85193 (Интеграл помогает доказать неравенство Коши)
Описание файла
Документ из архива "Интеграл помогает доказать неравенство Коши", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математика" из , которые можно найти в файловом архиве . Не смотря на прямую связь этого архива с , его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "рефераты, доклады и презентации", в предмете "математика" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "85193"
Текст из документа "85193"
Интеграл помогает доказать неравенство Коши
С. Берколайко
[Решил добавить к уже выложенным доказательствам неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим ещё одно. Оно не такое потрясное по оригинальности как доказательства Бора и Гурвица, а любопытно, скорее, простотой используемых средств и ловкостью автора. – E.G.A.]
Пусть a1, a2, ..., an – положительные числа, среди которых есть различные. Тогда выполняется неравенство Коши:
| (1) |
Обозначим левую часть неравенства Коши через Sn и докажем его в такой форме:
(Sn ) n > a1 a2 ... an . | (2) |
Очевидно, не ограничивая общности, можно считать, что для некоторого k такого, что 1 ≤ k ≤ n – 1,
a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ ak ≤ Sn ≤ ak+1 ≤ ... ≤ an–1 ≤ an. | (3) |
Основой доказательства неравенства (2) будет неравенство
| (4) |
где 0 < a < b (см. рисунок). Заметим, что при a = b вместо (4) имеем
b – a b | = ln | b a | = | b – a a | . |
Из (3) и (4)
| (5) |
или
| (6) |
Опять-таки из (3) и (4)
| (7) |
или
| (8) |
Легко проверить, что левая часть неравенства (6) равна правой части неравенства (8). Значит, из (6) и (8)
| (9) |
Поскольку среди чисел a1, a2, ..., an есть различные, в цепочке неравенств (3) какие-то неравенства выполняются «строго». Тогда эти «строгие» неравенства перейдут в (5) или (7). Значит, по крайней мере, одно из неравенств (6), (8) тоже будет «строгим». Поэтому вместо (9) мы можем утверждать
ln | ak+1 ak+2 ... an (Sn) n–k | < ln | (Sn)k a1 a2 ... ak | , |
или
ak+1 ak+2 ... an (Sn) n–k | < | (Sn)k a1 a2 ... ak | , |
откуда вытекает (2).
Если же a1 = a2 = ... = an, то, очевидно,
a1 + a2 + ... + an n | = | n | | a1 a2 ... an | . |
Список литературы
Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://ega-math.narod.ru/