85303 (О физической значимости векторных потенциалов в классической электродинамике)

О физической значимости векторных потенциалов в классической электродинамике

В.В. Сидоренков

Общепринято считать, что явления электромагнетизма физически полно представлены векторными электромагнитными полями, свойства которых исчерпывающе описываются системой электродинамических уравнений, сформулированных в окончательной форме Максвеллом [1]. При этом непосредственно следующие из уравнений Максвелла векторные потенциалы указанных полей как физическая реальность не рассматриваются, и им отводится роль вспомогательных математических функций, в ряде случаев существенно упрощающих вычисления. Такой взгляд на векторные потенциалы обусловлен взаимно неоднозначной связью полей и их потенциалов, не допускающей прямых измерений последних, и, что еще более важно, использование векторных потенциалов в рамках электромагнитных уравнений Максвелла не приводит в явном виде к дополнительным, не известным прежде следствиям.

Однако к настоящему времени исследованиями в области электродинамики, квантовой механики, сверхпроводимости достоверно установлено, что в фундаментальных уравнениях должны фигурировать не поля, а именно их потенциалы. В частности, эффекты Ааронова-Бома, Джозефсона, Мейснера реализуются в поле магнитного векторного потенциала [2], проявляющего себя тем самым вполне наблюдаемой физической величиной. Известно предложение о применении поля указанного вектор-потенциала в технологиях обработки разного рода материалов [3]. Отметим также сообщение [4], где на основе формального использования представлений о векторных потенциалах металлического проводника с током сделано утверждение о том, что в проводник при электропроводности вместе с потоком вектора электромагнитной энергии Пойнтинга поступают потоки чисто электрической и чисто магнитной энергии, момента электромагнитного импульса, возникающие в таких условиях в электромагнитном поле. Таким образом, налицо серьезная проблема, для решения которой необходимо должным образом проанализировать известные либо сформулировать новые физические представления о роли и месте векторных потенциалов в явлениях электромагнетизма.

В настоящей работе проведена модификация уравнений электромагнитного поля Максвелла для электрического и магнитного векторных потенциалов, и на основе анализа физического содержания полученных уравнений показано, что, наряду с традиционными полями в электродинамике, их векторные потенциалы являются полноправными физически значимыми полями, существенно расширяющими представления об электромагнитных полевых процессах.

Для решения поставленной задачи, прежде всего, рассмотрим саму систему электродинамических уравнений Максвелла [5] в дифференциальной форме:

(a) rot , (b) div , (c) rot , (d) div , (1)

включающую в себя материальные соотношения:

, , , (2)

описывающие отклик среды на наличие в ней электромагнитных полей. Здесь и - векторы напряженности электрического и магнитного полей, связанные посредством соотношений (2) с соответствующими векторами индукции и , - вектор плотности электрического тока, ρ - объемная плотность стороннего заряда, ε0 и μ0 - электрическая и магнитная постоянные, σ, ε и μ - удельная электрическая проводимость и относительные диэлектрическая и магнитная проницаемость среды, соответственно. Принципиальная особенность этих динамических релятивистски инвариантных уравнений (1) состоит в том, что в их структуре заложена отражающая обобщение опытных данных основная аксиома классической электродинамики - неразрывное единство переменных во времени электрического и магнитного полей.

Фундаментальным следствием уравнений Максвелла является вывод о том, что описываемое ими электромагнитное поле перемещается в пространстве в виде волн, скорость которых определяется лишь электрическими и магнитными параметрами среды, заполняющей это пространство (например, в отсутствие поглощения ). Совместное решение уравнений системы (1) позволяет также ответить на вопрос, что переносят эти волны и получить аналитическую формулировку закона сохранения электромагнитной энергии:

rot rot =div = , (3)

согласно которому поток электромагнитной энергии компенсирует в данной точке среды джоулевы (тепловые) потери при электропроводности и изменяет электрическую и магнитную энергию. При этом характеризующий энергетику данного факта вектор Пойнтинга плотности потока электромагнитной энергии , связанный с вектором плотности электромагнитного импульса 2, отличен от нуля только там, где одновременно присутствуют электрическое и магнитное поля, векторы и которых неколлинеарны.

Таким образом, в рамках уравнений (1) в принципе невозможно представить раздельное существование чисто электрических либо магнитных волн, переносящих только электрическую или магнитную энергию. Кроме того, далеко не ясен вопрос о физической реализации момента импульса электромагнитного поля, соответственно, переносящих его волн, и каким образом это явление соотносится с уравнениями Максвелла [6]. Чтобы аргументированно прояснить сложившуюся ситуацию, рассмотрим далее вопрос о возможности модификации уравнений электромагнитного поля (1) в виде альтернативных им уравнений для электрического и магнитного векторных потенциалов.

