183761 (Методы путевого анализа и их применение к системам одновременных уравнений)

Содержание

Введение

Методы путевого анализа и их применение к системам одновременных уравнений

1.Метод Райта путевого анализа

2. Основная теорема путевого анализа

3. Процедура Саймона-Блейлока

Заключение

Список используемой литературы

Введение

Методы корреляций и регрессий создавались как методы описания совместных изменений двух и более переменных. Совместные изменения переменных могут не означать наличия причинных связей между ними. Потребность в причинном объяснении корреляции привела американского генетика С. Райта к созданию метода путевого анализа (1910—1920) как одного из разновидностей структурного моделирования. Путевой анализ основан на изучении всей структуры причинных связей между переменными, т. е. на построении графа связей и изоморфной ему рекурсивной системы уравнений. Его основным положением является то, что оценки стандартизированных коэффициентов рекурсивной системы уравнений, которые интерпретируются как коэффициенты влияния (путевые коэффициенты), рассчитываются на основе коэффициентов парной корреляции. Это позволяет проанализировать структуру корреляционной связи с точки зрения причинности. Каждый коэффициент парной корреляции рассматривается как мера полной связи двух переменных.

Путевой анализ позволяет разложить величину этого коэффициента на четыре компоненты.

Таким образом, путевой анализ С. Райта, так же как и структурные модели, позволил прояснить проблему ложной корреляции, которой занимались многие видные статистики, начиная с К. Пирсона (1857-1936).

Методы путевого анализа и их применение к системам одновременных уравнений

1. Метод Райта путевого анализа

Метод путевого анализа (или путевых коэффициентов) предложен в 20-х гг. XX в. американским генетиком С. Райтом. Сегодня этот метод нашел широкое применение в биометрии построении социологических причинных моделей, но все еще остается мало знакомым экономистам. Основные положения метода сводятся к следующему. Пусть x₁, x₂, ...., x_p — случайные переменные, измеренные в соответствующих единицах. Основным предположением метода является предположение об аддитивности и линейности связей между переменными. (1)

Здесь x_ui — символ неизмеримого имплицитного фактора u_i, действующего на х_i, и обозначающего действие на х_i всех переменных, не включенных во множество {x_j}; g_ij - некоторые константы; g_iu — коэффициент влияния x_ui на x_i.

Будем называть x_j j-й причиной, а х_i — следствием комбинированного действия всех m-причин. Использование линейных зависимостей между всеми переменными делает р-анализ специальным случаем регрессионного анализа, в котором коэффициенты регрессии интерпретируются в терминах причинно-следственных отношений.

Соотношение (1) можно записать также в виде (2)

где x_j – среднее значение j-й переменной

Без потери общности можно допустить, что x_iu имеет нулевое среднее и единичную дисперсию. В стандартизованной форме уравнение (2) будет иметь вид: (3)

где, S_j – стандартное отклонение j-й переменной.

Тогда p_ij = (s_j/s_i)c_ij.

Коэффициенты c_ij являются специальным типом частных коэффициентов регрессии. Коэффициент p_ij является стандартизованным коэффициентом p-регрессии. Будем называть p_ij коэффициентом влияния (согласно С. Райту), понимая при этом, что p_ij есть числовая величина, которая измеряет долю стандартного отклонения i-й эндогенной переменной (следствия) с соответствующим знаком, обусловленную влиянием j-й экзогенной переменной (причины) в том смысле, что если произвести измерение этого влияния при изменении j-й переменной в тех же условиях, что и в данных наблюдениях и при неизменных прочих условиях (включая постоянное воздействие фактора x_ij), то полученный результат будет равен p_ij. (4)

В формуле (4) s_{i.12…(j-1)(j+1)…p.u} показывает стандартное отклонение i-й переменной с учетом влияния переменных от, 1 до (j-1) и от (j+1) до p при постоянном влиянии фактора u.

Из данного определения следует, что квадрат p-коэффициента показывает, какая часть общей вариации следствия определяется j-й причиной. Эта величина представляет собой коэффициент детерминации: d_xij = p²_ij.

