логицизмом, формализмом и интуиционизмом, т.е. представить новые направления как реакцию на традиционные. Другое связано непосредственно с эпистемологической тенденцией, вызванной к жизни постановкой двух дилемм П. Бенацеррафом в его работах “Чем могут быть числа” (“What numbers could not be”) и “Математическая истина” (“Mathematical truth”) [13].

Надо отдавать себе отчет в том, что такая попытка заранее обречена на частичный провал. Важнейшим отличием описания того, что собой представляет нынешняя философия математики по сравнению с классической, является почти полная бесполезность устойчивой классификации. В этом отношении ситуация в философии математики похожа на ситуацию в аналитической философии вообще. Дж.Пассмор выразил свое ощущение этой ситуации такими словами: “Буйное, плохо вмещающееся в какие-либо рамки, невероятно разнообразное в целях и методах - можно ли надеяться описать, хоть и кратко, но в то же время с достаточным охватом англо-американское философское предприятие? Ответ на этот вопрос - невозможно. Столь много философов творят в наше время, столь много проблем поднято ими, и поэтому полнота больше не представляется разумной амбицией. Более скромное название моей книги, скажем “Некоторые последние философские споры, слишком кратко описанные”, было бы более подходящим названием в современном стиле” [14].

Прекрасной иллюстрацией тех трудностей, которые возникают перед желающим дать четкую классификацию направлений и концепций современной философии математики, является понимание самого основного термина - “реализм”. М.Шапиро дает такую сводку: «Реалист говорит, что “числа существуют”. Антиреалист говорит: “числа не существуют”. Тут страсти нешуточные. Оппонентов часто называют “теологами”, “скептиками” - весьма оскорбительные слова на современном жаргоне. Является хочу понять эти направления как рабочие программы. Реализм может иметь много смыслов. Один - что математические объекты существуют независимо от математиков. Это реализм в онтологии. Другой - что утверждения различных областей математики имеют объективные бивалентные истинностные значения независимо от конвенций, языка и правил математиков и основная часть утверждений компетентных математиков истинна. Это - реализм в истинностных значениях. Нет общего согласия относительно соотношения этих двух видов реализма. Мэдди и Гедель - реалисты в обоих смыслах. Даммит - антиреалист в обоих смыслах. Хелман и Чихара - антиреалисты в онтологии и реалисты в истинностных значениях. Единственный человек - реалист в онтологии и антиреалист в истинностных значениях - это Теннант» [15].

Важность именно эпистемологических рассмотрений хорошо видна из следующего описания ситуации У.Хартом: “Во времена заката чувственных данных и аналитичности эпистемология утратила место центра посткритической философии и вообще современной философии. С подъемом семантики и возрождением онтологии эпистемология находится в закате. Фреге ниспровергнут. Сейчас публика считает более близкими древних, нежели современников. Но все-таки эпистемология заслуживает места в Республике Философия. Причина этого такова: некоторые из глубочайших проблем философии состоят в примирении естественных, но несовместимых онтологий. Нигде такой конфликт не является столь старым, как в философии математики. Платон героически пытался найти правдоподобную эпистемологию для своей теории форм. Платонизм правдоподобен, когда вы мыслите о математической истине, но становится невозможным, когда речь идет о математическом познании. Так что стоит переосмыслить основные проблемы теории познания, коль скоро причинность, холизм и натурализованная эпистемология заняли место чувственных данных и аналитичности. Нашим интеллектуальным долгом является прогресс не просто в математической логике, но и в эпистемологии” [16].

Последняя четверть ХХ в. прошла в поисках согласия по поводу того, в чем состоит ответ на теоретико-познавательную дилемму, поставленную в работе П.Бенацеррафа “Математическая истина”. Дилемма формулируется следующим образом: если математика представляет собой исследование объективных идеальных сущностей и если когнитивные способности человека позволяют ему познавать только чувственные объекты, то как он может познавать математические объекты? Апелляция к познанию чувственных объектов предполагает совершенно определенную концепцию познания - так называемую причинную теорию познания. Можно возразить, что это не единственная теория, и тогда дилемма теряет смысл. Однако можно переформулировать дилемму таким образом, что она не будет опираться на специфическую теорию познания (Филд и Мэдди). Дилемма ставит перед нами выбор: либо отрицать, что математика говорит о числах, либо предполагать некоторые неестественные способности человека в отношении сбора информации. Поскольку обе возможности не выглядят привлекательными, предпринимались различные попытки разрешить дилемму. В частности, есть согласие по поводу того, что можно провести “онтологическую разрядку”, при которой не надо будет жертвовать стандартной математикой.

Конечно, очень важно, какого рода будет “онтологический ремонт”. Именно тут начинаются разногласия, которые, тем не менее, преодолеваются при нахождении некоторого консенсуса. Каковы здесь альтернативы? С.Шапиро и М.Резник полагают, что математика говорит не о специфических математических объектах, а о структурах. Ф.Китчер делает упор на актах объединения в множества. Ч.Чихара прибегает при объяснении математических сущностей не к теории множеств, а к теории типов, рассматривая сущности как открытые предложения. Дж.Хеллман и Х.Филд используют для объяснения математических сущностей модальную логику, полагая эти сущности скорее возможностями, нежели актуальностями. Важнейшим обстоятельством при этом является то, что в основе всех подходов лежит апелляция к перцептуальному опыту, понимаемому в самом широком смысле слова. Наиболее характерны в этом отношении работы П.Мэдди. Она считает, что предполагаемые платонистские сущности могут быть доступны обычному восприятию.