Понятие векторного потенциала следует из очевидного положения о том, что дивергенция ротора любого вектора тождественно равна нулю. Поэтому магнитный векторный потенциал определится посредством соотношения div = 0 системы электромагнитных уравнений Максвелла (1), а электрический - соотношением div = ρ этой системы при , описывающим поляризацию локально электронейтральной среды:

(а) rot , (b) rot . (4)

Однозначность функций векторного потенциала, то есть чисто вихревой характер такого поля, обеспечивается условием кулоновской калибровки: div = 0.

Тогда подстановка соотношения для магнитного векторного потенциала (4a) в уравнение вихря электрической напряженности системы (1a) приводит к известной формуле [5] связи поля вектора указанной напряженности с магнитным вектор-потенциалом:

, (5)

описывающей закон электромагнитной индукции Фарадея. Отметим, что здесь не рассматривается электрический скалярный потенциал, формально следующий из таких рассуждений: grad φe.

Аналогичная подстановка соотношения для электрического векторного потенциала (4b) в уравнение вихря магнитной напряженности системы (1c) с учетом соотношений (2) позволяет получить формулу связи поля этой напряженности с электрическим вектор-потенциалом:

, (6)

где τрел= εε0 /σ - постоянная времени релаксации электрического заряда в среде за счет электропроводности.

Теперь можно убедиться, что результаты проведенных рассуждений действительно позволяют предложить альтернативу традиционной системе электромагнитных уравнений Максвелла (1). Используя формулы (4a) и (4b) связи полей индукции и их векторных потенциалов, имеем при подстановке в них соотношений (5) и (6) систему динамических уравнений относительно полей только электрического и магнитного векторных потенциалов:

(a) rot , (b) div , (7)

(c) rot , (d) div .

Неординарность уравнений системы (7) вполне очевидна, поскольку в каждом одном роторном уравнении поля векторного потенциала или содержится информация о свойствах обоих роторных уравнений электромагнитных полей и системы (1). Так, например, если взять ротор от электрического роторного уравнения (7a), то после подстановки в его левую часть соотношения (4b), а в правую (4a) получается также “электрическое” роторное уравнение (1a). Теперь, если взять производную по времени ( t) от уравнения (7a) и использовать подстановки соотношений (5) и (6), то оно преобразуется в “магнитное” роторное уравнение (1c). Аналогичные действия с магнитным роторным уравнением (7c) дают в итоге роторные уравнения (1c) и (1а). Дивергентные уравнения системы (7) посредством дифференцирования их по времени преобразуются в соответствующие уравнения системы (1) при ρ = 0.

Об исключительности уравнений векторных потенциалов говорит и тот факт, что дифференцирование по времени только магнитных уравнений системы (7) преобразует ее с учетом вышеизложенного в новую систему уравнений относительно полей электрической напряженности и ее вектор-потенциала:

(a) rot , (b) div , (8)

(c) rot , (d) div .

Соответственно дифференцирование по времени пары уравнений электрического векторного потенциала в системе (7) преобразует ее в другую новую систему уравнений теперь уже относительно полей магнитной напряженности и ее вектор-потенциала:

(a) rot , (b) div , (9)

(c) rot , (d) div .

Сделаем общее для всех систем замечание о дивергентных уравнениях. Как уже говорилось, уравнение div = 0 являются калибровкой, обеспечивающей однозначность функции векторного потенциала , поэтому, согласно симметрии уравнений в рассматриваемых системах, другие дивергентные уравнения: (1b) при , (1d), (8b) и (9b) математически также следует считать соответствующими калибровками для функций вихревых полей и .

С точки зрения эффективности анализа физического содержания всех представленных уравнений укажем на явную предпочтительность использования в электродинамике системы единиц физических величин СИ в сравнении с абсолютной системой единиц СГС. Размерность в системе СИ множителя 0 в материальных соотношениях (2) для действительно оправдана, поскольку тем самым объединяются физически различные электрические величины: линейный (силовой) вектор напряженности и потоковый вектор смещения . Аналогично, в другом соотношении (2) размерная константа 0 связывает линейные и потоковые векторные величины: . Напротив, в гауссовой системе единиц безразмерные коэффициенты 0 = 1 и 0 = 1 делают векторы и , и сущностно тождественными, что обедняет физическое содержание соотношений электромагнетизма, оголяя в них формализм “математики”. Физические свойства указанных полей, акцентируемые системой СИ, наиболее полно отражены в электродинамических уравнениях Максвелла (1), где, и Максвелл это особо подчеркивал [1], описываются вихри именно линейных векторов и , а дивергенция потоковых и . Кстати, векторные потенциалы и по определению являются линейными векторами, а векторы отклика среды на их воздействие и - потоковыми.