Относительно имплицитных переменных x_ui заметим, что фактор x_ui, представляющий постоянное воздействие на следствие x_i переменных, не включенных явным образом в модель, считается некоррелированным ни с другими аналогичными факторами x_u, ни с экзогенными переменными (входами или причинами) системы x_j.

Входом системы называют переменную x_j, при которой ее вариация целиком и полностью определяется фактором x_uj, т. е. p_juj = 1, d_juj = 1. Входы системы могут быть коррелированы попарно.

Простейшим случаем является модель звена линейной причинной цепи, т. е. детерминации следствия y, всего лишь одной переменной — причиной x. Уравнение этой модели в форме линейной регрессии будет иметь вид (для стандартизованных переменных): (5)

Систему (5) можно представить в виде графа связей (рис.1). Встает вопрос об оценке коэффициентов p_yx, p_yu2. Коэффициент корреляции случайных переменных x и y как первый смешанный момент нормированных случайных величин определяется соотношением

так как cov(x, x)= 1, cov(x, x_u) = 0 по условию о некоррелированности имплицитных факторов. Но, как известно, в данном частном случае r_yx=b_yx, где b_yx — стандартизованный коэффициент линейной регрессии. Таким образом, p-коэффициент (р_yx ) есть стандартизованный регрессионный коэффициент b_yx, и его оценка методом наименьших квадратов будет являться оценкой эффективности влияния по С. Райту (рис.1 и 2).

Прямая оценка влияний неизмеримых факторов х_и невозможна, поэтому ее получают косвенным образом из соотношений для коэффициентов детерминации. В случае модели (5) оценку коэффициента p_yu2 , можно получить следующим образом. Соотношение полной детерминации у посредством х и u₂ имеет вид: r²_yy = p²_yx + p²_yu2 = 1,

Откуда p_yu2 = √1-p²_yx = √1-b²_yx = √1-r²_yx .

Обобщение рассмотренной модели на случай n-звенной линейной цепи, а также случай к независимых причин x_k одного и того же следствия у могут быть проведены индуктивно.

Широко распространена структурная модель системы с коррелированными входами (случай множества взаимодополняющих причин), изображенная на рис.2. Для этой модели основное уравнение системы записывается следующим образом: (6), а корреляция следствия с i-й причиной определяется из соотношения (7)

Соотношение (7) демонстрирует важную особенность коэффициента влияния Райта — он может быть как больше, так и меньше соответствующего коэффициента корреляции по абсолютной величине и не совпадать с ним по знаку.

Значения p-коэффициента заключены в интервале [-∞, ∞]. Положительное значение р- коэффициента указывает на то, что фактор x_j влияет на х_i,- таким образом, что при изменении x_j в одном направлении (допустим, увеличении) признак x_i,- изменяется в этом же направлении. Отрицательное значение показывает, что х_i, и x_j изменяются противоположно. Знак коэффициента влияния получается автоматически в результате решения системы уравнений, связывающей r_ij и p_ij . Содержательная интерпретация коэффициентов влияния Райта как показателей интенсивности влияния по дуге графа аналогична интерпретации b-коэффициентов (как показателей сравнительной силы воздействия факторов) в обычных моделях множественной регрессии.

Выражение полной детерминации у посредством множества взаимокоррелированных причин {х_j} имеет вид: (8)

Слагаемое называется показателем корреляционной детерминации. Квадрат множественного коэффициента корреляции (коэффициент множественной детерминации):

Таким образом, метод p-коэффициентов позволяет найти наилучшую оценку множественной корреляции R²_y*x1…xk.

Подчеркнем, что попарная корреляция входов в модели (8) не структурируется. Между тем эта корреляция может быть как следствием координированного изменения двух различных взаимонезависимых причин — истинной корреляцией, так и ложной — результатом воздействия третьей переменной — общей для этих двух переменных причины.

