183572 (Оптимизационные модели межотраслевого баланса), страница 4

V* = V* A* + t* или V* = t* (A – V*)^–1.

Видим, что оптимальные оценки продукции в рассматриваемой модели равны коэффициентам полных трудовых затрат, исчислен­ным по лучшим производственным способам для каждого вида про­дукции.

Следствие. Оптимальные оценки не изменяются при любых изменениях положительного вектора Y⁰.

При неизменных коэффициентах производственных способов оптимальные оценки меняются только при изменении базиса оп­тимального плана. Теорема 2 доказывает, что в модели (32) базис оптимального плана остается постоянным при любых изменениях вектора Y⁰ в положительной области, следовательно, не изме­няются и оптимальные оценки¹.

Постоянство оценок облегчает их использование в различных планово-экономических расчетах, в частности, при корректировке вектора Y⁰.

Второй вариант модели (максимизация конечной продукции в заданном ассортименте при ограниченных трудовых ресурсах).

Рассмотрим другую возможную постановку межотраслевой мо­дели с производственными способами: произвести максимальное число комплектов конечной продукции при ограниченных трудо­вых ресурсах:

(33)

Нетрудно установить, что модели (32) и (33) являются взаимным. В первой модели фиксируются и минимизируются затраты труда, а во второй модели максимизи­руются z при фиксированном ресурсе труда.

Отсюда следует, что если z⁰ = max z или , то в

соответствии с теоремой взаимности оптимальные планы задач совпадают, трудовые ре­сурсы используются полностью, а оптимальные оценки продукции пропорциональны. Сохраняются и все свойства оптимального плана и оптимальных оценок модели (32):

• в оптимальном плане производятся все продукты и каждый про­дукт производится только одним способом (для этого должно вы­полняться одно из условий: либо матрица способов неразло­жима, либо все );

• выбор лучших способов и оптимальные оценки не зависят от заданий по конечной продукции (ассортиментных коэффициентов);

• не производится «излишков» конечной продукции.

Отметим важное новое свойство: набор производственных спо­собов в оптимальном плане и значения оптимальных оценок не зависят от величины имеющегося ресурса. Действительно, по­скольку L есть единственная отличная от нуля компонента вектора ограничений задачи, то изменение L означает растяжение или сжа­тие вектора ограничений. Но такое преобразование не влияет на базис оптимального плана.

Вектор объемов производства выражается через матрицы ко­эффициентов полных затрат, сформированных из «лучших» спосо­бов:

Х = (Е – A*)^–1αz = β*z, (34)

где β* = (Е – А*)^–1α – вектор потребностей в выпуске продукции для получения одного комплекта конечной продукции.

Максимальное число комплектов z^* находится из равенства t*(E – A*)^–1αz = τ*z = L, откуда

(35)

где τ* = t* (Е – А*)^–1α – полные трудовые затраты для получе­ния одного комплекта конечной продукции.

Подстановка (35) в (34) дает

(36)

т. е. максимальное число комплектов и объемы производства прямо пропорциональны количеству имеющихся трудовых ресурсов. Оптимальная оценка трудовых ресурсов является постоянной величиной.

В рассматриваемой модели условия максимизации конечной продукции могут быть сформулированы так же, как в моделях (1), (24), (27). С учетом данного уточнения приходим к модели:

(37)

Отмеченные выше свойства оптимального плана и оптимальных оценок полностью сохраняются. Однако решение задачи (37) су­ществует не всегда, так как наличных трудовых ресурсов может быть недостаточно для выполнения чрезмерно высоких заданий q_i.

Варианты модели с различными условиями максимизации конечной продукции.

