84944 (Элементы планиметрии), страница 2

3.1. Теорема Менелая.

Точки А1, В1 и С1 лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда .

3 .2.Теорема Чевы.

Прямые АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда

.

3.3.Теорема Пифагора.

3.4. Некоторые свойства прямоугольного треугольника:

– радиус вписаной окружности

– радиус описаной окружности

– высота из вершины прямого угла

II. Задачи.

Опорные задачи.

Представленные ниже опорные задачи, являются упражнениями для закрепления материала, изложенного методических рекомендациях. Эти задачи необходимо прорешать, но высылать их решения не следует.

Найдите неизвестные стороны треугольника АВС, если дано:

а) а=4, в=6, =30 б) а=4, в=6, =60 в) а=5, =30, =120

Стороны параллелограмма а и в, угол между ними . Найдите длины его диагоналей.

Вычислите длину медианы mа, проведенную из вершины А треугольника АВС, если а) АВ=с, АС=в, А= б) АВ=с, АС=в, ВС=а

Указание: Достройте треугольник до параллелограмма и используйте формулы, полученные в задаче 1.2.

Вокруг окружности описана равнобочная трапеция, средняя линия которой равна m. Найдите длины боковых сторон.

Диагонали параллелограмма равны и , угол при вершине – . Найдите площадь.

Радиус описаной окружности треугольника равен R, углы при вершинах: , и . Докажите, что площадь треугольника равна .

Указание: Используйте при решении конструкцию на рис. 5 (соединив точку О с другими вершинами).

В остроугольном треугольнике АВС угол А=60, а сторона ВС=4 см. D и E – основания высот, опущенных из вершин В и С. Найдите радиус окружности, описанной вокруг треугольника АDE.

Площадь треугольника равна 6, а длины двух сторон 3 и 4. Найдите радиус описанной окружности.

Диагонали выпуклого 4-х угольника АВСD разрезали его на четыре треугольника: (М – точка пересечения диагоналей). Найдите площадь четырехугольника.

Площадь треугольника равна 5, две стороны 3 и 4. Найдите площади треугольников, на которые он делится биссектрисой угла между данными сторонами.

Площадь трапеции равна 3, основания 1 и 2. Найдите площади треугольников, на которые трапеция разделена диагоналями.

Около окружности радиуса 1 описана равнобочная трапеция с боковой стороной 3. Найдите площадь трапеции.

Дан прямоугольный треугольник с гипотенузой 2 и острым углом 30. Найдите площадь двух кругов, проходящих через вершину прямого угла с центрами в острых углах треугольника.

В полукруг радиуса 1 вписан квадрат так, что две вершины лежат на основании, а две другие – на дуге полуокружности. Найдите площадь квадрата.

Найдите отношение радиусов двух касающихся окружностей, если каждая из них касается сторон угла величины .

В равнобедренном треугольнике угол при вершине равен 2. Найдите отношение радиуса вписанной окружности к радиусу описанной окружности.

Один из катетов прямоугольного треугольника равен 5, а радиус вписанной окружности 2. Найдите гипотенузу.

Определите острый угол ромба, в котором сторона есть среднее геометрическое диагоналей.

Площадь ромба равна S, сумма его диагоналей – m. Найдите сторону ромба.

Одна биссектриса поделила первую сторону в отношении 3:1, а другая вторую в отношении 4:3. Может ли третья биссектриса поделить третью сторону в отношении:

а) 1:4, б) 5:3.

Найдите площадь треугольника АВС, если ВС=а, АМ=n, АМВ=60

(М – некоторая точка на отрезке ВС).

2. Задачи для самостоятельного решения

Представленные ниже задачи для самостоятельного решения, являются контрольным заданием заочной школы. Выбор задач для решения производится в соответствии с указаниями рядом с названием каждой темы. Правила оформления работ смотрите во вступительной статье.

Треугольник (решить любые две задачи).

М10.1.1 В треугольнике АВС сторона АС равна 26, а медианы, проведенные из вершин А и С, равны соответственно 36 и 15. Найти третью медиану.

М10.1.2 Найти площадь равнобедренного треугольника, если высота, опущенная на основание, равно 10, а высота, опущенная на боковую сторону, равна 12.

М10.1.3 Определить углы треугольника, в котором медиана, биссектриса и высота, выходящие из одной и той же вершины треугольника, делят соответствующий угол на 4 равные части.

М10.1.4 Найти угол А треугольника АВС, если заданы длины его сторон |АС|=b, |АВ|=с и длина l биссектрисы внутреннего угла А.

Треугольники и окружность (решить любые две задачи).

М10.1.5 Из точки А к окружности радиуса R проводится касательная, которая касается окружности в точке М. Секущая, проходящая через точку А, пересекает окружность в точках K и L, причем L – середина отрезка АК, угол АМК равен 60°. Найдите площадь треугольника АМК.

