185104 (Побудова экономичной модели (украинск.).), страница 2

На базі статистичних даних показників змінних x (t) за n=18 місяців побудувати графік тренду зміни x (t), вибрати форму однофакторної моделі, оцінити всі її параметри, визначити зони надійності при рівні значимості =0.9.Перевірити показник Х на автокореляцію, а також оцінити для наступних трьох місяців прогноз значення x (t_р):

Рішення:

Побудуємо графік тренду зміни Х(t)

Введемо гіпотезу про те, що зміну Х(t) розподілено за законом X(t)=bt^α.Визначимо параметри цієї регресії:

18 18

α=( Σ t ₁ x ₁ (t)-18 t ₁ x ₁ (t) )/(Σ x ₁ ² (t)-18 x ₁ ² ) =0.3081

t=1 t=1

b ₁=x ₁(t)-α t ₁=2.2002.

Де х ₁ (t)=ln x(t), t ₁ =ln t ,α ₁ = α ,b ₁= ln b.Звідки a=0.3081,b=9.0268.

Дисперсію визначаємо за формулою:

n

S²= Σ(x ₁-x)²/( n-p-1)=1.9044

i=1

Вибірковий коефіцієнт детермінації :

n n

R=(1-((x_i-x_i)²/(x_i-x)²))^1/2= 0.9095

i=1 i=1

Для оцінки надійності рівняння регресії і значущості індексу кореляції обчислимо значення F_p-критерію Фішера:

F_p=_x²/S²=5.445,

n

де _x²= Σ(x ₁-x)²/(n-1).Оскільки F_розр>F_табл=1,95,то прийнята

i=1

модель адекватна експерементальним даним.

Для оцінки меж надійних інтервалів лінії регресії спочатку визначимо надійні інтервали здобутої лінійної моделі,

x_1i=t_a,kS/n^1/2(1+(x_1i-x₁)²/_x1²)^1/2

а потім виконаємо зворотній перехід за формулами :

Y_iY_i=exp(Y_1iY_1i).

Складемо таблицю1.

Визначимо автокореляцію за формулою:

n n

d= Σ(l_t-l_t-1)²/Σl_t²=2.425.

t=2 t=1

Визначимо границі d-статистики: d₁=1.16,d_n=1.39.Оскільки виконується нерівність d_nn ,то враховується гіпотеза про відсутність атокореляції.

Для оцінки меж надійних інтервалів прогнозу спочатку визначимо надійні інтервали здобутої лінійної моделі,

X_1p=t_a,kS/n^1/2(1+n+(X_1i-X₁)²/_x1²)

а потім виконаємо зворотній перехід за формулами:

Y_pY_p=exp(Y_1pY_1p)

Складемо таблицю 2.

Таблиця 1.

Таблиця 2.

Відповідь.

З надійністю р=0,1 можна вважати, що експерементальним даним відповідає така математична модель:Yr=9.0268X^0.3081.

Для t_p=19 точкова оцінка прогнозу показника має значення X_p=22,36.З надійністю p=0,1прогноз показника буде набувати значення в інтервалі (0,0176;2838,4).

Для t_p=20 точкова оцінка прогнозу показника має значення X_p=22,72.З надійністю p=0,1прогноз показника буде набувати значення в інтервалі (0,0177;29131,4).

Для t_p=21 точкова оцінка прогнозу показника має значення X_p=22,36.З надійністю p=0,1 прогноз показника буде набувати значення в інтервалі (0,0178;29874,0).

Завдання 3.

Визначити параметри лінійної моделі залежності витрат на споживання С від рівня доходів D,збережень S та заробітної плати L.Оцінить коефіцієнти детермінації,автокореляції та перевірте показники на мультиколінеарність між факторами.Обчислення виконати на базі 13 статистичних даних певного регіону (C,D,S,L подані у тис $).

Дано:

Рішення:

Припустимо, що між показником Ŷ і чинниками Х1 Х2 Х3 існує лінійна залежність Ŷ=А₁Х₁+А₂Х₂+А₃Х₃ . Знайдемо оцінки параметрів,використовуючи матричні операції. Запишеио систему нормальних рівнянь у матричній формі: [X]^T[X]ā=[X]^TY. Якщо помножити матричне рівняння зліва на матрицю [[X]^T[X]]^-1, то для оцінки параметрів вектора ā отримаємо формулу:

ā=[[X]^T[X]]^-1[X]^Ty, звідки а₁ =0,0603; а ₂=0,151;а₃=0,859.

