85361 (Метод изображений в электростатике)

Метод изображений в электростатике

О. В. Инишева

Bведение

Задачи о нахождении электрического поля системы нескольких точечных зарядов или системы зарядов, равномерно распределенным по каким-либо поверхностям, решаются в электростатике без особых сложностей. В самой худшей ситуации от Вас потребуется знание формулы Гаусса и, может быть, умение интегрировать. Решение этих задач существенно облегчено тем, что мы заранее знаем величины зарядов и то, как они распределены в пространстве.

Гораздо хуже дело обстоит в том случае, если мы имеем систему заданных точечных зарядов и каких-либо проводящих или диэлектрических поверхностей, расположенных вблизи них. Предположим, что мы хотим найти электрическое поле в такой задаче. Система зарядов вызовет перераспределение зарядов на поверхностях, в результате мы получим индуцированные заряды на поверхностях. Очевидно, что индуцированные заряды будут распределены по поверхностям неравномерно, особенно большая плотность заряда будет в тех точках поверхностей, которые расположены ближе всего к зарядам. Но как именно заряды распределены по поверхностям? Подобные задачи, как правило, не могут быть решены без использования численных методов, и такие расчеты проводят обычно на компьютерах.

Но есть достаточно большое количество частных случаев, в которых можно обойтись без использования вычислительной техники. Одним из методов решения таких задач является метод изображений, который заключается в сведении исходной задачи, в которой рассматриваются заряды и граничные поверхности, к задаче, в которой есть те же заряды и добавочные (фиктивные) заряды-изображения в безграничной среде. Эти заряды-изображения помещаются вне той области, в которой определяется поле. Правила построения зарядов-изображений полностью аналогичны тем, по которым строятся изображения точечных источников в оптике в системе зеркал. Зеркала имеют ту же форму, что и граничные поверхности. Величины зарядов-изображений определяются граничными условиями на поверхностях, а также требованиями одинаковости поля, создаваемого реальной системой зарядов и поверхностей, и системой, составленной из действительных зарядов и фиктивных зарядов-изображений в пространстве вблизи действительных зарядов.

В этой статье мы рассмотрим примеры использований метода изображений в электростатике.

Точечный заряд и проводящая плоскость

Пусть точечный заряд +q находится на расстоянии a от бесконечной проводящей, например, металлической плоскости с нулевым потенциалом (рис. 1). Какая сила действует на него?

Рис. 1

По индукции заряд +q будет наводить заряд противоположного знака на поверхности. Откуда возьмутся заряды, создающие у поверхности отрицательный заряд? Это свободные заряды (в металлах - электроны), притянутые положительным зарядом с каких-то далеких областей плоскости, либо, пришедшие из земли, если поверхность заземлена. Суммарный индуцированный заряд равен -q и будет каким-то образом распределен по поверхности. Но как именно? Ответить на этот вопрос мы пока можем лишь качественно - примерно так, как это делалось во введении.

На точечный заряд +q cо стороны поверхности действует сила притяжения к поверхности (так как наведенные заряды отрицательны). Величина силы притяжения не равна kq2/a2, поскольку отрицательный заряд не сосредоточен в одной точке, а распределен по плоскости. Поэтому значение силы меньше, чем величина kq2/a2. Здесь k - коэффициент пропорциональности, зависящий от выбора системы единиц измерений физических величин, в СИ k = 9·109 Н м2/Кл2.

Попытаемся нарисовать картину силовых линий электростатического поля заряда +q и поверхности с наведенным на ней зарядом -q. Поверхность проводника эквипотенциальна, что означает, что все точки этой поверхности имеют равный потенциал (в нашем случае потенциал поверхности равен нулю). Силовые линии поля перпендикулярны поверхности (cоставляющая электрического поля, параллельная поверхности, вызовет движение зарядов в проводнике, которое прекратится лишь тогда, когда эта составляющая поля в проводнике будет полностью скомпенсирована полем, создаваемым индуцированными зарядами). Вблизи точечного заряда картина силовых линий близка к той, которую мы имеем для одиночного заряда. Силовые линии начинаются на заряде +q, поскольку он положительный. Таким образом имеем картину силовых линий, которая изображена на рис. 2.

Рис. 2

Здесь пунктирными линиями изображены эквипотенциальные поверхности, они перпендикулярны силовым линиям в точке пересечения.

А теперь давайте вспомним и изобразим картину силовых линий двух одинаковых по величине и противоположных по знаку точечных зарядов, расположенных на расстоянии 2а (рис. 3).

Рис. 3

Закройте нижнюю половину рис. 3 и сравните ее с рис. 2. Не правда ли, очень похоже! К тому же в случае двух точечных зарядов одна из эквипотенциальных поверхностей - плоскость, перпендикулярная отрезку, соединяющему заряды и делящая его пополам, то есть она расположена там же, где металлическая плоскость. Потенциал любой точки этой плоскости равен нулю. В обоих случаях поле вблизи заряда +q одно и то же. А поскольку поле одно и то же, то и силы, действующие на заряд +q в обоих случаях одинаковы. Таким образом, искомая сила равна F = k q2 / 4a2.

