85361 (Метод изображений в электростатике), страница 2

Рассмотрим незаряженную металлическую изолированную сферу и заряд +q, расположенный на расстоянии d от ее центра. Какая сила действует на заряд? Cфера останется незаряженной. Произойдет лишь перераспределение зарядов по поверхности сферы, связанное с взаимодействием с зарядом +q. Ближняя к заряду часть сферы приобретет отрицательный заряд, а дальняя - положительный, так как электроны притянутся к заряду (рис. 8).

Рис. 8

Чтобы решить задачу, кроме заряда q, расположенного от центра сферы на расстоянии R2/d , в центре сферы надо расположить еще один заряд q (рис. 9).

Рис. 9

Появление в центре сферы заряда q не меняет ее эквипотенциальности. Потенциал любой точки сферы создается теперь уже тремя зарядами - q, q и q. Суммарный потенциал, создаваемый зарядами q и q на поверхности сферы равен нулю, следовательно потенциал любой точки сферы определяется только зарядом q. Он равен  = kq/R . Если сфера изолирована, то заряд q определится из условия

q +q = 0, q =

R d

q = -q.

Поля и потенциалы вне сферы определяются по принципу суперпозиции как результат наложения полей всех трех зарядов. Сила, действующая на заряд +q определится следующим образом

F = k

q|q|    d- R2 d    2

- k

qq d2

.

Если теперь вместо изолированной сферы и заряда q мы будем рассматривать тот же заряд и сферу, имеющую либо заряд Q, либо потенциал , то, используя метод изображений, получим систему точечных зарядов: заряд q, расположенный на расстоянии d от центра сферы, заряд-изображение q, расположенный на расстоянии R2/d от центра сферы, и заряд-изображение q, расположенный в центре сферы. Величина q определится из условия, что потенциал сферы должен быть равен

 = k

q R

.

Если мы знаем заряд сферы Q, то q = Q. Если же нам известен ее потенциал , то q = R/k.

Точечный заряд вблизи границы раздела двух диэлектриков

Пусть точечный заряд +q находится на расстоянии а от плоской границы двух бесконечно протяженных однородных диэлектриков с проницаемостями 1 и 2 (рис. 10).

Рис. 10

Определим силу, действующую на заряд, и потенциал электрического поля методом изображений.

Допустим, что заряд-изображение имеет величину q и расположен на расстоянии a снизу от поверхности МN, разделяющей диэлектрики (рис. 11), так как именно там будет находиться изображение светящейся точки q в плоском зеркале MN.

Рис. 11

Величину заряда-изображения можно найти из граничных условий для нормальной (перпендикулярной границе) и тангенциальной (параллельной границе) составляющих вектора напряженности электростатического поля. На границе раздела двух диэлектрических сред нормальная составляющая поля подчиняется условию 1En1 = 2En2 , где En1 и En2 - нормальные составляющие поля в диэлектриках с проницаемостями 1 и 2, соответственно. Тангенциальная составляющая поля при переходе из среды с диэлектрического проницаемостью 1 в среду с диэлектрической проницаемостью 2 остается неизменной, то есть E1 = E2. Подробнее о граничных условиях на границе раздела двух сред поговорим в конце задачи.

Найдем нормальную и тангенциальную составляющие вектора напряженности электрического поля в точке А, расположенной на границе раздела диэлектриков,

En1 = E1 cos 1, En2 = E2 cos 2,

E1 = E1 sin 1, E2 = E2 sin 2,

где 1 и 2 - углы, которые составляют вектора напряженности в первой и во второй средах соответственно. Отсюда легко получить соотношение tg 1/tg 2 = 1/2, которое потребуется нам в дальнейшем.

Если бы не было среды с проницаемостью 2, то в точке A напряженность поля была бы равна E1 и ее создавал бы один заряд +q. Но поскольку вторая среда присутствует, то напряженность поля равна вектору E2 и составляет с перпендикуляром угол 2. Если дело происходит в вакууме, то это возможно в случае, когда в точке B находится заряд q, создающий в точке A поле, напряженность которого обозначим E. Ясно, что E удовлетворяет равенству

 E1

+

 E

=

 E2

.

Анализ граничных условий приводит к выводу: если 1 > 2, то 1 > 2, и в точке B должен находиться отрицательный заряд (рис. 12);

Рис. 12

если же 1 < 2, то 1 < 2 и в точку B должен быть помещен положительный заряд (рис. 13).

Рис. 13

Разберем случай 1 > 2. Спроецировав левую и правую части уравнения

 E1

+

 E

=

 E2

на горизонтальное и вертикальное направления, получим

E1 sin 1-E sin 1 = E2 sin 2 и E1 cos 1-E cos 1 = E2 cos 2.

