84943 (Линейные уравнения и неравенства)

Линейные уравнения и неравенства

Романишина Дина Соломоновна, учитель математики гимназии №2 г. Хабаровска

1. Уравнения с одной переменной.

Равенство, содержащее переменную, называют уравнением с одной переменной, или уравнением с одним неизвестным. Например, уравнением с одной переменной является равенство 3(2х+7)4х-1.

Корнем или решением уравнения называется значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство. Например, число 1 является решением уравнения 2х+58х-1. Уравнение х2+10 не имеет решения, т.к. левая часть уравнения всегда больше нуля. Уравнение (х+3)(х-4) 0 имеет два корня: х1 -3, х24.

Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что корней нет.

Уравнения называются равносильными, если все корни первого уравнения являются корнями второго уравнения и наоборот, все корни второго уравнения являются корнями первого уравнения или, если оба уравнения не имеют корней. Например, уравнения х-82 и х+1020 равносильны, т.к. корень первого уравнения х10 является корнем и второго уравнения, и оба уравнения имеют по одному корню.

При решении уравнений используются следующие свойства:

Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получите уравнение, равносильные данному.

Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.

Уравнение ахb, где х – переменная, а и b – некоторые числа, называется линейным уравнением с одной переменной.

Если а0, то уравнение имеет единственное решение .

Если а0, b0, то уравнению удовлетворяет любое значение х.

Если а0, b0, то уравнение не имеет решений, т.к. 0хb не выполняется ни при одном значении переменной.

Пример 1. Решить уравнение: -8(11-2х)+403(5х-4)

Раскроем скобки в обеих частях уравнения, перенесем все слагаемые с х в левую часть уравнения, а слагаемые, не содержащие х, в правую часть, получим:

16х-15х88-40-12

х36

Ответ: 36.

Пример 2. Решить уравнения:

3х2-5х0;

х3-2х2-98х+180;

х2+7х+120.

Эти уравнения не являются линейными, но покажем, как можно решать такие уравнения.

3х2-5х0; х(3х-5)0. Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю, получаем х10; х2 .

Ответ: 0; .

Разложить на множители левую часть уравнения:

х2(х-2)-9(х-2)(х-2)(х2-9)(х-2)(х-3)(х-3), т.е. (х-2)(х-3)(х+3)0. Отсюда видно, что решениями этого уравнения являются числа х12, х2=3, х3-3.

с) Представим 7х, как 3х+4х, тогда имеем: х2+3х+4х+120, х(х+3)+4(х+3)0, (х+3)(х+4)0, отсюда х1-3, х2- 4.

Ответ: -3; - 4.

Пример 3. Решить уравнение: х+1+х-1=3.

Напомним определение модуля числа:

Например: 33, 00, - 4 4.

В данном уравнении под знаком модуля стоят числа х-1 и х+1. Если х меньше, чем –1, то число х+1 отрицательное, тогда х+1-х-1. А если х>-1, то х+1х+1. При х-1 х+10.

Таким образом,

Аналогично

а) Рассмотрим данное уравнениех+1+х-13 при х-1, оно равносильно уравнению -х-1-х+13, -2х=3, х , это число принадлежит множеству х-1.

b) Пусть -1 х 1, тогда данное уравнение равносильно уравнению х+1-х+13, 23 уравнение не имеет решения на данном множестве.

с) Рассмотрим случай х>1.

х+1+х-13, 2х3, х . Это число принадлежит множеству х>1.

Ответ: х1-1,5; х21,5.

Пример 4. Решить уравнение:х+2+3х2х-1.

Покажем краткую запись решения уравнения, раскрывая знак модуля «по промежуткам».

-2 0 1 х

х -2, -(х+2)-3х-2(х-1), - 4х4, х-2-; -2

–2х0, х+2-3х-2(х-1), 00, х-2; 0

0х1, х+2+3х-2(х-1), 6х0, х00; 1

х1, х+2+3х2(х-1), 2х- 4, х-21; +

Ответ: [-2; 0]

Пример 5. Решить уравнение: (а-1)(а+1)х(а-1)(а+2), при всех значениях параметра а.

В этом уравнении на самом деле две переменных, но считают х–неизвестным, а а–параметром. Требуется решить уравнение относительно переменной х при любом значении параметра а.

Если а1, то уравнение имеет вид 0х0, этому уравнению удовлетворяет любое число.

Если а-1, то уравнение имеет вид 0х-2, этому уравнению не удовлетворяет ни одно число.

Если а1, а-1, тогда уравнение имеет единственное решение .

Ответ: если а1, то х – любое число;

если а-1, то нет решений;

если а1, то .

2. Системы уравнений с двумя переменными.

Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное равенство. Решить систему — значит найти все ее решения или доказать, что их нет. Две системы уравнений называются равносильными, если каждое решение первой системы является решением второй системы и каждое решение второй системы является решением первой системы или они обе не имеют решений.

При решении линейных систем используют метод подстановки и метод сложения.

Пример 1. Решить систему уравнений:

Для решения этой системы применим метод подстановки. Выразим из первого уравнения х и подставим это значение во второе уравнение системы, получим

,

Ответ: (2; 3).

Пример 2. Решить систему уравнений:

Для решения этой системы применим метод сложения уравнений. 8х16, х2. Подставим значение х2 в первое уравнение, получим 10-у9, у1.

Ответ: (2; 1).

Пример 3. Решить систему уравнений:

Эта система равносильна одному уравнению 2х+у5, т.к. второе уравнение получается из первого умножением на 3. Следовательно, ей удовлетворяет любая пара чисел (х; 5-2х). Система имеет бесконечное множество решений.

