49918 (Символьные вычисления)

СИМВОЛЬНЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ

Екатеринбург 2006

Символьные вычисления

1. Базовые операции

Символьные переменные и функции являются объектами класса sym object, в отличие от числовых переменных, которые содержатся в массивах double array.

Функция sym – формирует символьную переменную или объект

Синтаксис

S=sym(A)

S=sym (A, flag)

x=sym(‘x’)

x=sym (‘x’, real)

x=sym (‘x’, unreal)

Описание

• Функция S=sym(A) создает объект класса sym для входного аргумента А.

Если А – строка символов, то результатом будет последовательность символов, если А – строка цифр, то результатом будет число, описываемое символьной переменной S. Если А – числовой массив, то результатом будет символьный эквивалент этого объекта.

• Функция x=sym(‘x’) создает символьную переменную x.

• Функция x=sym (‘x’, real) создает символьную переменную x, которая во всех операциях будет рассматриваться как переменная, которая принимает только действительные значения. Это будет справедливо до тех пор, пока ей не будет присвоено, например, значение комплексного числа.

• Функция x=sym (‘x’, unreal) создает символьную переменную x, которая является формальной переменной без дополнительных ограничений.

• Функция S=sym (A, flag) преобразовывает числовой массив А в символьную форму, используя второй аргумент flag для указания типа символьной переменной S

• Функция sym позволяет преобразовывать значения числовых переменных в символические, например:

>>A=[1.3 -2.1 4.9; 6.9 3.7 8.5];

Соответствующий символьный массив:

>>B=sym(A)

B=

[13/10, -21/10, 49/10]

[69/10, 37/10, 17/2]

При переходе от числовых к символическим выражениям используется запись чисел в виде рациональной дроби. В виде рациональной дроби представляются и промежуточные, и окончательные выражения. Это означает, что при использовании рациональных дробей при выполнении символических вычислений всегда получается точный результат, не содержащий погрешность округления, например:

>> format long

>> 1.0e+10+1.0e‑10

ans =

1.000000000000000e+010

>> large=sym (1.0e+10);

>> small=sym (1.0e‑10);

>> s=large+small

s =

100000000000000000001/10000000000

Функция vpa – преобразует числовые значения

Синтаксис

>> cn=vpa(c)

>> cn=vpa (c, n)

Вычисления с рациональными дробями позволяют получить значения символического выражения с любой степенью точности, т.е. найти сколь угодно много значащих цифр результата. По умолчанию удерживается 32 значащие цифры. Второй параметр n указывает желаемое число удерживаемых цифр (Второй аргумент задает удерживаемое число значащих цифр только для данного вызова vpa; для глобальной установки служит функция digits, во входном аргументе которой указывается требуемое количество цифр digits(n)).

Примеры

>> c=sym ('sqrt(2)')

c =

sqrt(2)

>> cn=vpa(c)

cn =

1.4142135623730950488016887242097

Функция syms – формирует группу символьных объектов

Синтаксис

syms arg1 arg2…

При работе с комплексными числами следует указать, что определяемые переменные являются, в общем случае, комплексными.

syms arg1 arg2 …real

syms arg1 arg2 …unreal

• Функция syms arg1 arg2 …это короткая запись последовательности функций sym.

• Конструирование символических функций от переменных класса sym object производится с использованием обычных арифметических операций и обозначений для встроенных математических функций, например:

  • >> f=(sin(x)+a)^2*(cos(x)+b)^2/sqrt (abs(a+b))

• Запись формулы для выражения в одну строку не всегда удобна, более естественный вид выражения выводит в командное окно функция pretty.

Функция pretty – выводит символьное выражение на экран в привычном для пользователя виде.

Синтаксис

pretty(S)

pretty (S, n)

Функция pretty(S) выводит на экран символьное выражение S в формате, близком к печати математических выражений, используя при этом длину строки 79 символов.