Из теоремы 2 следует, что изменение объемов и структуры ко­нечной продукции (при сохранении Y ≥ 0) не оказывает никакого влияния на выбор лучших производственных способов. Это позво­ляет расчленить процесс оптимизационных расчетов и анализа оптимальных решений на три стадии:

• нахождение лучших производственных способов и минималь­ных затрат труда при заданном векторе конечной продукции на основе модели (32);

• определение объемов и структуры переменной части конечной продукции (можно использовать различные критерии и условия максимизации);

• расчет сбалансированного плана производства, обеспечиваю­щего выпуск всей конечной продукции при ограниченных трудовых ресурсах.

В качестве примера рассмотрим модель, включающую условия максимизации переменной части конечной продукции в виде ЦФП:

Решив задачу (32) с Y⁰ = Q, определим матрицу А*, а также вектор оптимальных оценок продукции, равных коэффициентам полных затрат, исчисленным по лучшим производственным спосо­бам, V* = Т*, а также потребности в трудовых ресурсах для обес­печения постоянной части конечной продукции T*Q и остаток тру­довых ресурсов для выпуска переменной части конечной продукции .

На второй стадии решается задача максимизации ЦФП при ограниченных трудовых ресурсах:

(38)

Решение задачи (38) дает вектор .

Следует обратить внимание на интересный результат, характе­ризующий соотношения предельных полезных эффектов продукции и затрат труда на ее производство. В соответствии с условиями Куна – Таккера

(39)

Таким образом, в оптимальном плане рассматриваемой модели предельные полезные эффекты используемой конечной продукции пропорциональны общественно необходимым затратам труда на производство продукции. Оптимальные оценки продукции в модели (32) равны коэффициентам полных трудовых затрат, исчисленным по лучшим производственным способам, и являются постоянными величинами. Они оказывают влияние на выбор оп­тимальной структуры конечной продукции (вектора ); эта струк­тура «подбирается» так, чтобы отношения (39) выровнялись по всем используемым видам конечной продукции. Но выбор струк­туры конечной продукции не оказывает никакого влияния на зна­чения оптимальных оценок продукции.

На третьей стадии расчетов по модели находим вектор объемов производства ; он будет сбалансирован с имеющимися трудовыми ресурсами.

Аналогичным образом проводятся расчеты по модели, вклю­чающей другие возможные критерии и условия максимизации ко­нечной продукции.

Таким образом, анализировавшиеся в данном параграфе опти­мизационные межотраслевые модели характеризуются двумя спе­цифическими свойствами. Во-первых, в оптимальный план вклю­чается только по одному способу для каждого производимого вида продукции независимо от того, какое количество способов вводится в условия задачи. Во-вторых, объемы и структура используемой конечной продукции не оказывают никакого влияния на выбор производственных способов и определение общественно необходи­мых затрат на производство продукции.

Хотя выявленные свойства создают значительные удобства при проведении оптимизационных расчетов и анализе оптимальных решений, они не являются адекватным отражением свойств реаль­ной экономики. Данные свойства моделей обусловлены тем, что выбор производственных способов осуществляется с позиций наи­более эффективного использования только одного ограниченного ресурса – труда. Решения, получаемые с помощью рассматривае­мых моделей, должны интерпретироваться как условно-оптималь­ные, т. е. получаемые в предположении, что трудовые ресурсы яв­ляются единственным дефицитным ресурсом в народном хозяйстве. Эти условно-оптимальные решения должны затем корректироваться с учетом использования других ограниченных ресурсов.

§4. РАСШИРЕННЫЕ ОПТИМИЗАЦИОННЫЕ МЕЖОТРАСЛЕВЫЕ МОДЕЛИ

Проведенный в § 2, 3 анализ упрощенных оптимизационных меж­отраслевых моделей позволяет сделать важный вывод о правилах построения оптимизационных моделей народного хозяйства. Одностороннее развитие модели (например, только увеличение числа учитываемых ресурсов или только, увеличение числа включаемых в модель производственных способов) оказывается малорезульта­тивным, так как значительная часть вводимой в модель информации не оказывает влияния на оптимальное решение. Очевидно, кон­струкция модели должна быть «сбалансирована».

