179408 (Сущность франчайзинга), страница 3

(12) I^c_n(t) I^ф_n(t) = 0,

то есть невозможно существование на одном участке в один момент времени и собственного и франчайзингового предприятий.

В предположении, что франчайзер берет максимально возможный кредит и держит допустимый минимум ликвидных средств, так как у них низкая доходность, неравенства (10) заменяются на равенства, из которых находятся L(t) и (t), и условие (7) неотрицательности L(t) опускается. При этом набор переменных, определяющих стратегию, уменьшается до ‘ = { I^c_n(t), I^ф_n(t), a(t), w(t)}.

Но даже в этом случае из-за большой размерности задачи и сложности выражения некоторых переменных через основные задача остается слишком сложной, и такая модель позволяет только проиллюстрировать механизм функционирования франчайзинговой системы, поэтому ниже для конкретных расчетов производятся дальнейшие упрощения.

Например, при определении оптимальных рекламных затрат можно решать следующую задачу. Пусть x(t) — прибыль без учета расходов на рекламу, u(t) — затраты на рекламу (u(t) 0 — управление в рассматриваемой задаче). Тогда прибыль (t) = x(t) – u(t). Так как x(t) — это прибыль получаемая в момент t в отсутствие рекламы, то, зная поток прибыли в начальный момент без использования рекламы ₀, можно получить начальное значение x(0) = ₀.

В качестве критерия разумно взять дисконтированную прибыль за весь период планирования T, то есть

(13) ,

где n — коэффициент дисконтирования.

Предположим, что без рекламы поток прибыли экспоненциально уменьшается с коэффициентом затухания k. Так как предельный эффект от рекламы падает при увеличении затрат на нее, то эту зависимость можно аппроксимировать, например, степенной функцией bu (0 < < 1). Коэффициенты b и определяются по методу наименьших квадратов для имеющихся эмпирических данных или оцениваются экспертами. Следовательно, получаем соотношение

(14) .

Гамильтониан задачи (13), (14)

H(x,u,p,t) = (x-u)e^–nt + p(bu – kx).

Из уравнений Гамильтона получаем:

.

Решая это уравнение с учетом условия p(T) = 0, находим

(15) p(t) = [e^–nt – e^–k(T-t)+kt] / (k + n) .

По принципу максимума Понтрягина u(t) должна в каждой точке оптимальной траектории доставлять максимум функции Гамильтона, поэтому оптимальное управление находится из условия

– e ^–nt + pbu^–1 = 0,

то есть

.

Используя формулу (15), получаем, что оптимальные затраты на рекламу равны

.

Видно, что затраты на рекламу со временем уменьшаются, обращаясь в нуль в конце периода планирования.

На рекламные расходы разумно наложить условие u(t) u_max(t), связанное с ограниченностью финансовых ресурсов. Тогда реальные затраты на рекламу будут определяться по правилу

u_опт(t) = min{u*(t), u_max(t)}.

В предельном случае, если планирование осуществляется на очень длительный период (при этом можно считать

T = ), u_опт(t) .

В этом случае

x_опт(t) .

На бесконечности доля рекламных затрат в чистом доходе

.

Аналогичный подход применим при планировании затрат франчайзера на исследования.

Далее, определившись с расходами на рекламу и исследования, франчайзер вырабатывает стратегию расширения сети.

Предположим, что рынок может быть разделен между собственными и франчайзинговыми предприятиями рассматриваемой системы в любой пропорции, а время t непрерывно.

Пусть P_c(t) 0 и P_Ф(t) 0 — доля рынка, охваченная собственными и франчайзинговыми предприятиями, причем выполняется условие P_C(t) + P_Ф(t) 1.

Здесь под охватом рынка подразумеваем территориальный охват.

Франчайзер максимизирует свою прибыль:

,

где Y(t) — поток его прибыли. Будем считать здесь, что прибыль от собственной и доход франчайзинговой единицы не зависят от времени и равны _с и _ф соответственно.

Для простоты положим, что ликвидные средства франчайзера (t) не приносят дохода.

Поток инвестиций франчайзера в развитие сети

(16) ,

где Z и E определяются вне модели, а в E учитывается оптимальный вступительный взнос, рассчитанный для случая одного франчайзингового предприятия. Будем считать, что франчайзер может, в принципе, ликвидировать предприятия сети, вернув без потерь свои инвестиции, поэтому при расчете прибыли не будет вычитать инвестиции на развитие сети из дохода.

Прибыль франчайзера

(17) Y(t) = _сP_c(t) + r_ф P_ф(t) – r₁L(t).

Прибыль, полученная от деятельности собственных и франчайзинговых предприятий системы, и новые кредиты идут на инвестиции и изменение объема ликвидных средств

(18) +D(t).

Задолженность изменяется по закону

(19) .

Предположим, что доходность собственных и франчайзинговых точек больше, чем процент по кредиту, то есть _с/Z > r₁ и r_ф/E > r₁, поэтому на этапе экстенсивного развития системы франчайзер берет максимальный для имеющихся собственных средств кредит и выбирает минимальный (t), необходимый для поддержания ликвидности, то есть

(20) (t) = k_l L(t),

K(t) = k_aL(t)/(1 – k_a),

, то

(21) .

Обозначив

a = 1 – k_l + k_a /(1 – k_a) и b = k_a /(1 – k_a),

из условий (16) – (21) получаем, что рассматриваемая задача с учетом начальных условий имеет вид (9) – (12):

(22) ,

(23)

(24) P_c(t) 0, P_Ф(t) 0, P_C(t) + P_Ф(t) 1, L 0,

(25) P_c (0) = P_c⁰, P_ф(0) = P_ф⁰, L(0) = K⁰ / b.