Складемо таблицю:

Коефіцієнт множинної детермінації:

13 13

R²=1-Σ(y_i-ŷ_i)²/Σ(y-ỳ)²=0.863

I=1 i=1

Визначимо автокореляцію за формулою:

13 13

d=Σ(l_t–l_t-1 )²/Σl_t²=2.0531.

t=2 t=1

Оскільки значення d-статистики близьке до 2 то можна вважати автокореляцію відсутньою.Для визначення мультиколінеарності використаємо критерій Х² . Розрахункове значення Х² знаходимо за формулою:

Х²_р=[n-1-1/6(2m+5)]ln│[X]^T [X]│=3.1025

Для довірчої ймовірності р=0.95 і числа ступенів волі 1/2m(m-1)=3 X²=7.8.Оскільки розрахункове значення менше критичного,то можна вважати,що загальноі мультиколінеарності не існує.

Відповідь:

Коефіцієнт детермінації R²=0.863,автокореляція та загальна мультиколінеарність відсутні.

Завдання 4.

Проаналізуйте модель виробничої функції типу Кобба-Дугласа,що описує залежність між продуктивністю праці y=y/l та фондоозброєністю x=k/l з урахуванням впливу технічного прогресу у виробництво регіону.Оцініть параметри моделі,коефіцієнти детермінації та автокореляції за такими статистичними показниками Y ,k та L за 12 років.

Рішення:

Виробничою функцією називають функцію,яка описує кількісну залежність причинно-наслідкових відносин між результатом економічного процесу і умовами його одержання,хоча б частина з яких керована.В загальному випадку функція Кобба-Дугласа має вигляд:ŷ=b₀x₁^b1x₂^b2…x_m^bm,де ŷ -продуктивність ; x₁, x₂,…, x_m –впливові фактори ;b₀ -нормований множник ; b₁, b₂, b_m -коефіціенти еластичності.

Припустимо ,що між показником у – продуктивність праці і фактором х- фондоозброєність існує стохастична залежність : ŷ=bx² (виробнича регресія Кобба-Дугласа).для оцінки параметрів виробничої регресії приводимо її до лінійної форми. Після логарифмування і заміни величин Y₁=Ln(y), X₁=Ln(x) та b₁=lnb отримаємо приведену лінійну регресію Y₁= b₁+a X_{1 .} Оцінки параметрів і для цієї регресії визначаються за формулами:

n n n n n

a=(nΣX_1i Y_1i - Σ X_1i Σ Y_1i)/(n Σ X ²_1i - (Σ X_1i)² ) _=0.3695

_{i=1 i=1 i=1 i=1 i=1}

- -

b₁=Υ₁-aΧ₁=1.7655,b=exp(b₁)=5.8444.

Складемо таблицю:

Коефіцієнт множинної детермінації

11 11

R²=1-Σ(y_1i-ŷ_1i)²/Σ (y_l1-ý₁)² =0,4370.

t=1 t=1

Визначемо наявність автокореляції обчисливши d-статистику за формулою:

11 11

d = Σ(l_t- l_t-1 )²/Σ l_t² = 2,4496.

t=2 t=1

Оскільки значення d-статистики наближене до 2 то можна вважати автокореляцію відсутньою.

Відповідь:

Статистичним показникам відповідає класична модель Кобба-Дугласа з параметрами:

Y=5.8444*X^0.3695

Коефіцієнт множинної детермінації R =0.437, при цьому автокореляцію можна вважвти відсутньою.

Завдання 5.

Визначить параметри найпростішої мультиплікативної моделі споживання Кейнса для певного регіону на підставі статистики за 12 років:

,

,

де e(t) – стохастичне відхилення, похибка; C(t) – споживання; Y(t) – національний дохід; I(t) – інвестиції (всі дані у тис.$).

Дано:

Рішення.

Введемо гіпотезу про те, що змінну C(t) розподілено за законом лінійної парної регресії, тобто . Визначимо параметри цієї регресії:

.

Складемо таблицю:

Відповідь:

Параметри найпростішої мультиплікативної моделі споживання Кейнса для певного регіону:

C(t)=54,59952+1,484448Y(t)+e(t)

Y(t)=C(t)+I(t)