Ответ: (х; 5-2х), х–любое.

Пример 4. Решить систему уравнений:

Умножим первое уравнение на –2 и сложим со вторым уравнением, получим 0х+0у-6. Этому уравнению не удовлетворяет ни одна пара чисел. Следовательно, эта система не имеет решений.

Ответ: система не имеет решений.

Пример 5. Решить систему:

Из второго уравнения выражаем ху+2а+1 и подставляем это значение х в первое уравнение системы, получаем . При а-2 уравнение не а-2 имеет решения, если а-2, то .

Ответ: при a=-2система не имеет решения,

при а-2 система имеет решение .

Пример 6. Решить систему уравнений:

Нам дана система из трех уравнений с тремя неизвестными. Применим метод Гаусса, который состоит в том, что равносильными преобразованиями приводят данную систему к треугольной форме. Прибавим к первому уравнению второе, умноженное на –2.

2х+у+3z13

+ -2х-2у-2z-12

-у+z1 или у-z-1.

Далее к третьему уравнению системы прибавим второе, умноженное на –3,

3х+у+z8

+ -3х-3у-3z-18

-2y-2z-10,

наконец прибавим к этому уравнению уравнение у-z-1, умноженное на 2, получим - 4z-12, z3. Итак получаем систему уравнений:

х+у+z6

у-z-1

z3, которая равносильна данной.

Система такого вида называется треугольной.

Ответ: (1; 2; 3).

3. Решение задач с помощью уравнений и систем уравнений.

Покажем на примерах, как можно решать задачи с помощью уравнений и систем уравнений.

Пример 1. Сплав олова и меди массой 32 кг содержит 55% олова. Сколько чистого олова надо добавить в сплав, чтобы в новом сплаве щсодержалось 60% олова?

Решение. Пусть масса олова, добавленная к исходному сплаву, составляет х кг. Тогда сплав массой (32+х)кг будет содержать 60% олова и 40% меди. Исходный сплав содержал 55% олова и 45% меди, т.е. меди в нем было 32·0,45 кг. Так как масса меди в исходном и новом сплавах одна и та же, то получим уравнение 0,45·32=0,4(32+х).

Решив его, находим х=4, т.е. в сплав надо добавить 4 кг олова.

Пример 2. Задумано двузначное число, у которого цифра десятков на 2 меньше цифры единиц. Если это число разделить на сумму его цифр, то в частном получится 4 и в остатке 6. Какое число задумано?

Решение. Пусть цифра единиц есть х, тогда цифра десятков равна х-2 (х>2), задуманное число имеет вид 10(х-2)+х=11х-20. Сумма цифр числа х-2+х=2х-2. Следовательно, разделив 11х-20 на 2х-2, получим в частном 4 и в остатке 6. Составляем уравнение: 11х-20=4(2х-2)+6, т.к. делимое равно делителю, умноженному на частное, плюс остаток. Решив это уравнение, получим х=6. Итак, было задумано число 46.

Пример 3. Три ящика наполнены орехами. Во втором ящике на 10% орехов больше, чем в первом, и на 30% больше, чем в третьем. Сколько орехов в каждом ящике, если в первом на 80 орехов больше, чем в третьем?

Решение. Пусть в первом ящике было х орехов, в третьем – y. Тогда во втором ящике было х+0,1х=1,1х или y+0,3y=1,3y. Учитывая, что в первом ящике было на 80 орехов больше, чем в третьем, составляем систему уравнений:

, откуда y=440, х=520, 1,1х=572.

Замечание. Можно эту задачу решить, не составляя системы уравнений. Пусть в первом ящике было х орехов, тогда в третьем — х-80, во втором — 1,1х или 1,3(х-80). Имеем уравнение: 1,1х=1,3(х-80), х=520.

Ответ: в первом ящике было 520 орехов, во втором — 572, в третьем — 440.

Пример 4. Из двух городов А и В, расстояние между которыми 180 км, в 6 ч 20 мин. вышли навстречу друг другу автобус и легковой автомобиль. Их встреча произошла в 7 ч 50 мин. Если бы автобус вышел на 1 ч 15 мин. раньше, а легковой автомобиль на 15 мин. позже, то они встретились бы в 7 ч 35 мин. Какова скорость автобуса и легкового автомобиля?

Решение. Пусть скорость автобуса V1 км/ч, скорость легкового автомобиля V2 км/ч. Так как их встреча произошла через 1,5 ч, то имеем уравнение:1,5V1+1,5V2 =180. Если бы автобус вышел на 1ч 15 мин. раньше, то он был бы в пути 2 ч 30 мин. (7 ч 35 мин. – 5 ч 5 мин.= 2 ч 30 мин.). Если бы легковой автомобиль вышел на 15 мин. позже, то он был бы в пути 1 ч (7 ч 35 мин. – 6 ч 35 мин.= 1ч). Получаем уравнение: 2,5V1 +V2 =180.

Таким образом, имеем систему двух уравнений с двумя неизвестными:

, откуда V1=40 км/ч, V2=80 км/ч.

Ответ: 40 км/ч, 80 км/ч.

4. Линейные неравенства с одной переменной.

Если переменной х придать какое-либо числовое значение, то мы получим числовое неравенство, выражающее либо истинное, либо ложное высказывание. Пусть, например, дано неравенство 5х-1>3х+2. При х=2 получим 5·2-1>3·2+2 – истинное высказывание (верное числовое высказывание); при х=0 получаем 5·0-1>3·0+2 – ложное высказывание. Всякое значение переменной, при котором данное неравенство с переменной обращается в верное числовое неравенство, называется решением неравенства. Решить неравенство с переменной – значит найти множество всех его решений.