М10.1.6 Площадь прямоугольного треугольника равна Р, а площадь круга, вписанного в него, равна Q. Найдите площадь круга, описанного около этого треугольника.

М10.1.7 Найдите углы прямоугольного треугольника, если известно, что радиус вписанной окружности равен 2 см, а гипотенуза – 13 см.

М10.1.8 В треугольнике АВС АН и ВN – высоты, М – середина стороны АВ. АН=4, АВ=5, ВС=4. Найдите длну отрезка, который высекает на стороне ВС окружность, проходящую через точки Н, М и N.

Теорема Менелая (обязательно решить № М10.1.10, попробовать № М10.1.9).

М10.1.9 Вокруг 4-х угольника АВСD можно описать окружность. Пусть прямые АВ и СD пересекаются в точке М, а прямые ВС и АD – в точке К. (Точки В и D лежат на отрезках АМ и АК соответственно). Пусть Р – проекция точки М на прямую АК, L – проекция точки К на прямую АМ. Докажите, что прямая LР делит диагональ ВD пополам.

Указание: Запишите теорему Менелая для треугольника АВD и прямой LР и попробуйте выразить отрезки АР, РD, А L и ВL через отрезки МР и К L и углы 4-х угольника АВСD.

М10.1.10 На стороне ВС треугольника АВС выбрана точка F. Оказалось, что отрезок АF пересекает медиану ВD в точке Е так, что АЕ=ВС. Докажите, что ВF=FE.

Четырехугольники (решить любые три задачи).

М10.1.11 В выпуклом четырехугольнике АВСD проведены диагонали АС и ВD. Известно, что АD=2, АВD=АСD=90° и расстояние между точкой пересечения биссектрис треугольника АВD и точкой пересечения биссектрис треугольника АСD равно . Найдите длину стороны ВС.

М10.1.12 В параллелограмме АВСD длина стороны АD равна 8. Биссектриса угла АDС пересекает прямую АВ в точке Е . В треугольник АDЕ вписана окружность с центром в точке О, касающаяся стороны АЕ в точке К и стороны АD в точке L. Найдите величину угла КОL, если длина КL равна 2.

М10.1.13 Основание АВ трапеции АВСD вдвое длиннее основания СD т вдвое длиннее боковой стороны АD. Длина диагонали АС равна а, длина боковой стороны ВС равна b. Найдите площадь трапеции.

М10.1.14 На сторонах АВ и ВС параллелограмма АВСD взяты соответственно точки К и М так, что АК:КВ=2:3, а ВМ:МС=2:1. Найти отношение площадей треугольников КВМ и КМD.

М10.1.15 Сумма длин оснований трапеции равна 9, а длины диагоналей равны 5 и . Углы при большом основании — острые. Найдите площадь трапеции.

Четырехугольники и окружности (решить № М10.1.16 и одну любую задачу).

М10.1.16 Основание АС равнобедренного треугольника АВС является хордой окружности, центр которой лежит внутри треугольник АВС. Прямые, проходящие через точку В, касаются окружности в точках D и Е. Найдите площадь треугольника DВЕ, если АВ=ВС=2, АВС= , а радиус окружности равен 1.

М10.1.17 В треугольнике АВС известна сторона АВ=4, ВАС=30°, АВС=130°. На АВ как на диаметре построен круг. Найдите площадь части круга внутри треугольника.

М10.1.18 В трапеции АВСЕ основание АЕ равно 16, СЕ= . Окружность, проходящая через точки А, В, С, вторично пересекает прямую АЕ в точке Н, АНВ=60°. Найдите АС.

М10.1.19 В окружность радиуса 10 вписан четырехугольник, диагонали которого перпендикулярны и равны 12 и . Найдите стороны четырехугольника.

Комбинации многоугольников и окружностей (решить любые две задачи).

М10.1.20 Две окружности радиуса 3 и 4, расстояние между центрами которых равно 5, пересекаются в точках А и В. Через точку В проведена прямая, пересекающая окружности в точках С и D так, что СD=8 и В лежит между С и D, ВСD. Найдите площадь треугольника АСD.

М10.1.21 Окружность О1 радиуса 3r касается продолжения стороны АВ угла АВС, ее центр лежит на стороне ВС. Окружность О2 радиуса r касается сторон угла АВС и окружности О1. Найдите угол АВС.

М10.1.22 Дан треугольник АВС. Окружность радиуса R касается прямых АВ и ВС в точках А и С соответственно и пересекает медиану ВD в точке L так, что ВL= ВD. Найдите площадь треугольника.

М10.1.23 В четырехугольнике MNPQ расположены две непересекающиеся окружности так, что одна из них касается сторон MN, NP и PQ, а другая — сторон MN, MQ и PQ. Точки В и А лежат, соответственно, на сторонах MN и PQ, причем отрезок АВ касается обеих окружностей. Найдите длину стороны MQ, если NP=b и периметр четырехугольника BAQM больше периметра четырехугольника ABNP на величину 2р.

Список литературы

Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://www.khspu.ru