Важным исключением из этого общего консенсуса является философия номиналиста Х.Филда, который полагает, что математических объектов не существует, что стандартная математика ложна, но при этом он стремится сохранить математическую практику. Для этого он снабжает физическую реальность значительной математической структурой и описывает физические версии анализа и топологии. Математические утверждения типа континуум-гипотезы оказываются утверждениями об областях пространства и времени. Но опять-таки эпистемический доступ к этим областям оказывается перцептуальным. И в этом смысле Филд принадлежит к общему консенсусу.

Теперь рассмотрим радикальный тезис о том, что философия не имеет отношения к математике. С этой точки зрения математика живет своей собственной жизнью независимо от каких-либо философских рассмотрений. Взгляды относительно статуса математических объектов или утверждений ничего не вносят в математику и являются худшей софистикой, бормотаньем и вмешательством посторонних. Надо признать, что большинство математиков вообще не интересуются философией, или онтологией, или семантикой. Ну а те математики, которые исповедуют философию, часто входят в противоречие со своей собственной практикой (Херш как-то заметил, что работающий математик всю неделю сознает себя формалистом, и лишь по воскресеньям - платонистом).

В этом отношении близким взглядом является натурализм, характеризуемый Куайном как “отказ от первой философии” и “осознание того, что только в рамках самой науки должна описываться и идентифицироваться реальность”. Мэдди применяет натурализм к математике, также утверждая, что математика должна быть изолирована от традиционных философских исследований. Ну и все проблемы в математике должны решаться математиками как математиками. Как быть с такой радикальной точкой зрения?

Известно, что многие знаменитые математики были философами. Так, Гедель утверждал, что его реализм был важным фактором открытия полноты первопорядковой логики и неполноты арифметики. Например, теорема полноты есть следствие некоторых результатов Сколема. Но Сколем не сделал этого шага. Почему? Потому что оба они имели различные ориентации в онтологии. Но это лишь немногие счастливые примеры среди моря примеров отрицательного отношения математиков к философии.

Херш продолжает атаковать философию математики еще более яростно, настаивая на том, что даже подразумеваемая философия работающего математика, а именно платонизм, ущербна в самой основе. Характерным подтверждением такой позиции является следующее его высказывание: “Проблема состоит в том, что Платонизм оставил Бога, но продолжает считать Математику мыслями Бога”. Херш полагает, что “традиционная философия осознает только передовой фронт математики. Но нельзя понять передовой фронт без того, чтобы понять ее фон. Внутренний участник событий мог бы: 1) помочь лучшему пониманию мешанины в математике и сформулировать проблемы под правильным углом зрения с учетом контекста, с новой возможностью решить их; 2) показать, что нет нужды философствовать по поводу математики, ища скрытый смысл в ней; 3) дать философский ответ на то, что есть математика. Однако пролегомены (1) не должны быть терапевтическими по отношению к (2) и не должны делать позитивного вклада в (3). Херш сам предпочитает занимается в основном (3). Внутренний участник может дать ответ на (1), но вряд ли на (2) и (3). Большая часть внутренних участников являются повседневными платонистами, а по выходным - формалистами, что вносит философскую путаницу.

Большинство внутренних участников (от Декарта до Гильберта) были осведомлены о “задворках” математики, но их, в отличие от Херша, интересовал вопрос не о том, что такое математика, а о том, как мы объясняем объективность математических вер и надежность математического размышления. Социальный характер математики является тривиальным обстоятельством, свойственным всему человеческому знанию.

В подобного рода рассмотрениях важное место занимает позиция работающего математика, или, более фундаментально, математическая практика. Любое обсуждение философии науки требует обращения к научной практике. Но для философских целей понятие практики часто принимает нужную форму в угоду философским предпочтениям. Поэтому желательно заранее сформулировать, что представляет собой научная практика, или, более точно, какова структура научной практики, которая является предметом философского анализа.

В случае математики суть практики отнюдь не сводится к доказательству, хотя традиционно считалось, что математик доказывает истины. Само понятие доказательства представляет собой цепь аргументов, значимость которых варьировалась в зависимости от той же самой математической практики. Научная практика имеет много компонентов: язык, теоретические принципы, примеры теоретической и экспериментальной работы, принятые методы размышления, техника разрешения проблем, оценка важности вопросов, метанаучные взгляды на природу научного поиска. Ф.Китчер рассматривает математическую практику как предприятие, включающее в себя пять компонентов: язык, множество принятых предложений, множество принятых способов рассуждения, множество принятых в качестве важных вопросов и множество метаматематических взглядов (стандарты доказательства и определения, а также утверждения о сфере и структуре математики) [17].

Таким образом, традиционные взгляды на философию математики претерпевают значительное изменение. Среди хаоса мнений и предположений о том, в какой степени математика связана с философией, следует найти какой-то порядок, который смог бы дать точку опоры в будущей философии математики, если ей суждено выжить. На мой взгляд, таковой является эпистемологическая ориентация на вопросы математического познания, а не на традиционные вопросы о природе математических объектов и математической истины.

Список литературы

1. Mostowski A. Thirty years of foundational studies // Acta Filosophica Fennica, 1963.

2. Putnam H. Philosophy of mathematics - why nothing works? // Putnam H. Words and life. - Harvard UP. - P. 499-512.

3. См.: Проблемно-ориентированный подход к науке: новая философия математики / Под ред. В.В.Целищева. - Новосибирск: Наука, 2001.

4. Hersh R. A fresh winds in the philosophy of mathematics // Amer. Math. Monthly. - 1995. - Aug.-Sept. - P. 590-591.

5. Хао Ван. Процесс и существование // Математическая логика и ее применение. - М., 1965.

6. См.: Putnam H. Philosophy of mathematics…

7. www.math.psu.edu/simpson/fom/posting/006/msg00142.html