Из второго уравнения системы (23) с учетом начальных условий получаем имеем следующее выражение для величины задолженности:

(26) .

Используя эту формулу и первое уравнение системы (10) получаем:

(27) _T = b[L(T) – L(0)] = b{Z[P_c(T) – P_c⁰] + E[P_ф(T) – P_ф⁰]}/ a.

Таким образом, задача преобразовывается к виду (28) – (31):

(30)

P_c(t) 0, P_Ф(t) 0, P_C(t) + P_Ф(t) 1,

(31) P_c (0) = P_c⁰, P_ф(0) = P_ф⁰.

Эволюция франчайзинговой системы состоит из следующих основных этапов:

1. Расширение системы без использования франчайзинга.

На начальной стадии развития компания не может создать эффективную франчайзинговую сеть из-за своей малой известности. Пусть P_c^f — доля территории рынка, охваченная предприятиями компании – потенциального франчайзера, обеспечивающая ему достаточную известность и репутацию для начала продажи франшиз (P_c^f < 1). Тогда условиями нахождения компании на первом этапе будут:

P_C(t) P_c^f, P_Ф(t) = 0.

1. Экстенсивное развитие с применением франчайзинга.

Так как для данной работы представляет интерес только случай, когда компании выгодно создавать франчайзинговые точки ( ), то после получения возможности продажи франшиз фирма попытается максимально увеличить количество франчайзинговых предприятий, в том числе продавая во франчайзинг свои точки. Но при снижении доли собственных предприятий в сети ниже определенного уровня (P_Ф > P_C, > 0) потенциальные франчайзи могут утратить доверие к этой системе, сделав из такого снижения вывод о невыгодности занятия этим бизнесом.

Поэтому этап экстенсивного развития системы с использованием франчайзинга следует разбить на два подэтапа:

2.1. Увеличение доли франчайзинговых предприятий в системе. Условия нахождения системы на этом подэтапе:

P_Ф(t) < P_C(t), P_c^f P_C(t) + P_Ф(t) < 1.

Обозначим через S — темп, с которым франчайзер может продавать свои собственные предприятия во франчайзинг, то есть .

2.2. Сбалансированный рост. В этой стадии развития системы франчайзер расширяет сеть предприятий, поддерживая максимально возможную долю франчайзинговых предприятий в системе, то есть в этом случае

P_Ф(t) = P_C(t), P_C(t) + P_Ф(t) < 1.

1. Функционирование на полностью охваченном сетью предприятий данной системы рынке.

В рамках рассматриваемой модели при полностью охваченном рынке (P_c(t) + P_ф(t) = 1) франчайзер может увеличить прибыль, только выкупая франчайзинговые предприятия или погашая свою задолженность. Хотя на практике франчайзеру выгоднее может быть поиск новых рынков или других сфер деятельности, а также исследования по улучшению производимого товара, повышение затрат на рекламу или совершенствование организационной структуры системы, а соотношение франчайзинговых и собственных предприятий сохранять далее почти неизменным.

Пусть L — вариация размера задолженности франчайзера, тогда при сохранении полного охвата рынка из (16) и (18) – (20) для вариации доли собственных точек P_C получим:

aL = (Z – E) P_C ,

тогда из (17) вариация прибыли

Y = [_c + r_ф – r₁(Z – E)/a] P_C .

Поэтому в рамках модели при ставке по кредиту

r₁ > a(_c + r_ф)/(Z – E)

франчайзеру выгодно сначала погашать из прибыли задолженность, а затем уже выкупать франчайзинговые предприятия, а при меньших ставках ему лучше поступить наоборот.

Далее система функционирует в стационарном режиме.

На каждом из рассмотренных этапов задача сводится к решению обыкновенных дифференциальных уравнений, их которых с использованием начальных данных определяются динамика задолженности, доли франчайзинговых и собственных предприятий, прибыль франчайзера и время нахождения системы на данном этапе.

Предложенной модели можно придать несколько иную форму, которая во многих случаях лучше описывает реальную ситуацию.

Сравнивая эффективность организации разных типов предприятий на конкретной территории, можно разбить рынок на две части так, что на одной из них франчайзеру выгодно продавать франшизы, а на другой — создавать собственные предприятия. Тогда можно использовать те же соотношения, считая, что _ф — доход франчайзинговой единицы на первой части рынка, а _с — прибыль от собственной единицы на второй. При этом необходимо учитывать размеры франчайзинговой (P_ф^L) и собственной (P_c^L) частей.

При такой трактовке очевидно, что на подэтапе 2.1 (увеличение доли франчайзинговых точек в системе) собственные точки не будут продаваться во франчайзинг, то есть S = 0.

Расширение сети по рассмотренному выше сценарию продолжится до тех пор, пока не будет полностью охвачена одна из частей рынка, иными словами либо P_ф(t) = P_ф^L, либо P_с(t) = P_с^L.

В первом случае оставшаяся часть заполняется собственными предприятиями, следовательно, задача (28) – (31) решается при условии P_ф(t) P_ф^L.

Во втором случае нельзя по аналогии заполнить оставшаюся часть только франчайзинговыми точками, так как нарушится условие доверия потенциальных франчайзи к системе (доля франчайзинговых предприятий должна удовлетворять условию P_Ф(t) P_C(t) ). Поэтому на неохваченном участке необходимо осуществлять сбалансированное расширение, то есть решать задачу (28) – (31) при условии P_Ф(t) = P_C(t) и с другими коэффициентами прибыли _с¹ и затрат E¹ на создание собственных предприятий франчайзера в этом секторе рынка.

Несмотря на существенную упрощенность, модель позволяет найти важные ориентиры для развития франчайзинговой сети.