Кафедра: Автоматика и информационные технологии

ИССЛЕДОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ И ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ

Екатеринбург 2005

Оглавление

Введение 3

1. Изучение типичных нелинейностей 4

2. Исследование нелинейных систем методом фазовой плоскости 19

3. Исследование нелинейных систем методом гармонического баланса 32

4. Синтез дискретной системы с максимальным быстродействием 53

Список литературы 66

3. Введение

Изучение раздела «Нелинейные системы» предусматривает выполнение трех лабораторных работ. Последняя, четвертая работа посвящена разделу «Импульсные системы автоматического управления». Работы выполняются с использованием пакета Matlab. Предполагается, что студенты получили опыт использования данного пакета в процессе выполнения лабораторных работ по курсу «Линейные системы» и в ходе самостоятельного изучения.

Для сохранения результатов работы каждой бригаде необходимо создать на компьютере в папке, предназначенной для работы пользователей, папку группы, внутри нее папку бригады, где и следует размещать поддиректории с результатами лабораторных работ. После окончания лабораторной работы все результаты необходимо сохранить на дискете.

2. Изучение типичных нелинейностей

В работе рассматриваются типичные нелинейности с симметричными характеристиками, представленными на рис. 1.1.

Рис. 1.1. Характеристики нелинейных элементов: а – идеальное двухпозиционное реле; б – усилитель с ограничением и зоной нечувствительности; в-трехпозиционное реле; г – двухпозиционное реле с гистерезисом; д – люфт

Цель работы моделирование указанных нелинейностей и фиксация процессов на входе и выходе каждого нелинейного звена средствами пакета Matlab (c использованием его расширения – пакета моделирования динамических систем Simulink). В качестве источника (генератора) входного воздействия следует использовать свободные колебания на выходе колебательного звена, описываемого передаточной функцией при ненулевых начальных условиях. Варьируя декремент затухания (коэффициент демпфирования) и постоянную времени Т или другие связанные с ними параметры колебательного звена, можно добиться как гармонических, так и затухающих колебательных процессов. Гармонический сигнал различной амплитуды позволяет протестировать работу нелинейности «по частям», т.е. наблюдать влияние отдельных участков характеристики нелинейности на преобразование входного сигнала. При помощи затухающего тестового сигнала можно проверить работу нелинейности в целом, наблюдая за время затухания процесса все возможные эволюции сигнала на выходе нелинейного элемента (НЭ), связанные с его воздействием, а также построить характеристику НЭ (при этом максимальное значение амплитуды тестового сигнала, естественно, должно быть задано бóльшим, чем значение параметров b или b₂, в зависимости от типа нелинейности).

1. Выбор значений параметров нелинейных элементов и генератора

Параметры НЭ и время затухания колебательного процесса на выходе генератора следует задавать в соответствии с вариантом, приведённым в табл. 1.1. Номер варианта соответствует номеру бригады.

Таблица 1.1 Значения параметров нелинейных элементов и генератора

1. 1. Найти угловую частоту затухающих колебаний и коэффициент затухания колебательного звена в соответствии с заданным в табл. 1.1 временем затухания колебательного процесса и числом периодов, равным 10 20 на интервале .

Уравнение, описывающее свободные колебания на выходе колебательного звена, имеет следующий вид:

, (1.1)

,

где t – время; А – амплитуда гармонических колебаний (при ) или амплитуда затухающих колебаний в начальный момент времени (при ); – угловая частота гармонических колебаний.

Амплитуда А задается произвольно, а параметры и необходимо увязать с исходными данными о требуемом времени затухания колебательного процесса и заданным количеством периодов колебаний за это время.

Затухание процесса можно считать окончившимся в момент времени, приблизительно равный трем постоянным времени экспоненты, т.е.

,

а угловую частоту следует вычислять по уравнению

,

где N – задаваемое количество колебаний (периодов) за время затухания процесса.

Решая систему уравнений

получим выражение для :

, (1.2)

после чего можно вычислить .

В итоге рассчитываются коэффициент затухания по формуле и угловая частота по формуле или .

1. Для проведения моделирования создать 2 файла: файл-сценарий TN_prog.m и файл модели TN_mod.mdl. Они взаимосвязаны: переменные, определенные в m‑файле, используются при задании параметров блоков модели, модель запускается на выполнение также командой из m‑файла, а при проведении моделирования в Simulink результаты записываются в рабочую область памяти (Workspace), откуда считываются при построении итоговых графиков командами из m‑файла. Пример файла TN_prog.m приводится ниже.

Изучение типичных нелинейностей

Используемые обозначениЯ:

НЭ – нелинейный элемент.

clear all % очистка памЯти

close all % закрытие всех предыдущих рисунков

Задание значениЯ переменной, определЯющей положение переключателЯ

%конфигурации в файле TN_mod.mdl

%1 – НЭ-идеальное двухпозиционное реле

%2 – НЭ-усилитель с ограничением и зоной нечувствительности

%3 – НЭ-трехпозиционное реле без гистерезиса

%4 – НЭ-двухпозиционное реле с гистерезисом

%5 – НЭ-люфт

config = 5;

%Определение значениЯ строковой переменной nlin

switch config

case 1,

nlin = 'ид. 2‑х поз. реле';

case 2,

nlin = 'ус-ль с огр. и зоной нечувст.';

case 3,

nlin = '3‑х поз. реле без гист.';

case 4,

nlin = '2‑х поз. реле с гист.';

case 5,

nlin = 'люфт';

end

%Константы, описывающие нелинейные элементы

c = 6;

b = 1;

b2 = 7;

%Параметры моделированиЯ

t_end = 10; %времЯ моделированиЯ, с

step = 1e‑3;%шаг моделированиЯ, с

%Описание генератора затухающих колебаний

N = 15; %количество колебаний за времЯ моделированиЯ

A = 10; %амплитуда в начальный момент времени

lambda = 2*pi*N/t_end; %угловаЯ частота затухающих колебаний

ksi = 1.5/sqrt((pi*N)^2+2.25); %декремент затуханиЯ

%ksi = 0;

omega = (2*pi*N)/(t_end*sqrt (1‑ksi^2));%угловаЯ чатота гармонических колебаний

gamma = ksi*omega; %коэффициент затуханиЯ

%вызов модели

open_system ('TN_mod.mdl');

%запуск моделированиЯ

sim ('TN_mod');

%Построение процессов во времени (рис. 1)

figure(1) %открытие окна рисунка

title(['Процессы e(t) и y(t). НЭ – ', nlin, ', b=', num2str(b), ', b2=', num2str(b2),…

', c=', num2str(c)]) %заголовок рисунка

xlabel ('t – времЯ, c') %название оси Х

ylabel ('e – вход НЭ, g – выход НЭ') %название оси Y

grid on %включение сетки

hold on

plot (t, e, '-r') %построение первого графика рисунка с указанием

%имен массивов точек, выводимых по осЯм X и Y, и

%установкой цвета и типа линии графика

plot (t, g, '-b') %второй график – аналогично

legend ('вход НЭ', 'выход НЭ', 4)%вывод на рисунок поЯснЯющей надписи, показывающей

%соответствие между цветом графика и его названием

%Построение характеристики нелинейности (рис. 2)

figure(2)

title(['Хар-ка нелин-ти g(e). НЭ – ', nlin, ', b=', num2str(b), ', b2=', num2str(b2),…

', c=', num2str(c)])

xlabel ('e – вход НЭ')

ylabel ('g – выход НЭ')