Примеры

>> pretty(f)

(sin(x) + a)² (cos(x) + b)²

|a + b|^1/2

Определенная функция f также является символической переменной типа sym object, в чем несложно убедиться при помощи команды whos

Символические переменные могут являться элементами матриц и векторов. Элементы строк матриц при вводе отделяются пробелами или запятыми, а столбцов – точкой с запятой, так же как и для обычных матриц. В результате образуются символические матрицы и векторы, к которым применимы матричные и поэлементные операции и встроенные функции.

Примеры

>> syms a b c d e f g h

>>A=[a b; c d]

A =

[a, b]

[c, d]

>>B=[e f; g h]

A =

[e, f]

[g, h]

>>C=A+B

C =

[a+e, b+f]

[c+g, d+h]

1. Упрощение и преобразование выражений

Сложные алгебраические и тригонометрические выражения могут быть приведены к эквивалентным путем упрощения. Операции с полиномами реализуют четыре функции: collect, expand, horner, factor.

Функция collect – вычисляет коэффициенты при степенях независимой переменной

Синтаксис

R=collect(S)

R=collect (S, v)

S – массив символьных полиномов.

• Функция собирает однородные члены по степеням переменной x.

• Функция R=collect (S, v) выполняет ту же функцию, но только по отношению к независимой переменной, указанной в качестве второго аргумента (в данном случае v).

Примеры

>> syms x y

>> R1=collect((exp(x)+x)*(x+2))% здесь слагаемые группируются по степеням x

R1 =

x^2+(exp(x)+2)*x+2*exp(x)

>> R2=collect((x+y)*(x^2+y^2+1), y)% здесь слагаемые группируются по степеням y

R2 =

y^3+x*y^2+(x^2+1)*y+x*(x^2+1)

>> R3=collect([(x+1)*(y+1), x+y])% здесь указаны сразу два многочлена, которые требуется сгруппировать по степеням x

R3 =

[(y+1)*x+y+1, x+y]

Функция expand – позволяет раскрыть символьное выражение

Синтаксис

R=expand(S)

Функция R=expand(S) позволяет раскрыть каждый элемент символьного выражения S. Эта операция применяется к полиномам, тригонометрическим, экспоненциальным и логарифмическим функциям.

Примеры

>> expand((x‑2)*(x‑4))

ans =

x^2–6*x+8

>> expand (exp((x+y)^2))

ans =

exp (x^2)*exp (x*y)^2*exp (y^2)

>> expand([sin (2*x), cos (2*x)])

ans =

[2*sin(x)*cos(x), 2*cos(x)^2–1]

syms t;

s=expand([sin (2*t) cos (2*t)])

s =

[2*sin(t)*cos(t), 2*cos(t)^2–1]

Функция factor – позволяет разложить символьное выражение на простые множители

Синтаксис

R=factor(N)

R=factor(S)

• Функция R=factor(N), где N – положительное целое число или целочисленный массив, возвращает каноническое разложение числа или элементов массива в виде произведения простых множителей.

• Функция factor(S), где S – матрица полиномов, возвращает разложение каждого элемента массива на простые множители.

Примеры

>> syms a b;

>>factor([a*a-b*b, a^3+b^3])

ans =

[(a-b)*(a+b), (a+b)*(a^2‑a*b+b^2)]

>>factor (sym('123'))

ans =

(3)*(41)

Функция simple – позволяет упростить символьное выражение

Синтаксис

Simple(S)

R=simple(S)

[R, How]=simple(S)

• Функция simple(S) выполняет разные алгебраические преобразования над символьным выражением S, выводит на экран варианты укороченных выражений и возвращает в конце концов самое короткое.

• Функция R=simple(S) выполняет те же самые операции, но не выводит на экран промежуточных результатов.

Функция [R, How]=simple(S) в дополнение к основному результату выводит в качестве второго аргумента строку How, которая указывает выполненное преобразование.

