28130-1 (Комплексные числа), страница 2

Каждая точка М “числовой прямой” изображает некоторое действительное число (рациональное, если отрезок ОМ соизмерим с единицей длины, и иррациональное, если несоизмерим ). Таким образом, на числовой прямой не остаётся места для комплексных чисел.

Но комплексные числа можно изобразить на числовой плоскости прямоугольную систему координат с одним и тем же масштабом на обеих осях (фиг.2). Комплексное число a + bi мы изображаем точкой М, у которой абсцисса х ( на фиг.2 х=ОР=

=QM) равна абсциссе а комплексного, а ордината у (OQ=РM) равна ординате b комплексного числа.

П р и м е р ы. На фиг. 3 точка А с абсциссой х=3 и ординатой у=5 изображает комплексное число 3 + 5i. Точка В изображает комплексное число –2 + 6i; точка С – комплексное число – 6 – 2i; точка D – комплексное число 2 – 6i.

Действительные числа ( в комплексной форме они имеют вид a + 0i) изображают точками оси Х, а чисто мнимые – точками оси У.

П р и м е р ы. Точка К на фиг. 3 изображает действительное число 6, точка L – чисто мнимое число 3i; точка N – чисто мнимое число – 4i . Начало координат изображают число 0.

Сопряжённые комплексные числа изображаются парой точек, симметричных относительно оси абсцисс; так, точки С и С’ на фиг. 3 изображают сопряжённые числа –6 – 2i и - 6 + 2i.

Комплексные можно изображать также отрезками, начинающимися в точке О и оканчивающимися в соответствующей точке числовой плоскости. Так, комплексное число -2 + 6i можно изобразить не только точкой В (фиг. 4), но также вектором ОВ; комплексное число –6 – 2i изображается вектором ОС и т. д.

З а м е ч а н и е. Давая какому – либо отрезку наименование “вектор”, мы подчёркиваем, что существенное значение имеет не только длина, но и направление отрезка.

8. Модуль и аргумент комплексного числа.

Длина вектора, изображающего комплексное число, называется модулем этого комплексного числа. Модуль всякого комплексного числа, не равного нулю, есть положительное число. Модуль комплексного числа a + bi обозначается | a + bi |, а также буквой r. Из чертежа видно, что

r = | a + bi | = a² + b²

Модуль действительного числа совпадает с его абсолютным значением. Сопряжённые комплексные числа a + bi u a – bi имеют один и тот же модуль.

9. Геометрический смысл сложения и вычитания

комплексных чисел.

Пусть векторы ОМ и ОМ’ (фиг. 4) изображают комплексные числа z= x + yi u z’ = x’ + y’i. Из точки М проведем вектор МК, равный OM’. Тогда вектор ОК изображает сумму данных комплексных чисел.

Построенный указанным образом вектор ОК называется геометрической суммой векторов ОМ и ОМ’.

Итак, сумма двух комплексных чисел представляется суммой векторов, изображающих отдельные слагаемые.

Длина стороны ОК треугольника ОМК меньше суммы и больше разницы длин ОМ и МК. Поэтому

||z| - |z’|| < |z + z’| < |z| + |z’|.

Равенствоимеет смысл только в тех случаях, когда векторы ОМ и ОМ’ имеют одинаковые (фиг.5) или противоположные (фиг.6) направления. В первом случае |OM| + |OM’| = |OK|, т. е. |z +z’|=|z| + + |z’|. Во втором случае |z + z’|=||z| - |z’||.

10. Тригонометрическая форма комплексного числа.

Абсцисса а и ордината b комплексного числа a + bi выражаются через модуль r и агрумент q. Формулами

a = r cos q; b = r sin q.

Поэтому всякое комплексное комплексное число можно представить в виде r(cos q + i sin q), где r > 0.

Это выражение называется нормальной тригонометрической формой или, короче, тригонометрической формой комплексного числа. ^­

Материал иснользовался из книги

М. Я. Выгодский; Справочник по элементарной математике: -

• Государственное издательство физико–математической литературы; Москва; 1960