183572 (Оптимизационные модели межотраслевого баланса), страница 3

(26)

Определив , находим X* = β + (E – A)^–1Q.

Таким образом, определяется «узким» местом в системе про­изводственных мощностей. Как правило, мощность только одного вида продукции будет использована полностью. Оптимальная оценка мощности по этому виду продукции (k) равна .

Выявление дефицитной мощности служит сигналом для ее максимального расширения в планируемом году за счет концентрации строительства на пусковых объектах, дополнительных поставок оборудования, изменения специализации соответствующих пред­приятий и режима их работы (сменности) и т. д.

Для определения программы первоочередных мероприятий по расширению производственных мощностей целесообразно упорядочить мощности по их дефицитности.

Для каждого вида мощности рассчитаем показатель , характеризующий максимальное число комплектов конечной про­дукции, которое можно получить с мощности вида j при условии неограниченности других мощностей. Упорядочив ряд чисел , начиная с , получим последовательность мощностей, упорядоченную по степени их дефицитности. При новой нумерации разности покажут прирост числа комплектов ко­нечной продукции после «расшивки» k-го «узкого» места в системе производственных мощностей.

По модели (24) можно проводить многовариантные расчеты, показывающие влияние изменения параметров а_ij, , N_j на объемы производства и конечной продукции. В результате таких расчетов выявляется группа устойчиво дефицитных мощностей, на расши­рение которых ресурсы должны направляться в первую очередь. Важным направлением развития модели является непосредственный учет в ней элементов случайности и неопределенности. Разработана и экспериментально апробирована модель, в которой про­изводственные мощности N_i рассматриваются как случайные не­зависимые величины.

Модели с ограничениями по общим ресурсам.

Рассмотрим модель, в которой балансы производства и распре­деления продукции дополняются ограничениями по общим невос­производимым ресурсам:

(27)

Подставляя (25) в ограничения по общим ресурсам, получаем

или

(28)

где = ( _s) = (E – А) ^–1 – вектор полных затрат ресурсов на один комплект прироста конечной продукции, – вектор ресурсов, которые могут использоваться для получения переменной части конечной продукции.

Из (28) следует:

(29)

Максимальное число комплектов достигается, как правило, при полном использовании только одного ресурса (k). Тогда только оценка этого ресурса будет положительна: , a оптимальные оценки всех видов продукции будут пропорциональны коэффициентам полных затрат дефицитного ресурса: . Если же в оптимальном плане используются полностью несколько ресур­сов, то система оптимальных оценок ресурсов и продуктов будет неединственной.

Полное использование только одного вида ресурсов (или нали­чие только одного «узкого» места) как типичное свойство оптималь­ного решения не обязательно связано с условиями максимизации конечной продукции в заданном ассортименте. Для сравнения рассмотрим модель, в которой условия максимизации переменной ча­сти конечной продукции заданы в виде ЦФП:

(30)

Выражая X через Y, приходим к сокращенной модели:

(31)

где F = f (Е – А) ^–1 – матрица коэффициентов полных затрат ресурсов, .

Оптимальное решение этой модели всегда существует и является единственным. Оптимальный план Y* есть точка касания наибо­лее удаленной от начала координат поверхности безразличия и вы­пуклого многогранника, образованного условиями . Если эта поверхность безразличия касается вершины многогранника, то это означает полное использование нескольких ресурсов. Очевидно, что в случае применения ЦФП вероятность того, что точкой опти­мума будет вершина многогранника, выше, чем в случае приме­нения ассортиментного критерия. Однако вполне возможно, что максимум u(Y) достигается на одной из граней многогранника, т. е. при полном использовании только одного ресурса.

Таким образом, общим свойством рассмотренных в этом пара­графе моделей является то, что оптимальный план чаще всего достигается при полном использовании только одного ресурса. А это означает, что только один вид ресурсов влияет на формирование оптимального решения. Данное свойство не адекватно экономиче­ской реальности; оно обусловлено недостатком моделей.

В моделях (24), (27), (30) почти отсутствуют возможности маневрирования ресурсами, имеющими различную дефицитность. По каждому виду продукции задается только один производствен­ный способ, а поэтому технология производства не реагирует на выявляющиеся в процессе оптимизации соотношения наличия ре­сурсов и потребностей в них. Благодаря корректировке исходных данных на основе анализа оптимальных решений этот недостаток можно преодолевать лишь отчасти.

Напрашивается вывод о том, что оптимизационные модели на­родного хозяйства должны включать условия выбора между раз­личными способами- производства одноименной продукции.

§3. ОПТИМИЗАЦИОННЫЕ МЕЖОТРАСЛЕВЫЕ МОДЕЛИ С ПРОИЗВОДСТВЕННЫМИ СПОСОБАМИ

Первый вариант модели (минимизация затрат труда на производство заданной конечной продукции).

