85136 (О группах Ассура, фермах Баранова, цепях Грюблера, плоских шарнирных механизмах и об их структурном синтезе), страница 2

Что касается синтеза 14-звенных цепей Грюблера, то на сегодняшний день имеются только две посвящённые им публикации. Впервые их общее число, оказавшееся равным 318162, было получено в 1998 году и представлено в упомянутой выше работе [2]. Точно такое же значение числа 14-звенных цепей было найдено в 2005 году в статье [4]. Авторы этой статьи E.A. Butcher и C. Hartman утверждают, что они первыми решили данную задачу. Скорее всего, они получили свой результат независимо (видимо, им было не известно, что задача была решена за семь лет до выхода их статьи). Удивительное совпадение полного числа 14-звенных кинематических цепей, найденное двумя независимыми группами исследователей при помощи разных алгоритмов и программ, с большой степенью вероятности свидетельствует о правильности результата.

V

Изложенные выше соображения позволяют заключить, что в структурном синтезе четырёх рассматриваемых объектов есть зона, в пределах которой задачи синтеза решены окончательно, и нет особого смысла вновь и вновь заниматься их решением, поскольку не приходится ожидать, что может быть получен какой-либо иной результат, кроме уже известного. Если же при решении задачи, относящейся к указанной зоне, получается результат, отличный от общеизвестного, то, как правило, он является ошибочным.

Для иллюстрации сказанного обратимся к двум недавним публикациям [5] и [6]. В этих статьях утверждается, что число семизвенных ферм Баранова не 3, а 5; число восьмизвенных цепей Грюблера не 16, а 20; число шестизвенных шарнирных механизмов не 9, а 7; число восьмизвенных шарнирных механизмов не 153, а 158; число восьмизвенных групп Ассура не 173, а 160 (по данным на с. 40 статьи [5]) или 167 (по данным на с. 31 статьи [5]), число девятизвенных ферм Баранова не 28, а 26 (если судить по рис. 5 на с. 33-34 статьи [5]).

Все перечисленные утверждения являются ошибочными. Кроме того, в статьях [5] и [6] имеется немало и других неточностей и ошибочных утверждений и выводов (о них будет кратко сказано ниже).

О семизвенных фермах Баранова и их числе. В 1952 году Г.Г. Баранов получил три таких фермы [7]. В последующие годы этот результат воспринимался как очевидный факт. Однако авторы статьи [5] считают, что число семизвенных ферм равно пяти; они приводят на рис. 3 три фермы Баранова (№1, №2 и №3), а на рис. 4 - две дополнительные фермы. Ниже на рис. 2 показаны фермы №1 и №3 Баранова и две дополнительные фермы, полученные авторами статьи [5].

Из рис. 2 видно, что первая дополнительная ферма (см. рис. 4(а) в [5]) идентична по своей структуре ферме №1 Баранова, а вторая дополнительная ферма (см. рис. 4(b) в [5]) идентична ферме №3 Баранова. В том же самом можно убедиться, если составить структурную матрицу S для каждой из четырёх указанных структур (см. на рис. 2 справа). Элемент матрицы S равен 1, если звено номер i связано шарниром со звеном номер k, и равен 0 в противном случае (i, k = 1, 2, …, n; n = 7).

Таким образом, нет оснований для пересмотра общеизвестного факта о том, что число семизвенных ферм Баранова равно трём.

О восьмизвенных цепях Грюблера и их числе. Как известно, число восьмизвенных цепей Грюблера равно 16. Схемы всех этих цепей приводятся во многих учебниках по теории механизмов, изданных в Германии, а также в ряде англоязычных изданий. Однако авторы статьи [5] утверждают, что в статье [6] "убедительно показано, что восьмизвенных цепей Грюблера в действительности не 16, а 20" (см. с. 31). А в статье [6] сказано, что в ней "впервые приводятся новые виды цепей Грюблера, которые ранее известны не были" (см. с. 94). В таблице 2, озаглавленной "Полный состав восьмизвенных цепей Грюблера" (см. с. 91-92 статьи [6]) приведены рисунки всех 20 полученных авторами восьмизвенных цепей, и им присвоены номера от №1 до №20.

Анализ этой таблицы позволил установить, что среди 20 изображённых там цепей Грюблера только 16 цепей являются неизоморфными, а 4 пары цепей встречаются в таблице дважды. Так, цепи №1 и №6, №11 и №14, №12 и №17, №19 и №20 являются попарно одинаковыми по своей структуре. Четыре указанных пары кинематических цепей показаны здесь на рис. 3 (они получены сканированием соответствующих изображений из статьи [6]).

Структурная идентичность цепей видна визуально и может быть подтверждена составлением структурных матриц.

Таким образом, нельзя согласиться с тем, что в статье [6] "впервые приводятся новые виды цепей Грюблера, которые ранее известны не были".

