86376 (Уравнения Максвелла для электростатики. Векторные операторы в различных системах координат)
Описание файла
Документ из архива "Уравнения Максвелла для электростатики. Векторные операторы в различных системах координат", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математика" из , которые можно найти в файловом архиве . Не смотря на прямую связь этого архива с , его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "остальное", в предмете "математика" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "86376"
Текст из документа "86376"
Уравнения Максвелла для электростатики. Векторные операторы в различных системах координат.
М.И. Векслер, Г.Г. Зегря
Уравнения Максвелла для электростатики имеют вид:
| | = | ρ | |
| | = | |
При этом
| | (4) |
В вакууме ε = 1, так что
| | (5) |
Потенциал φ считается равным нулю на бесконечности, если не оговорено иное.
Векторные операторы (grad, div, rot), фигурирующие в уравнениях Максвелла, по-разному записываются в различных системах координат:
| | = | | (6) |
| | (7) | ||
| | (8) |
| | = | | (9) |
| | (10) | ||
| | (11) |
| Δ φ | = | | (12) |
| | (13) | ||
| | (14) |
Для цилиндрической и сферической систем выписана лишь радиальная часть соответствующих операторов. Этого достаточно для решения задач, в которых электрические величины зависят только от r.
| | = | | (15) |
Задача. Электрическое поле зависит только от координаты x согласно формуле 
. Требуется вычислить распределение заряда ρ(x) и распределение потенциала φ(x). При нахождении φ(x) принять φ|x = 0 = 0.
Решение: Распределение заряда находится непосредственно из уравнения Максвелла:
| ρ | = | | |
| ρ | = | |
Для нахождения потенциала φ(x) необходимо интегрирование уравнения (4), причем с обоснованно взятыми пределами, а именно от точки x = x*, в которой φ(x*) = 0 до точки x, в которой ищется потенциал:
| |
В условии сказано, что φ(0) = 0 - это и диктует выбор нижнего предела:
| |
В качестве переменной интегрирования мы используем 
, чтобы избежать путаницы с x. Теперь мы проводим вычисление и приходим к окончательному ответу:
| φ(x) | = | | |
| = | |
Задача. В некоторой области распределение потенциала является цилиндрически-симметричным и подчиняется закону φ = α r5, где r - расстояние от оси. Найти Er(r) и ρ(r) для этой области.
Ответ: Er(r) = –5α r4, ρ(r) = –25ε0α r3
Задача. Потенциал внутри шара зависит от координаты r как φ(r) = ar2+b (a, b - константы). Найти ρ(r).
Решение Мы имеем дело со сферической системой и должны работать в ней. Ввиду симметрии, электрическое поле направлено от центра шара (или, вообще говоря, к нему - это зависит от знака a). Поле находим как градиент потенциала:
| |
После этого сразу записывается 
(у нас ε = 1):
| |
Далее используем уравнение Максвелла для нахождения заряда:
| |
Задача. В цилиндрической системе имеется электрическое поле 
, α>0. Выяснить, какому распределению заряда ρ(r) и какому потенциалу φ(r) такое поле соответствует.
Ответ: ρ(r) = Aε0exp(–α r)(2–α r), 
Задача. Проверить, выполняется ли критерий потенциальности (
) для поля 
и для поля 
.
Ответ: Для первого поля - да, для второго - нет.
Список литературы
1. И.Е. Иродов, Задачи по общей физике, 3-е изд., М.: Издательство БИНОМ, 1998. - 448 с.; или 2-е изд., М.: Наука, 1988. - 416 с.
2. В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин, Сборник задач по электродинамике (под ред. М.М. Бредова), 2-е изд., М.: Наука, 1970. - 503 с.
3. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, Теоретическая физика. т.8 Электродинамика сплошных сред, 2-е изд., М.: Наука, 1992. - 661 с.
Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://edu.ioffe.ru/r
