85393 (Гравитационное поле точечной массы и шара)

Гравитационное поле точечной массы и шара

В. В. Орлёнок, доктор геолого-минералогических наук

Нахождение аномалий силы тяжести, создаваемых телами известной формы, составляет прямую задачу гравиметрии. В основе аналитического способа решения прямой задачи лежит известный закон всемирного тяготения Ньютона, согласно которому притяжение единичной массы (весом 1 г) элементарной массой равно

. (V.4)

Положим, что точка с массой dm находится на расстоянии r от пункта наблюдения и на глубине h от поверхности Земли (рис. 26). Потенциал точки будет

, (V.5)

где , т.е.

. (V.6)

Из определения силы тяжести (см. гл. 4, 3) ее вертикальная и горизонтальная составляющие определяются как первая и вторая производные по h и x:

; (V.7)

. (V.8)

; (V.9)

. (V.10)

Максимальное и минимальное значение g принимает при x = 0 и x = :

. (V.11)

. (V.12)

Графики функций g и Vxz приведены на рис. 26.

Притяжение шара. Многие геологические тела в земной коре могут быть аппроксимированы шаром (купола, дайки, подводные холмы и т.д.). Предположим, что шар массой М залегает на глубине h и на расстоянии r от точки наблюдения, расположенной на поверхности земли (рис. 27). Будем считать шар однородным по плотности. Поместим его под центром системы координат xoz (y = 0). Притяжение шара эквивалентно притяжению точки, помещенной в центр шара. Поэтому можно воспользоваться формулой, полученной для элементарной массы (V.9):

. (V.13)

Аналогично имеем для второй производной потенциала силы тяжести Vxz:

. (V.14)

В плане гравитирующим массам, имеющим форму, близкую к шару, соответствуют изометрические аномалии, максимум которых располагается над центром тяжести шара (рис. 27).

Таким образом, над центром шара вертикальная составляющая силы тяжести g имеет максимум, горизонтальная составляющая Vxz – минимум. С удалением от шара кривые g и Vxz асимметрически приближаются к оси x (рис.27).

Список литературы

Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://elib.albertina.ru