151042 (Уравнения и характеристики распространения волн реального электромагнитного поля)

УРАВНЕНИЯ И ХАРАКТЕРИСТИКИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ВОЛН РЕАЛЬНОГО ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ

В.В. Сидоренков

МГТУ им. Н.Э. Баумана

Обсуждаются уравнения, структура и параметры реального электромагнитного поля состоящего из функционально связанных между собой четырех полевых векторных компонент: электрической и магнитной напряженностей, электрического и магнитного векторного потенциала, перемещающихся в пространстве совместно посредством единого волнового процесса.

Считается, что все известные явления электромагнетизма обусловлены существованием и взаимодействием с материальными средами электромагнитного (ЭМ) поля, имеющего две векторные компоненты электрической и магнитной напряженности. При этом свойства этого поля физически полно и математически исчерпывающе описываются системой взаимосвязанных электродинамических уравнений, первоначальная форма и структура которых была сформулирована Максвеллом [1]. К сожалению, Максвелл ушел из жизни рано (в 48 лет), и свои гениальные уравнения он так и не успел привести в единую логическую систему. Поэтому при жизни его электродинамическая теория ЭМ поля не нашла должного признания в научной среде, более того, у большинства коллег отношение к ней было весьма оппозиционным, вплоть до полного неприятия: она считалась непонятной, математически нестрогой и логически необоснованной. Как отголоски прошлого и сегодня можно услышать разговоры о некоем примитивном «механическом» методе построения Максвеллом своих уравнений, хотя в явном виде в его главной работе [1] этого нет. Без преувеличения можно сказать, что для физика, инженера и преподавателя «Трактат об электричестве и магнетизме» Максвелла является бесценным информационным и методическим пособием, библией электромагнетизма, а для пытливого студента еще и физическими основами математического анализа.

Впоследствии, после триумфа теории Максвелла - открытия ЭМ волн (Герц, 1888 г.), первоначальная структура максвелловских уравнений была модернизирована Герцем, Хевисайдом и Эйнштейном, где новации заключались по существу лишь в уменьшении числа основных исходных уравнений. Но если говорить о положительном эффекте такой модификации, то их неоценимая заслуга состояла в методической и математической проработке этой теории. Предложенные «альтернативные» уравнения стали концептуально обозримы, логически более последовательны, имели удобный векторный вид и в определенной мере законченную форму, а в результате теория Максвелла приняла прозрачный в восприятии и современный при ее использовании вид.

В современном окончательном виде именно эту модернизированную систему уравнений:

(a) , (b) , (1)

(c) , (d)

после ряда промежуточных названий и стали называть уравнениями Максвелла классической электродинамики [2]. Здесь – постоянная времени релаксации электрического заряда в среде за счет ее электропроводности.

Но в своем развитии научная мысль динамична, и вскоре наступило время возникновения, становления и бурного развития теории микромира, а потому основной научный интерес физиков был перенесен в эту новую, модную область изучения загадок Природы. В итоге после работ Максвелла развитием классической электродинамики физики по существу не занимались, но она перешла в руки инженеров, задача которых принципиально иная. Ведь психологически по образованию профессиональные интересы инженера не направлены на развитие физической науки, его цель – внедрение достижений этой науки в новых конкретных устройствах и разработка различных ее технических применений. По этой причине, несмотря на грандиозный технический прогресс, уже многие десятилетия классическая электродинамика и родственные ей науки находятся в концептуальном застое. Как бы тому иллюстрацией сегодня повсеместно с помпой категорически утверждается, что данная область физического знания наиболее полно разработана во всех ее аспектах и ее современный уровень является вершиной человеческого гения.

В этой связи попытаемся критически, но по возможности конструктивно проанализировать базовые основы классической электродинамики, которыми, по словам Герца, являются именно уравнения Максвелла. Как видим, эти уравнения рассматривают области пространства, где присутствует ЭМ поле, структурно реализуемое, согласно уравнениям (1а) и (1c), посредством динамически связанных между собой двух векторных взаимно ортогональных полевых компонент: электрической и магнитной напряженности. Следующее уравнение (1b) описывает результат явления электрической поляризации в виде отклика материальной среды на наличие в данной точке стороннего электрического заряда ( – объемная плотность стороннего заряда) либо на воздействие на среду внешнего электрического поля ( ). Соответственно, уравнение (1d) характеризует магнитную поляризацию.

Важнейшим фундаментальным следствием уравнений Максвелла служит тот факт, что компоненты ЭМ поля и распространяются в пространстве в виде электродинамических волн. Например, из (1а) и (1c) получим волновое уравнение для поля электрической напряженности :

.

Аналогично можно получить волновое уравнение для магнитной напряженности . Видно, что скорость распространения этих волн определяется только электрическими и магнитными параметрами пространства среды: , и , в частности, в отсутствие поглощения ( ) скорость .