Задача решена, сила определена. Но ведь мы схитрили! Мы не решали задачу о заряде и поверхности, а мы решили другую задачу - о двух точечных зарядах, подобрав величину и положение заряда -q, который является зарядом-изображением, таким образом, чтобы поле в области между зарядом +q и поверхностью в обеих задачах было одинаковым.

Вернемся теперь к рис. 2 и 3 и предположим, что все полупространство ниже проводящей плоскости занято проводником. В области вне проводника, где находится заряд +q ничего не изменилось, электростатическое поле там осталось таким же, что и раньше. Причем здесь поле заряда +q и проводника совпадает с полем системы заряда +q и заряда-изображения -q. А в той области пространства, где находится проводник в том случае, если мы рассматриваем задачу со сплошным проводником и зарядом, поле равно нулю, а в задаче с зарядом и его изображением поле нулю не равно. Но нас интересует только та область, где поля совпадают, так как мы хотим поле определить именно там. Предположим теперь, что мы изготовили очень тонкую поверхность из металла так, что ее форма в точности совпадает с формой какой-либо эквипотенциальной поверхности, например MN (рис. 4).

Рис. 4

Если теперь эту металлическую поверхность поместить на место эквипотенциальной и создать на ней нужный потенциал, то опять же ничего не изменится. Точечный заряд находится точно в таком же поле, что и раньше, на него действует точно такая же сила, что и без изогнутого проводника. Но теперь мы имеем уже новую задачу - не о двух точечных зарядах, а о заряде и металлической поверхности заданного потенциала. Эта поверхность должна быть замкнутой. Внутри нее поле равно нулю, а вне такое же, как у системы двух точечных зарядов. Даже если внутреннее пространство поверхности мы заполним проводником, не меняя при этом ее потенциал, то поле вне проводника снова останется прежним.

Таким образом мы получаем еще одно применение метода изображений - определение полей проводящих поверхностей различной формы. В специальных книгах по электростатике можно найти множество подобных расчетов для различных поверхностей - гиперболоидов, параболоидов и других поверхностей очень хитрой формы. Все подобные задачи решаются "задом наперед". Сначала решается задача о нахождении электрического поля системы точечных зарядов, а затем определяется форма и потенциал какой-либо эквипотенциальной поверхности. Если теперь на место этой эквипотенциальной поверхности поместить проводящую поверхность такого же потенциала, а все заряды, находящиеся внутри нее, убрать, то поле вне ее останется таким же, как у первоначальной системы зарядов.

Точечный заряд и проводящая сфера

Пусть мы имеем проводящую сферу радиуса R и точечный заряд +q, расположенный на расстоянии d от центра сферы (рис. 5).

Рис. 5

Определим силу, действующую на заряд со стороны сферы. Сначала заземлим сферу. Чтобы решать задачу методом изображений, нужно найти такое расположение точечных зарядов, при котором одной из эквипотенциальных поверхностей является сфера. Задача с двумя неравными точечными зарядами как раз и дает именно такую картину эквипотенциальных поверхностей. Один из этих зарядов +q расположен там, где указано в условии задачи. Но какова должна быть величина второго заряда (заряда-изображения), и где он должен быть расположен?

Предположим, что заряд q расположен на прямой, соединяющей центр сферы и заряд q в точке, расположенной на расстоянии х от центра сферы (рис. 6).

Рис. 6

Может ли эта сфера быть эквипотенциальной поверхностью, каковы должны быть х и q, чтобы она ей была? Пусть потенциал сферы равен нулю. Рассмотрим произвольную точку А сферы, ее потенциал равен нулю. Он создается зарядом q, расположенным от нее на расстоянии r1, и зарядом q, расположенном на расстоянии r2. Следовательно, A = 0 или 0 = kq/r1+kq/r2. То есть -q/q = r1/r2. Для точки B сферы мы можем записать

Для точки C имеем

Таким образом имеем уравнение для определения х

Отсюда x = R2/d.

Если мы поместим точечный заряд q на расстоянии х от центра сферы, то сфера будет эквипотенциальной поверхностью. Величина заряда q легко определится из соотношения

Таким образом, имеем систему двух точечных зарядов, расположенных так, как на рис. 7.

Рис. 7

На заряд +q со стороны сферы (или заряда-изображения q) действует сила притяжения

Mы рассмотрели случай заземленной проводящей сферы. А как быть в том случае, если сфера имеет заряд Q или несет ненулевой потенциал? Ответ на этот вопрос очень прост - в центр сферы нужно добавить еще один точечный заряд q, величину которого определим из условия эквипотенциальности сферы.