Пусть на рис.3а изображен граф модели, истинность корреляции входов которой находится под вопросом. Г. Саймон показал, что если корреляция x₁ и x₂ является ложной в отмеченном смысле, то частный коэффициент корреляции первого порядка r_x1x2*z где z — общая для х₁ и х₂ причина — должен быть равен нулю.

В самом деле, для такой модели (сравните граф на риc.3б с рис.3а) будут справедливы следующие отношения:

2. Основная теорема путевого анализа

Первым этапом путевого анализа является идентификация уравнений системы.

В современной эконометрической литературе идентификация понимается как структурная спецификация модели, призванная не только определить значения параметров, но и выделить одну-единственную итоговую структурную модель анализируемых данных.

Проблема идентифицируемости в системе структурных уравнений связана с наличием достаточного числа ограничений, накладываемых на него моделью. Применительно к p-анализу - это проблема соответствия между количеством возможных соотношений между r_ij и p_ij и числом p_ij.

Иначе говоря, проблема идентифицируемости структурных параметров — это проблема достаточности эмпирических данных для оценки всех коэффициентов модели. Необходимым условием идентифицируемости уравнения является отсутствие среди линейных комбинаций оставшихся уравнений, таких, которые удовлетворяли бы всем ограничениям модели, накладываемым на исследуемое уравнение.

Это эквивалентно так называемому условию порядка: для того чтобы уравнение в системе из т линейных структурных уравнений было идентифицируемо, необходимо, чтобы в нем отсутствовало по меньшей мере т — 1 переменных из т + к переменных, встречающихся в модели. Обозначим через т число эндогенных переменных в модели, к — число предопределенных переменных, h — число эндогенных переменных в рассматриваемом уравнении, g — число предопределенных переменных в рассматриваемом уравнении. Тогда условие порядка может быть записано в форме т+к — h — g > m — 1 или к — g > h — 1.

Структурное уравнение называется идентифицируемым, если оно удовлетворяет условию порядка; в случае точного равенства уравнение называется точно идентифицируемым, при строгом неравенстве — сверхидентифицируемым.

Следующим этапом является оценивание структурных параметров. Для структурных моделей, построенных на основе p-коэффициентов, оценка p_ij производится не методом наименьших квадратов, а с помощью такого приема. Запишем уравнение (3) следующим образом: или иначе (9)

Используем коэффициенты корреляции между зависимой переменной и каждой из объясняющих переменных: (10)

где n- число наблюдений.

Подставляя в (10) вместо x_i правую часть выражения (10), получим: (11)

В этом преобразовании учтено, что корреляция u_i, с х_j по определению равна нулю. Если учесть, что r_ij=1, то соотношение (11), называемое основной теоремой путевого анализа, можно записать так: (12)

Здесь j указывает на объясняющую переменную, связь которой с объясняемой переменной i раскрывается в структурной модели, к пробегает по подмножеству всех переменных, непосредственно влияющих на i-ю переменную (на графе эти вершины связаны с вершиной i дугами). Соотношение (12) справедливо для любой рекурсивной системы.

Путевой анализ позволяет произвести декомпозицию корреляции r_ij. Введем понятия «полная (совокупная) связь», «совокупное влияние», «прямое влияние», «косвенное влияние». Если коэффициент корреляции нулевого порядка r_ij рассматривать как измеритель полной связи двух переменных, то мерой совокупного влияния j-й переменной на i-ю переменную (q_ij) будет являться ее часть, не зависящая ни от общих для них переменных — причин, ни от корреляции между общими для j-й и i-й переменных причинами (компоненты ложной корреляции), ни от наличия не анализируемой в модели априорной корреляции предопределенных переменных — входов.

Таким образом, мы можем разложить полную связь двух переменных на четыре составляющие с учетом постулируемой в модели асимметрии воздействия: на совокупное влияние (причинное влияние) j-й переменной на i-ю, на две компоненты, измеряющие эффект ложной корреляции, и на компоненту, еще не имеющую общепринятого названия. В свою очередь, совокупное влияние может быть разложено на две составляющие с учетом того, каким образом оно осуществляется — непосредственно или через другие переменные.