С целью ответа на вопрос, какие это волны, и что они переносят, обратимся к закону сохранения энергии, аналитическая формулировка которого непосредственно следует из уравнений Максвелла (1) в виде так называемой теоремы Пойнтинга:

. (2)

Согласно (2), поступающий извне поток ЭМ энергии, определяемый вектором Пойнтинга , идет на компенсацию в данной точке среды джоулевых (тепловых) потерь в процессе электропроводности и на изменение электрической и магнитной энергий, либо наоборот, указанные процессы вызывают излучение наружу потока ЭМ энергии. При этом реализующий энергетику данного процесса вектор Пойнтинга плотности потока ЭМ энергии , связанный с вектором объемной плотности ЭМ импульса , отличен от нуля только там, где одновременно присутствуют электрическая и магнитная компоненты ЭМ поля, векторы и которых неколлинеарны.

Обсудим характеристики распространения ЭМ поля в виде плоской линейно поляризованной волны в однородной изотропной материальной среде. С точки зрения большей общности при анализе характеристик распространения указанного поля обычно значительно удобней использовать не волновые уравнения, а напрямую – сами уравнения системы (1), являющиеся по сути дела первичными уравнениями ЭМ волны. Для этого рассмотрим пакет указанной волны, распространяющийся вдоль оси x с компонентами и , которые представим комплексными спектральными интегралами:

и ,

где и – комплексные амплитуды. Подставляя их в уравнения Максвелла (1a) и (1c), приходим к соотношениям и . В итоге получаем для уравнений системы (1) выражение: .

В конкретном случае среды идеального диэлектрика ( ) с учетом формулы из следует обычное дисперсионное соотношение [2], описывающее однородные плоские волны ЭМ поля. При этом связь комплексных амплитуд в волновых решениях системы уравнений (1) представится в виде , а сами решения описывают волну, полевые компоненты и которой синфазно ( ) распространяются в пространстве.

Поскольку суть электромагнетизма – это взаимодействие ЭМ поля с материальной средой, то его анализ обычно сводится к стремлению описать энергетику ЭМ явлений. Обратимся и мы к соотношению энергетического баланса (2), которое для среды идеального диэлектрика запишется в виде:

. (3)

Для анализа нам вполне достаточно рассмотреть, как выполняется выражение (3) для плоской монохроматической ЭМ волны, полевые компоненты которой, согласно волновым решениям уравнений Максвелла, в свободном пространстве без потерь при распространении совершают синфазные колебания: и . Подставляя эти выражения в соотношение (3), окончательно получаем:

. (4)

Здесь весьма странно то, что, согласно , равные по величине электрическая и магнитная энергии хотя и распространяются совместно, но без видимой связи друг с другом. Кстати, в случае электро- и магнитостатики эти энергии в принципе раздельны и независимы. Таким образом, необходимо напрашивается вывод об объективности существования чисто электрической и магнитной энергий, при отсутствии каких-либо оснований считать, что распространение ЭМ волны реализуется посредством взаимной перекачки одной энергии в другую. Но тогда становится совершенно неясным, что же такое, казалось бы, очевидное для каждого понятие ЭМ энергии, а также каков реальный механизм волнового переноса всех этих видов энергии.

Итак, решение уравнений электродинамики Максвелла для ЭМ волны не отвечает обычным физическим представлениям о распространении энергии посредством волн в виде процесса взаимного преобразования во времени в данной точке пространства энергии одной компоненты поля в энергию другой его компоненты. Следовательно, электродинамические уравнения (1) описывают необычную, весьма странную волну, которую логично назвать псевдоволной, поскольку, с одной стороны, синфазные компоненты волны в принципе не способны переносить энергию, а с другой – перенос ЭМ энергии реально наблюдается, более того, это явление широко и всесторонне используется на практике, определяя многие аспекты жизни современного общества.

Таким образом, имеем парадокс, существующий, как это ни странно, уже более века. Поражает здесь то, что традиционная логика обсуждения переноса ЭМ энергии такова, что проблемы как бы и нет, всем все понятно. И действительно, из соотношения для амплитуд в волновых решениях уравнений системы (1) формально следует закон сохранения энергии , хотя, как установлено выше, синфазные волны энергетически несостоятельны. Правда, изредка делаются попытки аргументировано разобраться в этом вопросе, но эти объяснения (например, [3]), на наш взгляд, не выдерживают критики, поскольку обсуждаются не сами уравнения Максвелла или их прямые следствия, а то, что эти уравнения не учитывают характеристики реальных ЭМ излучателей или некую специфику взаимодействия материальной среды с ЭМ полем. По мнению авторов, это и создает сдвиг фазы колебаний между компонентами на , реализующий перенос ЭМ энергии.