С учетом этого вывода дополним условия моделей с производст­венными способами (32), (37) ограничениями по ряду невос­производимых ресурсов, обозначая – затраты ресурса s на производство единицы продукции j способом ψ_j. Получим пару взаимных оптимизационных моделей.

Первая из них (минимизация затрат труда на производство за­данной конечной продукции) является развитием модели (32):

(40)

Вторая модель (максимизация конечной продукции при ограни­ченных ресурсах) является обобщением модели (27) (с ограниче­ниями по ресурсам, но только с одним производственным способом по каждому продукту) и модели (37) (с несколькими производст­венными способами, но только с одним ограниченным ресурсом):

(41)

Модель (41) отличается от общей линейной оптимизационной модели (1) только структурой производственных способов: в каж­дом способе выпускается по одному виду продукции.

Из специфических свойств простейших моделей с производст­венными способами в моделях (40) и (41) сохраняется только одно: в оптимальном плане все соотношения производства и рас­пределения продукции выполняются как строгие равенства, т. е. излишки конечной продукции не производятся.

В оптимальный план моделей (40) и (41) могут входить не­сколько способов по каждому продукту. Если оптимальный план единственный, то число дополнительно используемых способов (сверх п) не может превышать числа учитываемых ресурсов (кроме трудовых ресурсов). Например, если в условия задачи дополни­тельно включается ограничение по одному ресурсу, то лишь один продукт может производиться двумя способами, а в производстве всех остальных продуктов может применяться только по одному способу. Если же в задачу включается несколько видов ресурсов, то возможности их полного использования зависят от разнообра­зия производственных способов, т. е. от дифференциации коэффи­циентов затрат на различные ресурсы (должны быть способы, раз­личающиеся соотношениями коэффициентов трудоемкости, фондо­емкости и т. д.).

Набор способов, используемых в оптимальном плане, зависит от величин r_s. При этом можно выявить связь с оптимальным пла­ном простейшей модели. Увеличение имеющихся ресурсов (кроме трудовых) повышает эффективность тех способов, которые являются «лучшими» в условиях простейшей модели.

В отличие от простейших моделей из § 3 набор производствен­ных способов в оптимальных планах моделей (40) и (41) зависит от условий по конечной продукции. С изменением величин , a также при введении в модель других критериев и условий максимизации конечной продукции одни производственные способы заменяются в оптимальном плане другими; изменяются также и зна­чения оптимальных оценок продукции и ресурсов. Это означает, что в расширенных оптимизационных межотраслевых моделях достаточно полно отражаются прямые и обратные связи сферы про­изводства и сферы потребления.

Основное прикладное назначение оптимизационных межотрасле­вых моделей типа (40), (41) – расчеты и анализ вариантов крат­косрочных (годовых) планов развития народного хозяйства. При­менение для этой цели статических моделей оправдано прежде всего потому, что для ближайшего планового года производствен­ные мощности (обеспечение основными производственными фон­дами) почти полностью предопределяются мощностями на начало года и состоянием заделов капитального строительства.

Иное дело в перспективном планировании. Уже при расчетах на n-летний период необходимо учитывать, что производствен­ные мощности (основные производственные фонды) последнего года в значительной мере зависят от ввода мощностей (основных фондов) в плановом периоде. Поэтому просто фиксировать размеры мощ­ностей (или основных фондов) для последнего года планового периода так же, как для бли­жайшего планового года, невозможно.

Однако статическая модель может быть приспособлена для рас­четов вариантов перспективного плана. Для этого к условиям мо­дели (40) или (41) для последнего года планового периода не­обходимо добавить ограничения по капиталовложениям, расходуе­мым на прирост продукции за весь плановый период, а множество производственных способов разделить на две группы: способы производства на мощностях, действовавших на начало планового пе­риода, и способы производства на мощностях, введенных в плановом периоде.

Пусть – объем производства продукции j способом ψ_j, по­лучаемый в последнем году с производственных мощностей, дейст­вовавших на начало планового периода;