84942 (Иррациональные уравнения и неравенства)
Описание файла
Документ из архива "Иррациональные уравнения и неравенства", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математика" из , которые можно найти в файловом архиве . Не смотря на прямую связь этого архива с , его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "остальное", в предмете "математика" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "84942"
Текст из документа "84942"
Иррациональные уравнения и неравенства
Колегаева Елена Михайловна, доцент кафедры математических методов и информационных технологий ДВАГС
I. Преобразование иррациональных выражений.
Иррациональным называется выражение, содержащее корни n-ой степени.
1) Одно из типичных преобразований иррациональных выражений – избавление от иррациональности в знаменателе.
а) Если в знаменателе стоит выражение вида , то необходимо числитель и знаменатель умножить на сопряженное к нему выражение . В этом случае применяется формула .
б) Если в знаменателе стоит выражение (или ), то числитель и знаменатель умножается, соответственно, на (или ). В этом случае применяются формулы
,
.
Пример 1. Избавиться от иррациональности в знаменателе:
а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .
Решение:
а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д) ;
е)
.
Отметим еще одно свойство:
которое часто применяется в преобразованиях.
Пример 2. Упростить выражение:
а) ; б) ; в) .
Решение:
а) , т.к. .
б) , т.к. .
в)
.
В
ыясним, при каких n выражения под знаком модуля меняют знак: n1, n1, n0.
1) Если n<-1, то
2) Если -1n<0, то
3) Если 0 4) Если n1, то Ответ: II. Иррациональные уравнения. Рассмотрим уравнение вида . Основной метод решения – возведение обеих частей уравнения в степень n. При этом, если n – четное, то могут возникнуть посторонние корни. Поэтому в уравнениях необходимо делать проверку. Если уравнение содержит два и больше корней, то один из корней «уединяется», то есть уравнение приводится к виду . Еще один способ решения – введение вспомогательной переменной. Пример 3. Решить уравнения: а) ; б) ; в) ; г) . Решение: а) ; Проверка. х4 – посторонний корень, – верно х2 – корень. Ответ: х2. б) Проверка. – это выражение не существует, т.е. – посторонний корень, – верно – корень. Ответ: . в) Введем вспомогательную переменную x2=t2–13 t2-13-2t=22; t2-2t-35=0, t1=7; t25. Сделаем обратную замену: х2+13=49 х2=36 х=6, – не имеет решений. Ответ: х=6. г) Сделаем замену переменной. Положим . Тогда уравнение примет вид: . Проверка показывает, что – корень. Ответ: . III. Решение иррациональных неравенств. При решении этих неравенств следует помнить, что в четную степень можно возводить неравенства с неотрицательными членами. Поэтому неравенство эквивалентно системам или Неравенство равносильно системе Пример 4. Решить неравенства: а) б) в) г) Решение. а) Решим третье неравенство системы методом интервалов: x2-5x-14>0 x2-5x-14=0 (x-7)(x+2)>0 Н Ответ: -18x<-2. б) если х-10, то неравенство верно, то есть х1; если x-1>0 и так как x2+1>0, возводим обе части в квадрат. Имеем: x>1. Объединяем два решения, получим х – любое. Ответ: х – любое. в) Ответ: х1. г) или Ответ: . Задачи для самостоятельного решения Уважаемые ребята, ниже приводятся задания для самостоятельного решения, которые следует выполнить, оформить отдельно от заданий по другим предметам и выслать в адрес Хабаровской краевой заочной физико-математической школы. Наш адрес: 680000, г. Хабаровск, ул. Дзержинского, 48, ХКЦТТ ( ХКЗФМШ). М11.9.1. Упростить: 1) 2) 3) 4) , если , m>0, 0 М11.9.2. Решить уравнения ; ; ; . М11.9.3. Решить неравенства: ; ; ; . Список литературы Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://www.khspu.ru
айдем пересечение решений трех неравенств:
х3