85301 (Задача Дирихле)
Описание файла
Документ из архива "Задача Дирихле", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математика" из , которые можно найти в файловом архиве . Не смотря на прямую связь этого архива с , его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "рефераты, доклады и презентации", в предмете "математика" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "85301"
Текст из документа "85301"
6
Задача Дирихле
1.ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Решить численно задачу Дирихле для уравнения Лапласа :
(x,y)D; u|Г=xy2=f(x,y) ;
область D ограничена линиями: x=2 , x=4 , y=x , y=x+4 ;
(x0, y0 ) = (3, 5) .
Следует решить задачу сначала с шагом по x и по y : h=0.2, потом с шагом h=0.1 . Точность решения СЛАУ =0.01 .
2.ОПИСАНИЕ МЕТОДА РЕШЕНИЯ ПОСТАВЛЕННОЙ ЗАДАЧИ
Поставленная задача решается численно с помощью программы, реализующей метод сеток , разработанный для численного решения задачи Дирихле для уравнений эллептического типа.
Программа написана на языке C++ , в среде Borland C++ версии 3.1. Ниже описан алгоритм работы этой программы.
1. На первом шаге область D дискретизируется. Она заменяется на область Dh путем разбиения области D параллельными прямыми по следующему правилу: yi=y0 ih, xj=x0 ih , i,j=0,1,2…. PР. Разбиение производится до тех пор, пока текущая прямая не будет лежать целиком вне области D. Получается множество точек (xi,yj).
2. За область Dh принимают те точки множества (xi,yj) , которые попали внутрь области D, а также дополняют это множество граничными точками.
3.Во всех точках области Dh вычисляются значения функции f(xi,yj) .
4. За область Dh* принимаются все внутренние точки области Dh, т.е. удовлетворяющие требованию:
(xi,yj) Dh* , если (xi+1,yj) Dh , (xi-1,yj) Dh , (xi,yj+1) Dh , (xi,yj-1) Dh .
5. Во всех точках области Dh* вычисляется функция F(N)*[i,j] ( индекс N обозначает номер итерации, на которой производится вычисление):
F(N)*[i,j]=(f(xi+1,yj) + f(xi-1,yj) + f(xi,yj+1)f(xi,yj-1))/4
6. Теперь если max | F(N+1)*[i,j] - F(N)*[i,j]|< ,взятый по всем точкам области Dh* ,то задача решена;
если нет , то выполнять шаг 5 ( пересчитывать функцию F(N)*[i,j] через значения F(N-1)*[i,j]) до тех пор, пока не выполнится указанное условие.
3.ТЕКСТ ПРОГРАММЫ
#include
#include
#include
#include
#include
int i,j,k; // Variables
float h,x,y,tmp,E1;
struct point {
float xx;
float yy;
int BelongsToDh_;
int BelongsToDh;
float F;
float F_;
} p0,arrayP[13][33];
float arrayX[13];
float arrayY[33];
float diff[500];
void CreateNet(void); // Procedure Prototypes
int IsLineFit(float Param);
void CrMtrD(void);
void RegArrayX();
void RegArrayY();
void CreateDh_();
int IsFit(point Par);
void FillF();
void CreateDh();
int IsInner(int i,int j);
void FillF_();
void CountDif();
void MakeFile();
void main(void) //MAIN
{
clrscr();
p0.xx = 3;
p0.yy = 5;
h = 0.2;
p0.BelongsToDh_=1;
p0.BelongsToDh=1;
CreateNet();
RegArrayX();
RegArrayY();
CrMtrD();
CreateDh_();
FillF();
CreateDh();
FillF_();
CountDif();
while (E1>=0.005) {
for(i=0;i<13;i++)
for(j=0;j<33;j++) arrayP[i][j].F=arrayP[i][j].F_;
FillF_();
CountDif();
}
cout<<(0-arrayP[7][17].F_);
MakeFile();
getchar();
} //MAIN END
int IsLineFit(float par,char Axis) // does the line belong to the defined area
{
switch(Axis) {
case 'y': if ((par>8.0) || (par<2.0)) return 1;
else return 0;