Используя граничные условия и поделив первое уравнение на второе, имеем

E 1-E E1+E

=

tg2 tg1

=

2 1

.

Модуль вектора напряженности поля, которое создает в точке A заряд +q определяется его величиной и расстоянием r до точки A: E1 = kq/r. Заряд q в точке A создает поле, модуль вектора напряженности которого E = k|q|/r. Тогда для определения величины заряда q имеем уравнение

q -|q| q+|q|

=

2 1

.

Отсюда определяем модуль заряда q

| q| = q

1-2 1+2

.

Сила взаимодействия зарядов определяется по закону Кулона

F = k

q|q| (2a)2

= k

q2 4a2

1-2 1+2

.

Потенциал произвольной точки C, расстояние от которой до точки, в которой находится заряд +q, равно r1, а до точки В, в которой находится заряд q, равно r2, легко определить по принципу суперпозиции полей. Если точка С находится в среде с проницаемостью 1, то по ее потенциал q определяется равенством

 =

q 1r1

+

(1-2)·q 1(1+2)·r2

;

если же точка C находится в диэлектрике с проницаемостью 2, то

 =

r·q (1+2)·r1

.

Случай, когда в точке B находится положительный заряд-изображение q, рассчитывается аналогично; для величины q получим выражение

q  =

2-1 1+2

q r1

.

Если диэлектрическая проницаемость первой среды больше, чем второй, то заряд отталкивается от границы диэлектриков, при обратном соотношении - притягивается. Заряд, находившийся вначале в среде с большей проницаемостью, отталкиваясь от границы, стремится уйти в бесконечность. Заряд, вначале находившийся в среде с меньшей проницаемостью, притягивается к границе, пересекает ее, а затем, находясь уже в другой среде отталкивается от границы, стремясь уйти в бесконечность. Естественно, все сказанное справедливо только в том случае, если можно пренебречь силой трения, действующей на заряд со стороны среды.

И в заключение этой задачи поговорим о граничных условиях на границе раздела двух сред. Начнем с рассмотрения диэлектрических сред. Пусть мы имеем плоскую границу двух однородных диэлектриков с различными проницаемостями 1 и 2. Обозначим через

 E1

и

 E2

напряженности электрического поля в первой и во второй средах соответственно. Разложим векторы

 E1

и

 E2

на две составляющие - нормальную En1 и En2 и тангенциальную E1 и E2.

Рис. 14

Выясним теперь, как связаны тангенциальные составляющие поля при переходе из одной среды в другую. Выберем любые две пары точек, расположенных очень близко к друг к другу и разделенных поверхностью (рис. 14). Пара точек A1 и B1 находится в первом диэлектрике, а пара точек A2 и B2 находится во втором диэлектрике. Если тангенциальные составляющие полей в разных диэлектриках будут различными, то работы поля при перемещении какого-либо заряда вдоль линий A1B1 и A2B2 будут различными. Будем приближать точки A1 и A2, B1 и B2 друг к другу, в конце концов мы получим две бесконечно близких линии A1B1 и A2B2. Поскольку электрическое поле потенциально, то работа по перемещению заряда между какими-либо точками не зависит от траектории. У нас же получается, что работа поля по перенесению заряда по двум бесконечно близким отрезкам A1B1 и A2B2 различна. Следовательно наше допущение о неравенстве тангенциальных составляющих поля не верно, так как ведет к нарушению потенциальности поля.

Таким образом, на границе раздела двух диэлектриков тангенциальные составляющие поля в разных средах одинаковы или непрерывны, то есть E1 = E2.

Рис. 15

Получим граничные условия для нормальных составляющих поля. Для этого выделим на поверхности прямоугольник S столь малый, что поля в диэлектриках с проницаемостями 1 и 2 на его площади не меняются. Построим на нем параллелепипед высоты 2L (рис. 15). Величина L должна быть достаточно малой, чтобы электрическое поле на протяжении отрезка L оставалось постоянным. Определим поток  поля через поверхность прямоугольного параллелепипеда. Потоки через боковые грани поверхности равны нулю, так как для них углы между напряженностью поля и нормалями (перпендикулярами) к поверхности равны 90. Таким образом остается только посчитать потоки через верхнюю и нижнюю грани параллелепипеда. Поскольку верхняя грань находится в среде с проницаемостью 1, а нижняя - в среде с проницаемостью 2, суммарный поток через них определится следующим образом

 = ниж+верх = 1 En1S-2 En2S.