Построим модель, представляющую собой непосредственное обобщение модели межотраслевого баланса, записанной в форме (22). В модели предусматривается возможность выбора между различными производственными способами. Пусть каждый вид продукции производится несколькими способами , где T_j= {1, ... , s_j}. При этом каждым способом выпускается только один продукт. Введем новые обозначения:

– объем производства продукции j способом _j;

– коэффициент пря­мых затрат продукции i на производство единицы продукции j способом _j;

– затраты труда на единицу продукции j, произ­водимой способом _j.

Модель имеет вид:

(32)

Модель (32) всегда имеет решение, если выполняются усло­вия, аналогичные условию продуктивности матрицы коэффициен­тов прямых материальных затрат модели межотраслевого баланса. Например, одно допустимое решение может быть получено, если включить в план по одному способу для каждого вида продукции, а все остальные переменные считать равными нулю. Так может быть составлено систем уравнений межотраслевого баланса производства и распределения продукции, каждая из которых имеет решение, если матрица продуктивна.

Анализ модели позволяет выявить ряд ее интересных специфи­ческих свойств.

Теорема 1. При положительном векторе конечной про­дукции Y⁰ > 0 производятся все продукты и каждый продукт про­изводится только одним способом.

Доказательство. Напомним, что мы исходим из пред­положения, что оптимальный план – единственный. Введем в ус­ловия дополнительные переменные Δy_i (излишки конечной про­дукции сверх минимально необходимых объемов ), превращающие неравенства в равенства.

В каждом i-м уравнении

положительными являются только коэффициенты при переменных Х. Но поскольку все , то и все , т. е. оптимальном плане должны производиться все виды продуктов.

Максимальное число положительных переменных в оптимальном плане равно п (числу уравнений). Следовательно, в каждой сумме переменных положительной может быть только одна переменная. Иначе говоря, в оптимальном плане каждый продукт про­изводится только одним способом.

Следствие. Из теоремы следует, что поскольку число воз­можных положительных переменных исчерпывается переменными способов производства, то все Δy_i в оптимальном плане равны нулю. Иными словами, оптимальный план обращает исходные неравен­ства строго в равенства.

Введем дополнительные обозначения: X* – оптимальный план модели (каждая его компонента есть интенсивность применения какого-то «лучшего» способа производства); A* – матрица коэффи­циентов материальных затрат, составленная из способов, которые вошли в оптимальный план.

Матрица А* аналогична матрице А межотраслевого баланса с той лишь разницей, что вместо средневзвешенных коэффициентов из разных способов в ней представлены коэффициенты только «луч­ших» способов. Матрицы A* и (Е – А*) обладают теми же экономико-математическими свойствами, что и матрицы межотраслевого ба­ланса. Среди этих свойств отметим, в частности, существование матрицы (Е – А*)^–1 ≥ 0. Элементы матрицы (Е – А*)^–1 являются коэффициентами полных потребностей в выпуске продукции для получения единицы конечной продукции в оптимальном плане. Оптимальный план удовлетворяет следующей системе уравнений:

(E – A) X* = Y⁰ или X* = (E – A)^–1Y⁰.

Теорема 2. Базис оптимального плана, а следовательно, и выбор «лучших» способов остаются постоянными при любых из­менениях положительного вектора Y⁰.

Доказательство. Для того чтобы базис оптимального плана оставался неизменным при переменном векторе Y⁰, доста­точно – в соответствии с (15),– чтобы выполнялось условие

(E – A*)^–1Y⁰ ≥ 0.

Поскольку матрица (E – A*)^–1 ≥ 0, условие (E – A*)^–1Y⁰ ≥ 0 выполняется всегда при любом Y⁰ ≥ 0 и тем более при Y⁰ > 0.

Пусть для некоторого Y⁰ > 0 получено решение X*. Базис по­лученного решения (Е – А*) остается неизменным и тогда, когда вектор Y⁰ будет изменяться любым образом в положительной об­ласти (0 < Y⁰ < +∞). Если базис оптимального плана – не­разложимая матрица, то теорема распространяется на случай Y⁰ ≥ 0.

Это означает, что вычислив матрицу (E – A*)^–1 для одного ва­рианта конечной продукции, можно неоднократно использовать ее для расчета производственной программы при других вариантах конечной продукции.

Из задачи, двойственной к (32), следует, что для способов, вошедших в оптимальный план , выполняются условия

Поэтому вектор оптимальных оценок продукции V* = ( ), характеризующих минимально необходимый прирост трудовых затрат в народном хозяйстве при увеличении конечной продукции, определяется решением системы уравнений