В связи с восьмизвенными цепями Грюблера коснёмся ещё одного вопроса. На с. 92 статьи [6] сказано: "Согласно приведённой выше таблице 1 профессора Пейсаха Э.Е. таких цепей должно быть 16. К сожалению, Пейсах Э.Е. нигде не опубликовал собственно восьмизвенные цепи Грюблера и никак не обосновал записанное им число 16. Это даёт основание … усомниться в достоверности данных Пейсаха Э.Е.". И далее на с. 93: "… Можно предположить, что Пейсах Э.Е. этих двух цепей Грюблера просто не обнаружил. … Какие именно ещё две цепи были Пейсахом Э.Е. пропущены, можно будет установить после публикации найденных им цепей".

Я действительно не обосновал число 16 и не опубликовал собственно восьмизвенные цепи Грюблера, поскольку это было уже сделано 90 лет назад. Это – не мои данные, у меня нет оснований усомниться в их достоверности. Я считаю эти данные твёрдо установленными, они являются общепризнанными. Поэтому я в принципе не мог "не обнаружить" или "пропустить" две цепи.

О шестизвенных шарнирных механизмах и их числе. Структурные схемы всех шестизвенных механизмов давно известны. Их можно без труда построить из двух шестизвенных цепей Грюблера или из двух- и четырёхзвенных групп Ассура. Существует всего 9 таких механизмов. Структурные схемы всех девяти шестизвенных шарнирных механизмов приведены, например, в недавно опубликованной статье автора [8]. Между тем, авторы статьи [5] считают, что существует только 7 шестизвенных механизмов (см. таблицу 2, почему-то озаглавленную "Таблица Пейсаха Э.Е.", на с. 31).

О восьмизвенных шарнирных механизмах и их числе. Первое сообщение о числе таких механизмов было помещено в работе автора [9] в 1989 г., где указывалось, что существует всего 153 восьмизвенных механизма. Этот результат был подтверждён в упомянутой выше работе [2], выполненной в 1998 году. В качестве приложения к работе [2] был создан электронный каталог всех восьмизвенных механизмов. Атлас структурных схем всех 153 механизмов был недавно опубликован в статье автора [10], причём, каждому механизму присвоен свой индекс – от 8М1 до 8М153.

Авторы статьи [5] утверждают, что в статье [6] "убедительно показано, что … восьмизвенных механизмов не 153, а 158" (см. с. 31). В статье [6] на с. 92-93 сказано: "Это даёт основание … усомниться в достоверности данных Пейсаха Э.Е. Более того, знакомство с "Атласом" восьмизвенных механизмов, опубликованном в … /работе [10]/ … того же автора, показало, что в нём содержатся не все возможные структуры". И далее: "Эти механизмы … должны были быть включены в "Атлас", который содержал бы тогда в действительности не 153, на чём настаивает Пейсах Э.Е., а 158 механизмов". На рис. 10 статьи [6] приведены пять восьмизвенных механизмов, которые, по мнению авторов, отсутствуют в "Атласе" [10].

Анализ пяти указанных восьмизвенных механизмов показал, что все они присутствуют в "Атласе" [10]. В этом легко убедиться, сопоставив пять указанных механизмов из статьи [6] с точно такими же по структуре пятью механизмами из "Атласа" [10]. Ниже на рис. 4 приведены слева механизмы из статьи [6] (они имеют номера 53, 54, 65, 88 и 89, присвоенные им Л.Т. Дворниковым [11]), а справа – механизмы из "Атласа" [10].

Таким образом, авторы статьи [6] ошибаются, полагая, что число восьмизвенных шарнирных механизмов равно 158, а не 153. Кстати, ранее профессор Л.Т. Дворников в статье [11], опубликованной в 2004 году, утверждал, что полное число восьмизвенных механизмов равно 90.

О девятизвенных фермах Баранова и их числе. В 1952 году Г.Г. Баранов синтезировал 26 таких ферм [7]. В 1971 году N.I. Manolescu и T. Erdelean [12] обнаружили две новых фермы, 27-ю и 28-ю, и доказали, что тем самым найдены все принципиально возможные девятизвенные статически определимые фермы с вращательными парами. Таким образом, общее число девятизвенных статически определимых ферм равно 28.

Авторы статьи [5], по-видимому, не знакомы с работой [12] (во всяком случае, в [5] на неё нет ссылки). На рис. 5 статьи [5] приведены 26 девятизвенных ферм Баранова [7], то есть не представлен полный состав таких ферм.

О восьмизвенных группах Ассура и их числе. Первое сообщение о числе восьмизвенных групп Ассура принадлежит И.И. Тартаковскому. В 1983 году в статье [13] он сообщил, что из 28 девятизвенных ферм Баранова можно получить 173 восьмизвенных группы Ассура (собственно группы Ассура в статье [13] не приводятся). В 1998 году группой авторов [2] синтезированы восьмизвенные группы, число которых тоже оказалось равным 173; причём, разработанный алгоритм синтеза не связан с использованием ферм Баранова. В качестве приложения к работе [2] был создан электронный каталог всех восьмизвенных групп Ассура.