Примеры

>> [R, How]=simple (cos(x)^2+sin(x)^2)

R=1

How=combine

>> [R, How]=simple (2*cos(x)^2‑sin(x)^2)

R=3*cos(x)^2–1

How=simplify

>> [R, How]=simple (cos(x)^2+(-sin(x)^2)^(1/2))

R=cos(x)^2+i*sin(x)

How=radsimp

>> [R, How]=simple (cos(x)+i*sin(x))

R=exp (i*x)

How=convert(exp)

>> [R, How]=simple((x+1)*x*(x‑1))

R=x^3‑x

How=collect(x)

>> [R, How]=simple (x^3+3*x^2+3*x+1)

R=(x+1)^3

How=factor

>> [R, How]=simple (cos(3*acos(x)))

R=4*x^3–3*x

How=expand

Функция numden – выполняет приведение символьных полиномов к рациональной форме

Синтаксис

[N, D]=numden(A)

• Функция [N, D]=numden(A) преобразовывает каждый элемент символьного массива A к рациональной форме в виде отношения двух неприводимых полиномов с целочисленными коэффициентами. N, D – соответственно символьные массивы числителей и знаменателей элементов массива.

Примеры.

>>syms x y a b

>> [N, D]=numden (x/y+y/x)

N=x^2+y^2

D=x*y

>>A=[a, 1/b]

>> [N, D]=numden(A)

N=[a, 1]]

D=[1, b]

Функция subs – выполняет подстановку значений символьных переменных

Синтаксис

subs(S)

subs (S, NEW)

subs (S, OLD, NEW)

subs (S, OLD, NEW, 0)

• Функция subs(S) заменяет свободные символьные переменные их числовыми значениями, которые берутся либо из вызываемой функции, либо из рабочей области системы MATLAB.

• Функция subs (S, OLD, NEW) заменяет свободные символьные переменные OLD новыми символьными переменными или числовыми значениями из списка NEW. Если OLD и NEW – массивы ячеек одинакового размера, то каждый элемент массива OLD заменяется соответствующим элементом массива NEW. Если символьное выражение S и список OLD – скаляры, а NEW – числовой массив или массив ячеек, то скаляры расширяются до размера массива. Если подстановка subs (S, OLD, NEW) не изменяет символьного выражения S, то выполняется подстановка subs (S, NEW, OLD). Чтобы предотвратить попытку обратной подстановки, следует использовать обращение subs (S, OLD, NEW, 0)

Примеры.

>>a=980

>>c1=3

>>syms t

>>y=dsolve (‘Dy=-a*y’);

>>subs(y)

ans=3*exp (-980*t)

Однокомпонентная подстановка

>>syms a b

>>subs (a+b, a, 4)

ans=4+b

Многокомпонентная подстановка:

>>subs (cos(a)+sin(b), [a, b], [sym(‘alpha’), pi/2)

ans=cos(alpha)+sin (pi/2)

Подстановка матрицы вместо скаляра:

>>subs (exp(a*t), ’a’, – magic(2))

ans=

[exp(-t), exp (-3*t)]

[exp (-4*t), exp (-2*t)

1. Математический анализ

Функция limit – вычисляет предел функции одной переменной

Синтаксис

limit (F, x, a)

limit (F, a)

limit(F)

limit (F, x, a, ’right’)

limit (F, x, a, ’left’)

Описание

• Функция limit (F, x, a) определяет предел функции F(x) при x->a.

• Функция limit (F, a) автоматически определяет независимую переменную, например t, с помощью функции findsym(F) и затем вычисляется предел функции F(t) при t->a.

• Функция limit(F) предполагает по умолчанию в качестве предельной точки a=0.

• Функции limit (F, x, a, ’right’) и limit (F, x, a, ’left’) вычисляют соответственно правосторонний и левосторонний пределы.

Примеры.

>>syms x a t h

>>limit (sin(x)/x)

ans=1

>>limit((x‑2)/(x^2–4), 2)

ans=1/4

>>limit((1+2*t/x)^(3*x), x, inf)

ans=exp (6*t)

>>limit (1/x, x, 0,’right’)

ans=inf

>>limit (1/x, x, 0,’left’)

ans=-inf

>>limit((sin (x+h) – sin(x))/h, h, 0)

ans=cos(x)

v=[(1+a/x)^x, exp(-x)]

>>limit (v, x, inf, ’left’)

ans=[exp(a), 0]

Функция diff – выполняет дифференцирование функции одной переменной

Синтаксис

diff(S)