case 'x': if (par<1.9) return 1;
else if (par>4.0) return 1;
else return 0;
}
}
void CreateNet(void) // Creation of Net (area D )
{
x = p0.xx;
i=0;
arrayX[i]=x;
while (!IsLineFit(x,'x'))
{
x += h;
i++;
arrayX[i] = x;
}
x = p0.xx-h;
i++;
arrayX[i]=x;
while (!IsLineFit(x,'x'))
{
x -= h;
i++;
arrayX[i] = x;
}
for (i=0;i<13;i++) { printf("%g ",arrayX[i]); }
printf("\n");
y = p0.yy;
i = 0;
arrayY[i]=y;
while (!IsLineFit(y,'y'))
{
y += h;
i++;
arrayY[i] = y;
}
y = p0.yy - h;
i++;
arrayY[i]=y;
while (!IsLineFit(y,'y'))
{
y -= h;
i++;
arrayY[i] = y;
}
for(i=0;i<33;i++) { printf("%g ",arrayY[i]);}
printf("\n");
} // end CreateNet
void RegArrayX() // Regulation of arrays X & Y
{
int LastUnreg = 13 ;
while (LastUnreg != 0) {
for(i=0;i if (arrayX[i]>arrayX[i+1]) {double tmp=arrayX[i]; arrayX[i]=arrayX[i+1]; arrayX[i+1]=tmp;}} LastUnreg=LastUnreg-1; } for (i=0;i<13;i++) { printf("%g ",arrayX[i]); } printf("\n"); } void RegArrayY() { int LastUnreg = 33 ; while (LastUnreg != 0) { for(i=0;i if (arrayY[i]>arrayY[i+1]) { tmp=arrayY[i]; arrayY[i]=arrayY[i+1]; arrayY[i+1]=tmp;}} LastUnreg=LastUnreg-1; } for (i=0;i<33;i++) { printf("%g ",arrayY[i]); } printf("\n");} // End of Regulation void CrMtrD(void) //Create general Matrix { for(i=0;i<13;i++) for(j=0;j<33;j++) {arrayP[i][j].BelongsToDh_=0; arrayP[i][j].BelongsToDh=0;} for(i=0;i<13;i++) for(j=0;j<33;j++) { arrayP[i][j].xx=arrayX[i]; arrayP[i][j].yy=arrayY[j]; } // printf("%g %g",arrayP[12][0].xx,arrayP[12][0].yy); // printf("\n"); } int IsFit(point Par) //does point belong to area D? { if ((Par.xx=1.99) && (Par.yy>=Par.xx) && (Par.yy<=Par.xx+4)) return 1; else return 0; } void CreateDh_(void) //Create area Dh_ { for(i=0;i<13;i++) for(j=0;j<33;j++) if (IsFit(arrayP[i][j])) arrayP[i][j].BelongsToDh_=1; cout << arrayP[1][1].BelongsToDh_<< "\n"; cout << arrayP[1][1].xx << " " << arrayP[1][1].yy<<"\n"; } void FillF(void) // calc function F(x,y) at area Dh_ { for(i=0;i<13;i++) for(j=0;j<33;j++) if (arrayP[i][j].BelongsToDh_==1) arrayP[i][j].F=arrayP[i][j].xx*pow(arrayP[i][j].yy,2); else arrayP[i][j].F=0; } int IsInner(int i,int j) //Is point inner? { if ((arrayP[i-1][j].BelongsToDh_==1) && (arrayP[i+1][j].BelongsToDh_==1) && (arrayP[i][j+1].BelongsToDh_==1) && (arrayP[i][j-1].BelongsToDh_==1)) return 1; else return 0; } void CreateDh(void) //Create area Dh { for(i=0;i<13;i++) for(j=0;j<33;j++) if ((arrayP[i][j].BelongsToDh_==1) && IsInner(i,j)) arrayP[i][j].BelongsToDh=1; } void FillF_() //calc new appr. values of F { for(i=0;i<13;i++) for(j=0;j<33;j++) { if (arrayP[i][j].BelongsToDh==1) arrayP[i][j].F_=(arrayP[i-1][j].F+arrayP[i+1][j].F+ arrayP[i][j-1].F+arrayP[i][j+1].F)/4; else arrayP[i][j].F_=0; } } void CountDif() // find maximal difference abs(F-F_) { k=0; for(i=0;i<13;i++) for(j=0;j<33;j++) { if (arrayP[i][j].BelongsToDh==1) { diff[k]=fabs(arrayP[i][j].F_-arrayP[i][j].F); k++;}} E1=diff[0]; for (k=1;k<500;k++) { if (diff[k]>E1) E1=diff[k];} } void MakeFile() { ofstream f; FILE *f1=fopen("surf.dat","w1"); fclose(f1); f.open("surf.dat",ios::out,0); for(i=0;i<13;i++) for(j=0;j<33;j++) { if (arrayP[i][j].BelongsToDh==1) { f< " "< f.close() ; } 4.ГРАФИКИ РЕШЕНИЙ РИС.1 шаг h=0.2 РИС.2 шаг h=0.1 5.ВЫВОД Функция f(x,y) является неотрицательной в области D. Полученное решение лежит целиком над плоскостью XOY . Для данного решения выполняется принцип максимума. 
